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1、第四章,数系的扩充_复数,更多资源,4.2 复数的运算,， 其中a叫做复数 的 、b叫做复数 的 . 全体复数集记为 .,1.对虚数单位i 的规定, i 2= -1;,i 可以与实数一起进行四则运算,并且加、乘法运算律不变.,2. 我们把形如a+b i(其中 )的数,a、b R,称为 复数,记作：,z=a+bi,z,实部,z,虚部,C,有时把实部记成为Re(z);虚部记成为Im(z).,一复习引入,3. 由于i2= = -1，知 i为-1的一个 、-1的另一个 ;,一般地，a(a0)的平方根为 、,(-i)2,平方根,平方根为-i,- a (a0)的平方根为,4. 复数z=a+bi,(a、bR
2、),(b=0),分数,不循环小数,虚数,(b0),特别的当 a=0 时,纯虚数,a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的 条件.,必要但不充分,一复习引入,5. 两个复数相等,设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则 z1=z2 ,即实部等于实部,虚部等于虚部.,特别地，a+bi=0 .,a=b=0,注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.,显然,实数集R是复数集C的真子集,即R C.,思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?,答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.,即:若z1z2 z1,z2R且z1z2.,一复习引入,复数的四则运算,复数的加法
3、、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i21结合到实际运算过程中去。,二新课复数的运算,1、复数的加法与减法,即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).,例1.计算,解:,二新课例题剖析,复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).,2、复数的乘法法则：,设 ， 是任意两个复数，那么它们的积,任何 ，,交换律,结合律,分配律,二新课复数的运算,3、复数的乘方：,对任何 及 ，有,特殊的有：,二新课复数的运算,一般地，如果 ，有,例2.计算,解:,二新课例题剖析,
4、复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并.两个复数的积仍然是一个复数.,概念：共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数。 共轭虚数：虚部不为0的共轭复数。 特别地，实数的共轭复数是实数本身。,二新课复数的运算,:a-bi,在复平面内,如果点Z表示复数 z ,点 表示复数 ,那么点Z和 关于实轴对称.,复平面内与一对共轭复数对应的点Z 和 关于实轴对称.,b,-b,:a-bi,b,-b,二新课复数的运算,例4 已知复数 是 的共轭复数，求x的值,解：因为 的共轭复数是 ， 根据复数相等的定义，可得,解得,所以 ,二新课例题剖析,把满足(c+di)(
5、x+yi) =a+bi (c+di0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,4、复数的除法法则,二新课复数的运算,二新课复数的运算,4、复数的除法法则,设 ， 是任意两个复数，那么它们的商,先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).,例5.计算,解:,二新课例题剖析,例6 设 ，求证： （1） ；（2）,证明：（1）,二新课例题剖析,练习3.(2003年高考题),1,二新课练习,二新课练习,-i,练习6.计算: (1+i)2= _; (1-i)2= _;,2i,-2i,i,-i,1,二新课练习,更多资源,z1,4,0,2,2,二新课例题剖析,三 小结,1.复数加减法的运算法则,2、复数的乘法法则,3、复数的乘法运算律,4、复数的除法法则,5、复数的一个重要性质,如果nN*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上 可以把它推广到nZ.,设 ,则有:,事实上, 与 统称为1的立方虚根,而且对于 ,也有类似于上面的三个等式.,6、一些常用的计算结果,三 小结,