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1、8.3 双曲线及其标准方程 （1）,那么与两定点的距离的差为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？,问 题：,与两定点的距离的和为常数的点的轨迹是椭圆,如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的 两边上各选择一点 ，分别固定在点F1、F2 上，,|FF2| = 2a ( a 0) .,记,|MF1| - |MF2| = 2a,双曲线的定义:,平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1 F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。,x,y,O,说 明：,双曲线定义用代数式表示为：,M点的轨迹是焦点F2 所对应的一支；,M点的轨迹是以F
2、1 、F2 为端点的两条射线；,M点的轨迹不存在 .,M点的轨迹是焦点F1 所对应的一支；,（1）,（2）,（3）,（4）,如图建立直角坐标系xOy,使x轴经过点F1,F2,且点O与线段F1,F2的中点重合.,设M(x,y)是双曲线上任意一点，,双曲线的标准方程 :,由双曲线定义知,由定义知,|F1 F2| =2c,F1(-c,0),F2(c,0),又设点M与F1,F2的距离的差,的绝对值等于常数2a .,_双曲线的标准方程,说明:,1.焦点在x轴;,2. 焦点F1(-c,0),F2(c,0) ;,3. c2 = a2 + b2.,4.焦点在y 轴上的双曲线标准方程是:,例1.已知双曲线两个焦
3、点的坐标为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点P到F1 ,F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.,解:,因为双曲线的焦点在x轴上,所以所求的双曲线标准方程为,说明：本题利用待定系数法求解。直接利用双曲线的定义找出a,b,c三者关系。,所以设它的标准方程为,例 已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点1 ,2的坐标分别为 ，求双曲线的标准方程,解:,因为双曲线的焦点在y 轴上,将1 ,2代入方程得,所以所求双曲线标准方程为,说明：本题利用待定系数法求解。,所以设它的标准方程为,例3 一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚 2s . （1）爆炸点应在什么样的曲
4、线上？ （2）已知A、B两地相距800 m，并且此时声速为340 m/s， 求曲线的方程 .,解：,（1）由A、B两处听到爆炸声的时间差为2 s ，可知A、B两处与爆炸点的距离的差为2v（v为声速），,.,（2）建系如图，设爆炸点 P(x，y)，则,|PA|-|PB|=3402=680,故所求双曲线方程为：,因此爆炸点,应位于以 A、B为焦点的双曲线上。,因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上。,想一想：,如果A、B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上？,答：爆炸点应在线段AB的中垂线上。,例3 说明 , 利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间 差 , 可以确定爆炸点所在的双曲线的方程 , 但不能确定爆炸点的准 确位置.,如果再增设一个观测点 C, 利用 B、C( 或 A、C) 两处测得 的爆炸声的时间差 , 可以求出另一个双曲线的方程 ,.,解这两个方程 组成的方程组 , 就能确定爆炸点的准确位置 . 这是双曲线的一个重 要应用 .,小 结,课堂练习：,解：,另解：,解：,变式：,证明：,解：,解：,解：,解2：,则,解得,说明：求双曲线方程时，若没有指明焦点位置， 一般可设为：,作业：,题单 双曲线标准方程 (1),