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1、第九章 习题课,一、基本概念与理论,二、基本方法,四、练习,三、例题讲析,1.欧几里得空间的定义和基本性质，度量矩阵 的定义及性质。 2.施密特（Schimidt）正交化过程，正交矩阵、 正交变换的定义及性质，线性空间的正交分 解。 3.对称矩阵的标准形理论。,一、基本概念与理论,二、基本方法,1.欧氏空间有内积，因而具有度量性质：向量 的长度、夹角、正交。 2.标准正交基，Schmidt正交化、正交矩阵和正 交补空间。 3.掌握欧氏空间的正交变换对称变换和实数域 上正交矩阵、对称矩阵的对应关系。,例1 设 是n维欧氏空间V的一个单位向量.定,义线性变换 :,称 为一个镜面反射.证明:,(1)
2、 是正交变换;,(2) 是第二类的;,(3),三、例题讲析,证(1)任取,故 为正交变换.,(2)将 扩充为V 的标准正交基 由 的,定义,从而 即 为第二类的.,故 在基 下的矩阵,(3),注: 根据线性变换与矩阵的关系,由(2)也可证,例2 设 是n维欧氏空间V的第二类正交变换.则,存在镜面反射 及第一类正交变换 使,分析: 由 知 有特征值 对应的单位特征,向量设为 即 将 扩充为标准正交基:,设 在该基下的矩阵为 .则 为正交矩阵且,由矩阵与线性变换的关系,拆分 即将,分成,与一行列式为1的正交矩阵的积.设,由 B, 均为正交矩阵,C 必为正交阵.,且 .C 对应的线性变换即为要求的
3、.,证:由 知 有特征值 对应的单位特征,向量设为 即 将 扩充为V的标准正,交基: 设,则 为正交矩阵且 则,定义,则 为镜面反射.,则 为第一类的.故 命题成立.,例 3 设V为n维欧氏空间,若 为 V 的线性变换,则,为正交变换当且仅当 保持向量间的距离不变.,证:,故,故 为正交变换.,例4 给定 的标准度量,求出 中所有保持下列,正方形(A(1,1),B(-1,1),C(-1,-1),D(1,-1)整体不变(即,正方形四条边上的点经过变换后仍落在四条边上),的正交变换.,分析:根据题意,求这样的正交变换,即将标准正交基,(在正方形上)变为仍在正方形上的,标准正交基即可.只可能为,解:
4、由 的标准正交基 在正方形,上,经正交变换后仍在正方形上,且为标准正交基,故所求正交变换为:,例5 设A是 n 阶实对称矩阵.证明: A正定的充,分必要条件为A的特征多项式的根全大于0.,分析:由A为实对称阵,我们可以找到正交阵T使,为对角阵,这样A的特征值就全暴,露出来了.,证:由A为实对称阵,存在正交阵T使,由A正定, 正定,故,由 , 正定,故A正定.,例6 设A、B均为同阶实对称阵, A正定,则存,在可逆阵P使 为对交阵.,证:A由正定,存在可逆阵Q使 . 对,有正交阵T使 为对角阵.取 即可.,分析: 因为A正定,我们可先将A合同于E,又正交阵,T具有性质 .这样变化后的 A将不再改
5、变.,例7 实二次型,经正交线性替换 化为标,准形,(1)求a,b及正交阵P；,(2)问二次型 f 是否正定?为什么？,分析：由于实二次型的矩阵是实对称阵.由标准形可,知矩阵的特征值,从而可求a,b,而P为特征值的特征向,量组成的.,解:(1)二次型的矩阵 的特征多项式,由 f 的标准形为 知, A的特征值为,将1,0代入 得,解得b=1,a=3.,分别解 得单位特征向量,故,(2)由标准形知 f 的秩为 2 ,故不正定.,例8 欧氏空间V的对称变换 称为正定的,若,满足对任意的 证明:,正定 在标准正交基下的矩阵为正定阵.,证: 设 为V的标准正交基, 在该基下的,矩阵为对称阵A.,对任意的
6、 令 则,故 ,即A,正定.,任取 ,设 ,则,故 ,即 为正定的.,例9 设V为 n 维欧氏空间.证明:,对V中给定的向量 , V上的函数 连续.,证: 设 为V的标准正交基,设,则 , 当 时 ,即 连续.,例10 (1)A为 n 阶实矩阵.证明存在正交阵T使得,为上三角当且仅当A的特征值全为实数.,(2) A为正交阵,特征值全为实数.则A为对角阵.,证:,对 n 归纳. n=1时显然成立,设为 n 1时成立.则,为 n 时,设 为A的特征值, 为相应的特征向量.将,单位化并扩充为标准正交基 ,令,则 为正交阵且,这里 为n-1阶实矩阵.特征值,全为实数.由假设,存在正交阵Q使得 为上三角
7、,令,则T为正交阵且 为上三角.,(2)A的特征值全为 1 , 1 .由(1),存在正交阵T使得,对角线上前 s 个为 1 ,后 s 个为 1 ,令, 由,这里 为 1 或 1 ,和,可算出,故 为对角阵,从而A为,对角阵.,例11,且有特征向量1,1,1) .,构造一个 3 阶实对称阵A,使其特征值为 2, 1 ,1 .,分析:注意对称矩阵的不同特征值的特征向量正交.,解: 设正交阵T使得 即,将(1,1,1)扩充为正交基(1,1,1),(0,1, 1 ),(2, 1 , 1 ) 并单位化得 ,令,A满足要求.,解：,例12 对下列各实对称矩阵，分别求一正交矩阵 ， 使 为对角阵.,(1)第
8、一步 求 的特征值,(,),解之得基础解系,解之得基础解系,解之得基础解系,将特征向量正交化,第三步 将特征向量单位化,得基础解系,于是得正交阵,1. 设 是n维欧氏空间V的线性变换,若对任意,都有,称 为反对称变换.证明:,矩阵为反对称矩阵.,(1) 为反对称变换当且仅当 在标准正交基下的,(2)若M为 子空间，则 也为 子空间.,(3) 的特征值为或纯虚数.,四、练习,(4)存在V的标准正交基 使 在该基下的,矩阵为,是非零实数.,2. 已知二次曲面,通过正交变 换化为二次曲面,求k值及正交阵P.,3. 对于阶数分别为n,m的实对称阵A与B,假设,B是正定矩阵.试证明:存在非零矩阵H使得,成为正定矩阵.(提示应用例6的结果),