《概率第7章.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率第7章.ppt（62页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第七章 随机变量的数字特征,第一节 数学期望,重点,理解数学期望的概念，掌握它的性质与计算,了解二项分布、泊松分布、正态分布等的数学期望,数学期望这个名词由赌博而来。甲乙两人赌技相同，各出赌金100元，约定先胜三局者为胜，取得全部200元。现在甲胜2局乙胜1局的情况下中止，问赌本该如何分？,若继续赌下去而不中止，则甲有3/4的机会(概率)取胜，而乙胜的机会为1/4。所以，在甲胜2局乙胜1局这个情况下，甲能“期望”得到的数目，为：,乙能“期望”得到的数目为：,若引入一个随机变量X，X等于在上述局面之下继续赌下去甲的最终所得，那么甲的“期望”所得，等于,“X的可能值与其概率之积的累加”,这就是“数
2、学期望”(简称期望)这个名词的由来。这个名词源出赌博，听起来不大通俗化，本不是一个很恰当的命名，但它在概率论中已源远流长获得公认，也就站住了脚跟。,例 某服装公司生产两种套装，一种是大众装，每套200元，生产900套，另一种是高档装，每套1800元，生产100套，该公司生产套装平均价格是多少？,这种平均称为加权平均。,例 某服装公司生产两种套装，一种是大众装，每套200元，生产900套，另一种是高档装，每套1800元，生产100套，该公司生产套装平均价格是多少？,若利用随机变量的观点，设X为该公司生产套装的单价，有,平均价格是该公司生产套装单价X的加权平均，在概率论中称为随机变量X的数学期望。
3、,离散型随机变量的数学期望,数学期望E(X),设离散型随机变量的概率分布为,Mathematical Expectation,定义,离散型随机变量,称为随机变量X的数学期望，简称期望或均值。,它是随机变量X的取值以概率为权的加权平均。,连续型随机变量X的数学期望E(X),连续型随机变量,定义,数学期望 它是一个数不再是 r.v.,X有分布,两点分布,例2 X B ( n , p ), 求 E( X ) .,解,特例 若X B ( 1 , p ), 则 E(X),二项分布,例3 X ，求E(X)。,解,泊松分布的分布律为：,泊松分布,例4 X N ( , 2 ), 求 E ( X ) .,解,正
4、态分布,常见 r.v. 的数学期望,N(, 2),随机变量的函数的数学期望,定理 1：一维情形,离散型,连续型,概率密度为,例1 设随机变量X的分布律为,求 。,例2,例 设随机变量X的分布律为,求 。,解,因为,所以,例,解,数学期望的性质,.,C 为常数,.,.,特别地，,例 一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车。如果到达一个车站，没有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数，求E(X)。（设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）,解,引入随机变量，,则,由题意，任一旅客在第i站不下车的概率为,20位旅客都不在第i站下车的概率为,在第i站有人下
5、车的概率为,即,所以,将X分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于数学期望之和来求。这种处理方法具有一定的普遍意义。,例(课本) 将n个球随机地放入M个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数X的期望。,练习,独立地操作两台仪器，它们发生故障的概率分别为p1和p2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为p1 + p2,Step1. 设随机变量X,设产生故障的仪器数目为X,Step2.求X的分布律,I.找出X的所有可能取值,X=0, 1, 2,II. 计算每个取值的概率,P(X=0)=(1- p1)(1- p2),P(X=1)=p1 (1- p2)+ (1- p1)
6、p2,P(X=2)=p1 p2,E(X)= p1 (1- p2)+ (1- p1) p2 + 2p1 p2= p1 + p2,Step 3. 计算E(X),解,第二节 方差和标准差,重点,理解方差的概念，掌握它的性质与计算,了解二项分布、泊松分布、正态分布等的方差,期望反映了随机变量的平均值,是随机变量的一个重要的数字特征。但是，在许多实际问题中，仅仅知道均值是不够的，常常还需要了解随机变量与其均值的偏离程度。,如，测量两种手表，得知它们的日走时误差 (分钟)的分布律分别为,那一种手表的精确度高？,为描述随机变量X偏离其均值E(X)的情况，可以考虑考察 的平均值。,是否三个都能较好的描述偏离情
7、况呢？,方差,Variance,定义,D(X ) 描述 r.v. X 的取值偏离平均值 的平均偏离程度, 数,均方差/标准差,它与X有相同的度量单位(量纲相同)，在实际应用中经常使用。,原点矩与中心矩,一般地，我们称 为X的k阶原点矩， 称 为X的k阶中心矩，其中k是正整数。例如，期望 是一阶原点矩，方差 是二阶中心矩。,一维随机变量的方差,设离散型随机变量X的概率分布为,离散型,连续型,设连续型随机变量X的密度函数为 f (x),方差计算公式,Proof.,方差的计算步骤,Step 1: 计算期望 E(X),Step 2: 计算 E(X2),Step 3: 计算 D(X),两点分布的方差,分
8、布律,方差,D(X) = p q,q=1-p,泊松分布的方差,方差和期望值相等？！,分布律,方差,正态分布的方差,密度函数,方差,方差的性质,.,C 为常数,.,特别地，若X ,Y 相互独立，则,.,性质 1 的证明：,性质 2 的证明：,性质 3 的证明：,当 X ,Y 相互独立时，,注意到，,例2 设X B( n , p)，求D(X ).,解 引入随机变量,相互独立，,故,二项分布的方差,常见随机变量的方差,N(, 2),例 已知 X 的 密度函数为,其中 A ,B 是常数，且 E (X ) = 0.5.,求 A ,B. (2) 设 Y = X 2, 求 E (Y ),D (Y ),解 (
9、1),(2),第三节 协方差和相关系数,对多维随机变量，随机变量的期望和方差只反映了各自的平均值与偏离程度，并没能反映出随机变量之间的关系。本节将要讨论的协方差是反映随机变量之间相互依赖关系的一个重要特征。,在证明方差的性质时，我们得到，当X与Y相互独立时，有：,反之说明，当 ，,X与Y一定不相互独立。,这说明，量,在一定程度上反映了随机变量X与Y之间的关系。,定义,利用数学期望的性质，可将协方差的计算简化：,特别地，当X与Y相互独立时，有 。,注：当X与Y不相互独立时，也有可能 。,例(课本) 设 ,显然X与Y不相互独立。,意义：,协方差可以帮助我们了解两个变量之间的关系。,如果X取值比较大
10、时(如X大于其期望E(X)，Y也取值比较大(也大于它的期望E(Y),这时cov(X,Y)0；,如果X取值比较小时(如X小于E(X)，Y也取值比较小(也小于E(Y),这时也有cov(X,Y)0。,可见正的协方差表示两个随机变量倾向于同时取较大值或较小值。,反过来，负的协方差反映了两个随机变量有相反方向的变化趋势。,性质,第五节 中心极限定理,定 理 一,林德伯格-列维中心极限定理, 独立同分布的中心极限定理 ,定 理 二,棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理, 二项分布以正态分布为极限分布 ,(Lindberg-levi),(De Moivre-Laplace),前面学习正态分布时提到，若随机变量X受众
11、多相互独立随机因素影响，每一因素的影响都是微小的，且这些正、负影响可以叠加，那么这样的随机变量X接近正态分布。,若将各因素作用用 表示，那么 ，X将 服从或近似服从正态分布。如何从理论上、数学上给予解释？由此引发中心极限定理的研究。,粗略地说，所谓中心极限定理就是讨论在什么条件下，独立随机变量之和的分布可用正态分布近似。,独立同分布的中心极限定理,定理 1,注,即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标 准正态随机变量的分布函数,记,近似,近似服从,中心极限定理的意义,在第二章曾讲过有许多随机现象服从 正态分布,若联系于此随机现象的随机变量为X ，,是由于许多彼次没有什么相依关,系、对随机现
12、象谁也不能起突出影响，而,均匀地起到微小作用的随机因素共同作用,则它可被看成为许多相互独立的起微小作,用的因素Xk的总和 ，而这个总和服从,或近似服从正态分布.,(即这些因素的叠加)的结果.,高尔顿钉板, 钉子层数,常常在赌博试验中见到。庄家常常在两边放置值钱的东西来吸引顾客。可用中心极限定理来解释。,棣莫佛拉普拉斯中心极限定理 （DeMoivre-Laplace ）,Y n N (np , np(1-p) (近似),定理2,设 是一个独立同分布的随 机变量序列，且 则对任意一个 ，总有,例1 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次 轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学 期望为 2 , 均
13、方差为1.5. 若各次轰击命中 的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击,(1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率.,解 设 X k 表示第 k 次轰击命中的炮弹数,相互独立，,设 X 表示100次轰击命中的炮弹数, 则,由独立同分布中心极限定理, 有,(1),(2),例2 某车间有200台车床，每台独立工作， 开工率为0.6. 开工时每台耗电量为 r 千瓦. 问供 电所至少要供给这个车间多少电力, 才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因 供电不足而影响生产？,解 设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力，,X 为开工的车床数 ,则 X B(200,0.6) ,X N (120, 48) (近似),由德莫佛拉普拉斯中心极限定理, 有,问题转化为求 a , 使,查标准正态函数分布表，得,令,解得,(千瓦),作业,P93P94 习题七 1、3、7、,