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1、1,高等数学下（B）复习课,2012-5-18,2,第一部分 多元函数微分学,考点概览： 1、二元函数（定义域、函数关系） 2、二元函数偏导数 3、二元函数的全微分求法 4、二元函数的二阶偏导数 5、二元函数的全微分 6、多元复合函数的求导法则 7、隐函数的偏导数和全微分 8、几个重要关系 9、二元函数极值,3,（1）定义域,4,例1：,5,（2）函数关系,例2：,解：直接代入法,6,（2）函数关系,例3：,解：,解,练习1：,7,7,（2）函数关系,练习2：,解：换元法,8,8,2、 二元函数的偏导数,9,3、 二元函数的偏导数的求法,10,附：一元函数的求导公式（须熟记）：,11,小结：函
2、数表达式比较复杂，求具体点的偏导数， 化成一元函数的求导.,例,12,例,例,求偏导函数,13,4、 二元函数的二阶偏导数,14,例,15,5、 二元函数的全微分,16,例,例,17,6、 多元复合函数的求导法则,回忆：一元复合函数的求导法则链式法则,推广?,18,变量树图,19,解,例,20,解,例,u,v,21,练习：,练习：,答案：,答案：,22,7、隐函数的偏导数和全微分,23,-,24,解：,例,25,8、几个重要关系,偏导数存在,26,27,28,9、二元函数极值,的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,处是否取得极值的条件如下:,(1),有极值,有极大值,有极小值;,(2),没有
3、极值;,(3),可能有极值,也可能无极值.,29,求函数 极值的一般步骤:,第一步,解方程组,求出实数解,得驻点.,第二步,对于每一个驻点,求出二阶偏导数的值,第三步,定出,的符号,再判定是否是极值.,30,例 求函数,的极值。,解,求解方程组：,得驻点,因此，驻点,31,因此，驻点,因此，驻点,32,第二部分 二重积分,考点概览： 1、二重积分的概念几何意义 2、二重积分的简单性质 3、二重积分的定限 4、直角坐标系下交换积分次序 5、在直角坐标系下计算二重积分 6、在极坐标系下计算二重积分,33,曲顶柱体体积=,引例曲顶柱体的体积,曲顶柱体,以xOy面上的闭区域D为底,D的边界曲线为准线而
4、母线平行于z轴的柱面,侧面以,顶是曲面,且在D上连续).,?,1、二重积分的概念及几何意义,34,二重积分的几何意义,35,性质 线性,(二重积分与定积分有类似的性质),2. 二重积分的性质,性质2,对积分区域的可加性质.,36,性质3,若 为D的面积,例：设D由直线,解：,练习：P4 四、2,37,设区域D关于x轴对称,如果函数 f(x, y)关于坐标y为偶函数.,性质4,则,D1为D在第 一象,限中的部分,坐标y为奇函数,则,设区域D关于x轴对称,如果函数 f (x, y)关于,38,如果函数 f(x,y)关于坐标x为奇函数,如果函数 f(x,y)关于坐标x,则,为偶函数,则,类似地,设区
5、域D关于y轴对称,且D1为D在,第一象限中的部分,39,设D为圆域(如图),0,0,D1为上半圆域,D2为右半圆域,?,练习：P4 四、3，4,40,41,性质5(比较性质),设,则,C,练习：P5 四、6，7,42,(1) 积分区域为：,其中函数,在区间 上连续.,3. 利用直角坐标系计算二重积分,43,先对y后对x的二次积分,称为,累次积分.,44,(2) 积分区域为：,先对x后对y的二次积分,也即,其中函数,在区间,上连续.,45,练习：熟练掌握练习册上相应习题,46,在直角坐标系下计算二重积分（1个解答题）,注：,47,48,4. 交换积分次序的步骤,(1) 将已给的二次积分的积分限得
6、出相应的二重积分的积分区域,(2) 按相反顺序写出相应的二次积分.,并画出草图;,49,例,交换积分次序：,解,原式=,50,练,例,51,4、利用极坐标系计算二重积分,52,53,（1）极坐标系下的积分定限,54,（2）极坐标系下计算二重积分,55,56,例,57,第三部分 微分方程,考点概览： 1、微分方程的基本概念 阶数（判断题）；会判断三种一阶方程的类型（判断题，选择题） 2、求简单微分方程的通解、特解或积分曲线（选择、填空题） 3、会求解可分离变量方程和一阶线性方程 （2个解答题：2个可分离变量方程或1个可分离变量方程1个一阶线性方程）,58,1、微分方程的基本概念,如,未知函数是一
7、元函数的方程为,方程中所出现的导数(或微分)的最高阶数称,微分方程:,常微分方程(ODE);,微分方程的阶.,一阶,一阶,二阶,59,代入微分方程能使方程成为恒等式的函数,微分方程的解:,微分方程的解的分类,(1) 通解,微分方程的解中含有任意常数,且任意,常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2) 特解,确定了通解中任意常数以后的解.,如方程,通解,特解,通常,用来确定任意常数的条件为：,初值条件,60,61,解的图象,通解的图象,微分方程的积分曲线.,积分曲线族.,是过定点的积分曲线;,一阶,几何意义,例,62,2、一阶微分方程,考点：辨别三类一阶微分方程,63,可分离变量的方程,或,如果可以写成如下形式,或,（1）可分离变量方程,64,一阶线性微分方程的标准形式,上面方程称为,上面方程称为,如,线性的;,齐次的;,非齐次的.,一阶,（2）一阶线性微分方程,非线性的;,65,（3）齐次方程,如果一阶微分方程可以写成如下形式,齐次方程.,则称之为,66,67,微分方程,是变量可分离微分方程.,【答案：正确】,68,69,70,71,3、三类一阶微分方程的解法,72,73,74,75,76,解微分方程：,