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1、导数及其应用,主干知识整合,1导数的几何意义 函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即kf(x0),3复合函数求导 复合函yf(g(x)的导数和yf(u)，ug(x)的导数之间的关系为gxf(u)g(x) 4函数的单调性与导数的关系 在区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减,5函数的单调性与极值的关系 一般地，对于函数yf(x)，且在点a处有f(a)0. (1)若在xa附近的左侧导数小于0，右侧导数大于0，则f(a)为函数yf(x)的极小值
2、 (2)若在xa附近的左侧导数大于0，右侧导数小于0，则f(a)为函数yf(x)的极大值,6利用定积分求曲边梯形的面积,高考热点讲练,设f(x)xln x1，若f(x0)2，则f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为_,【答案】 2xye10,【归纳拓展】 求曲线切线方程的步骤是： (1)求出函数yf(x)在点xx0处的导数，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率； (2)在已知切点坐标P(x0，f(x0)和切线斜率的条件下，求得切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0) 注意：当曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线定义可知，切线方
3、程为xx0； 当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解,已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数) (1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)在(1,1)上单调递增，求a的取值范围,【归纳拓展】 利用导数研究函数单调性的一般步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f(x)； (3)若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0. 若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题求解,变式训练2 设函数f(x)x33axb(a0) (1)若曲线yf(x
4、)在点(2，f(2)处与直线y8相切，求a，b的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值点,f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：,【归纳拓展】 利用导数研究函数的极值的一般步骤： (1)确定定义域 (2)求导数f(x) (3)若求极值，则先求方程f(x)0的根，再检验f(x)在方程根左、右值的符号，求出极值(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内) 若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况，从而求解,变式训练3 设aR，函数f(x)ax33x2. (1)若x2是函数yf(x)的极值点，求a的值； (2)若函数g(x)f(x)f(x)，x0,2，在x0处
5、取得最大值，求a的取值范围 解：(1)f(x)3ax26x3x(ax2) 因为x2是函数yf(x)的极值点， 所以f(2)0，即6(2a2)0，因此a1. 经验证，当a1时，x2是函数yf(x)的极值点 (2)由题设，g(x)ax33x23ax26xax2(x3)3x(x2),考题解答技法,【得分技巧】 (1)求a的取值范围，关键转化为f(x)0，从而利用不等关系求a的取值范围这样可以得23分 (2)第二个得分点是利用f(1)或f(4)求a的值，利用求最值方法求最大值,(3)函数g(x)f(x)x3ex(x2xc)ex， 有g(x)(2x1)ex(x2xc)ex(x23xc1)ex， 因为函数在区间x3,2上单调递增， 所以h(x)x23xc10在x3,2上恒成立 只要h(2)0，解得c11， 所以c的取值范围是11，),