概率论总复习.ppt

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1、2019/4/3,概率论与数理统计复习,引言,2019/4/3,第一章 随机事件与概率,1.1 样本空间与随机事件,一 .随机试验: 对随机现象进行一次观察和实验，统称为随机试验。随机实验简称为实验，用E 表示 特点:（1）实验可以在相同的条件下重复进行；（2）实验的全部可能结果不止一个，并且在实验之前能够明确知道所有的可能结果;（3）每次实验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个,2019/4/3,二 样本空间与随机事件,1. 样本空间,实验E的所有可能结果构成的集合，称为E的样本空间，用S表示. 样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点.,2019/4/3,定义,一般将样本空间的子集称为

2、随机事件。随机事件用大写字母A，B，C表示.,在一次试验中，事件A发生的含义是，当且仅当A中一个样本点(或基本事件)发生（或出现）。事件A发生也称为事件A出现。,事件的发生,2. 随机事件,2019/4/3,其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度,观察某地区每天的最高温度与最低温度,观察总机每天9:0010:00接到的电话次数,投一枚硬币3次，观察正面出现的次数,例 给出一组随机试验及相应的样本空间,2019/4/3,一.古典概型,1-2 事件的概率,定义1 若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同.,称这种试验为古典型试验

3、，简称古典概型.,2019/4/3,定义2 设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义事件A的概率为：,称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法称为古典方法 .,排列组合是计算古典概率的重要工具 .,2019/4/3,三.概率的频率定义,例2：从同一型号同一批次的反坦克弹中任抽一发反坦克弹射击目标，观测命中情况。设A代表“命中”这一事件，求P(A)?,1 . 事件的频率 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n次试验中事件A发生的次数。 频率 f = m/n,2. 频率的稳定性,掷一枚均匀硬币，记录前400次掷硬币试验中频率P*的波动情况。

4、（正面出现频率的趋势，横轴为对数尺度）,2019/4/3,3概率的频率定义,在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n次试验中事件A发生的次数。当试验次数n很大时，如果频率m/n稳定地在某数值p附近摆动，而且一般地说，随着试验次数的增加，这种摆动的幅度越来越小，称数值p为事件A在这一组不变的条件下发生的概率，记作P(A)=p.,2019/4/3,定义 设A、B为两事件, P ( A ) 0 , 则,称为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率.,1.3 条件概率,2019/4/3,例3 某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为0.8, 能用1500小时的概率为0.4 , 求已用1000小

5、时的灯泡能用到1500小时的概率,解 令 A 灯泡能用到1000小时, B 灯泡能用到1500小时,所求概率为,2019/4/3,三全概率公式,定义,若事件组B1,Bn,满足：,（1）,B1,Bn互不相容且P(Bi)0，i=1,n,（2）,则称事件B1,Bn为样本空间的一个划分,2019/4/3,三全概率公式,事件B1,Bn,为样本空间的一个划分则对任何事件A，均有,上式称为全概率公式.,定理,2019/4/3,1.4 事件的独立性,例 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中有放回地取球两次，设第 i 次取得白球为事件 Ai ( i =1, 2 ) .,求,解,一事件的独立性,2019/4/3

6、,事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影响,定义,设 A , B 为两事件，若,则称事件 A 与事件 B 相互独立,可视为事件A1与A2相互独立,2019/4/3,三事件 A, B, C 相互独立 是指下面的关系式同时成立：,(2),定义,2019/4/3,n 个事件 A1, A2, , An 相互独立 是指下面的关系式同时成立,定义,常由实际问题的意义 判断事件的独立性,2019/4/3,第二章 随机变量及其分布,为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律，引入随机变量来描述随机试验的不同结果.,例 电话总机某段时间内接到的电话次数，可用一个 变量 X 来描述,例 抛掷一

7、枚硬币可能出现的两个结果，也可以用一 个变量来描述,2019/4/3,这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.,这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数不一样。,2019/4/3,有了随机变量，随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的取值来表达.,二、引入随机变量的意义,如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量.,事件收到不少于1次呼叫 X 1,没有收到呼叫 X= 0,2019/4/3,2.1 随机变量的概念,定义 设E是一随机试验，S 是它的样本空间，若,则称 S 上的单值实值函数 X ( )为随机变量,随机变量一般用 X, Y , Z ,或小写希腊字母,

8、 , 表示.,2019/4/3,2019/4/3,2019/4/3,随机变量的分类,离散型随机变量,非离散型随机变量, 其中一种重要的类型为 连续性随机变量,2019/4/3,定义了一个 x 的实值函数，称为随机变量 X 的分布函数，记为F ( x ) ,即,2019/4/3,分布函数的性质,F ( x ) 单调不减，即,且,F ( x ) 右连续，即,2019/4/3,利用分布函数可以计算,2019/4/3,2.2 离散型随机变量及其概率分布,定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或 无穷可列多个，则称 X 为离散型随机变量,描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率 分布或分布律，即,概

9、率分布的性质,2019/4/3,F( x) 是分段阶梯函数，在 X 的可能取值 xk 处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点， 在间断点处有跃度 pk,2019/4/3,(1) 0 1 分布,注 其分布律可写成,服从0 1分布的随机变量描述，如产品是否合格、系统,是否正常、电力消耗是否超负荷等等.,2019/4/3,(2) 二项分布,背景：若在每次试验中，事件A发生的概率均为p，则 在独立的 n 次试验中事件A发生的次数 （ X ） 是一离散型随机变量,若P ( A ) = p , 则,称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作,0 1 分布是 n = 1 的二项分布,2019/4/3,解 (

10、1) 设 需要配备 N 个维修工人,设 X 为90 台,设备中发生故障的台数，则 X B( 90, 0.01),例6 设有同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设 备发生故障的概率都是 0.01. 在通 情况下，一台设备发 生故障可由一个人独立维修，每人同时也只能维修一台 设备. 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发 生故障时不能及时维修的概率小于0.01?,2019/4/3,在一定时间间隔内电话总机接到的电话次数,一匹布上的疵点个数；,大卖场的顾客数；,应用场合,一个容器中的细菌数；,2019/4/3,注意：离散型随机变量的分布函数是分段阶梯函数，在 X 的可能取值 xk 处发生间断

11、，间断点为第一类跳跃间断点，在间断点处有跃度 pk。,2019/4/3,2.3 连续型随机变量,定义 设 X 是一随机变量，若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得,其中F ( x )是它的分布函数,则称 X 是连续型随机变量，f ( x )是它的概率密 度函数( p.d.f. )，简称为密度函数或概率密度,2019/4/3,分布函数F ( x )与密度函数 f ( x )的几何意义,2019/4/3,p.d.f. f ( x )的性质,在 f ( x ) 的连续点处，,f ( x ) 描述了X 在 x 附近单位长度的区间内取值的概率,2019/4/3,注意: 对于连续型随机变量X ,

12、 P ( X = a) = 0,命题 连续型随机变量取任一常数的概率为零,2019/4/3,对于连续型随机变量X,2019/4/3,2019/4/3,(1) 均匀分布,( a , b)上的均匀分布, 记作,若 X 的密度函数为 ，则称 X 服从区间,其中,X 的分布函数为,2019/4/3,2019/4/3,即 X 的取值在(a,b)内任何长为 d c 的小区间 的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正 比. 这正是几何概型的情形.,在进行大量数值计算时，如果在小数点后第 k 位进行四舍五入，则产生的误差可以看作服从,应用场合,2019/4/3,例11: 钟的最小刻度差为1秒. 若计时精度是

13、取最近的刻度值, 求使用该秒表计时产生的随机误差X 的概率密度及分布函数（并画图）, 并计算误差大于0.1且不超过0.4秒的概率.,解 由题设知随机误差 X 等可能地取得区间-0.5,0.5 上的任一值，则,所以,2019/4/3,(2) 指数分布,若 X 的密度函数为,则称 X 服从 参数为 的指数分布,记作,X 的分布函数为, 0 为常数,2019/4/3,2019/4/3,对于任意的 0 a b,应用场合,用指数分布描述的实例有：,随机服务系统中的服务时间,电话问题中的通话时间,无线电元件的寿命,动物的寿命,指数分布常作为各种 “寿命”分布的近似,2019/4/3,(3) 正态分布,若X

14、 的密度函数为,则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布,记作 X N ( , 2 ),为常数，,2019/4/3,N (-3 , 1.2 ),2019/4/3,f (x) 的性质：,图形关于直线 x = 对称： f ( + x) = f ( - x),在 x = 时, f (x) 取得最大值,在 x = 时, 曲线 y = f (x) 在对应的点处有 拐点,曲线 y = f (x) 以x轴为渐近线,曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状,2019/4/3,f (x) 的两个参数：, 位置参数,即固定 , 对于不同的 , 对应的 f (x) 的形状不变化，只是位置不同, 形状参数,固定 ，对

15、于不同的 ，f ( x) 的形状不同.,若 1 2 则,比x = 2 所对应的拐点更靠近直线 x = ,附近值的概率更大. x = 1 所对应的拐点,前者取 ,2019/4/3,2019/4/3,应用场合,若随机变量 X 受到众多相互独立的随机因 素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的， 且这些影响可以叠加, 则 X 服从正态分布.,可用正态变量描述的实例非常之多：,各种测量的误差； 人的生理特征；,工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；,海洋波浪的高度； 金属线的抗拉强度；,热噪声电流强度； 学生们的考试成绩；,2019/4/3,一种重要的正态分布：N (0,1) 标准正态分布,它的分布函数记

16、为 (x)，其值有专门的表可查, (x) 是偶函数，其图形关于纵轴对称,2019/4/3,2019/4/3,-x,x,2019/4/3,对一般的正态分布 ：X N ( , 2),其分布函数,作变量代换,2019/4/3,例14 设 X N(1,22) , 求 P (0 X 1.6),解,2019/4/3,2.4 随机变量函数的分布,问题：已知随机变量 X 的分布函数 或密度函数（分布律）,Y = g ( X ),求 随机因变量Y 的分布函数 或密度函数 （分布律）,方法：将与 Y 有关的事件转化成 X 的事件,2019/4/3,设随机变量 X 的分布律为,由已知函数 g ( x) 可求出随机变

17、量 Y 的所有 可能取值，则 Y 的分布律为,2019/4/3,已知随机变量 X 的密度函数 f (x) (或分布函数) 求 Y = g( X ) 的密度函数或分布函数,方法：,（1） 从分布函数出发 （2）从密度函数出发,2019/4/3,例 已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数, 证明Y=F(X)服从0,1上的均匀分布.,又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数, 其反函数 F-1 存在且严格递增.,证明: 设Y的分布函数是G(y),于是,对y1, G(y)=1;,对y0 , G(y)=0;,由于,2019/4/3,对0y1,G(y)=P(Y y),=P(F(X) y),=

18、P(X (y),=F( (y)= y,即Y的分布函数是,2019/4/3,求导得Y的密度函数,可见, Y 服从0，1上的均匀分布.,本例的结论在计算机模拟中有重要的应用.,2019/4/3,（X, Y）,例: 在打靶试验中，有时我们关心的是弹着点与目标的距离Z，有时我们要考察弹着点是上下偏离目标还是左右偏离目标，这时需要考虑弹着点的位置坐标,而Z 2= X 2 + Y 2,第三章 多维随机变量及其分布,2019/4/3,3.1 二维随机变量及其分布,定义 设为随机试验的样本空间，,则称二维向量( X , Y )为二维随机变量 或二维随机向量,2019/4/3,二维随机变量的联合分布函数,定义

19、设( X , Y ) 为二维随机变量，对于任何 一对实数( x , y ), 事件,定义了一个,二元实函数 F ( x , y )，称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数，即,(记为 ),的概率,2019/4/3,边缘分布,记(X,Y)的分量X，Y 的分布函数分别为FX (x)和FY ( y)，称它们为X，Y 的边缘分布函数。,2019/4/3,定义 若二维随机变量(X ,Y )的所有可能的 取值为有限多个或无穷可列多个, 则 称(X ,Y ) 为二维离散型随机变量.,2019/4/3,联合分布律,设( X ,Y )的所有可能的取值为,则称,为二维随机变量( X ,Y ) 的联合分布律

20、，也简称分布律,显然，,2019/4/3,二维离散型随机变量的联合分布函数,已知联合分布律可以求出其联合分布函数,反之，已知分布函数也可以求出其联合分布律,2019/4/3,二维离散型随机变量的分量X 和Y 的分布律分别称为X 和Y边缘分布律,2019/4/3,二维连续型随机变量及其联合概率特性,定义 设二维随机变量( X ,Y )的分布函数为 F(x ,y ),若存在非负可积函数 f (x,y) , 使得对于任意实数 x,y 有,则称( X ,Y ) 为二维连续型随机变量， f (x,y) 为( X ,Y ) 的联合密度函数 简称为联合密度或概率密度,2019/4/3,3.二维连续型随机变量

21、的边缘密度函数,2. 若(X,Y)是二维连续型随机变量，其联合密度函数是f(x,y)，此时X和Y也是连续型随机变量，分别称X 和Y 的概率密度函数fX(x)和fY(y)为(X,Y)关于X和Y 的边缘密度函数, 简称为边缘密度。,1. 若(X,Y)为连续型随机变量, 则X, Y均为连续型随机变量,2019/4/3,2019/4/3,设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（ X,Y）具有概率密度,则称（X,Y）在G上服从均匀分布.,向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标（ X,Y）在G上服从均匀分布.

22、,例,2019/4/3,若二维随机变量( X ,Y ) 的联合密度为,则称( X ,Y ) 服从参数为1,12,2,22, 的 正态分布, 记作( X ,Y ) N(1,12；2,22； ),其中1,2 0, -1 1,2019/4/3,正态分布的边缘分布仍为正态分布,2019/4/3,3.3 随机变量的独立性 将事件的独立性推广到随机变量,定义 设(X,Y )为二维随机变量，若对于任何,则称随机变量X 和Y 相互独立,实数 x, y 都有,2019/4/3,二维离散型随机变量( X, Y ) 相互独立,即,二维连续型随机变量 ( X, Y ) 相互独立,2019/4/3,设(X, Y)为二维

23、离散型随机变量，其分布律为,条 件 分 布,i =1, 2,; j =1, 2,.,(X, Y)关于 X 和 Y 的边缘分布律分别为,对于固定的 j,若P(Y=yj)0, 则称,为在Y=yj条件下随机变量 X 的条件分布律.,2019/4/3,同样, 对于固定的 i,若P(X=xi)0, 则称,为在X=xi条件下随机变量 Y 的条件分布律.,条件分布律的性质,2019/4/3,设(X, Y)为二维连续型随机变量,其概率密度为f(x, y), (X, Y)关于Y 的边缘密度为 fY(y). 若对于固定的 y, fY(y)0, 则称,为在Y=y条件下随机变量 X 的条件概率密度.,称为在Y=y条件

24、下X 的条件分布函数.,2019/4/3,类似地, 设(X, Y)的概率密度为f(x, y), (X, Y)关于X 的边缘密度为 fX(x). 若对于固定的 x, fX(x)0, 则称,为在X=x条件下随机变量 Y 的条件概率密度.,称为在Y=y条件下X 的条件分布函数.,2019/4/3,条件概率密度的性质,（1） 对于(x, y), fY(y)0, 有,（1）* 对于(x, y), fX(x)0, 有,2019/4/3,条件概率密度的性质,2019/4/3,随机变量的平均取值 数学期望 随机变量取值平均偏离数学期望的情况 方差,第四章 随机变量的数字特征,2019/4/3,定义1 设X是离

25、散型随机变量，它的概率函数是: P(X=Xk)=pk , k=1,2,2019/4/3,定义2 设X是连续型随机变量，其密度函数 为 f (x),如果,有限,定义X的数学期望为,二、连续型随机变量的数学期望,2019/4/3,一、方差的定义,方差的算术平方根 称为标准差,设X是一个随机变量，若E(X-E(X)2，则称,D(X)=EX-E(X)2,为X的方差.,4.2 方差,2019/4/3,若X的取值比较分散，则方差较大 .,若方差D(X)=0,则r.v X 以概率1取常数值 .,方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 .,若X的取值比较集中，则方差较小；,D(X)=EX-E(X)2,2019/4/3,X为离散型， P(X=xk)=pk,方差的计算公式,X为连续型， Xf(x),二、计算方差的一个简化公式,D(X)=E(X2)-E(X)2,2019/4/3,常见随机变量的数学期望,2019/4/3,区间(a,b)上的 均匀分布,E(),N(, 2),2019/4/3,常见随机变量的方差,2019/4/3,区间(a,b)上的 均匀分布,E(),N(, 2),2019/4/3,作业：,