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1、第九章小波理论及小波滤波去噪方法, 0 引言 9.1 从傅里叶变换到小波分析 9.2 小波变换,第九章 小波理论及小波滤波去噪方法,目前，信号处理已经变成 了当代科学技术发展的重要部分。对新红进行分析或分解是了解和掌握信号特征和性质的基本方法。在信号分析中，变换就是寻求对于信号的另一种表示，使得比较复杂的、特征不够明确的信号在变换后的形式下变得简洁和特征明确。 信号有两类：一类是稳定变化的信号；另一类是具有突变性质的、非稳定变化的型号。对于稳定变化的信号，知识研究线性不变算子，工程商最常使用的一种变换傅里叶变换,0 前言,第九章 小波理论及小波滤波去噪方法,傅里叶变换,1807年，傅里叶提出任
2、何函数都能用一组正余弦函数的和来表示，其最直接的影响就是再数学分析领域中的应用。 傅里叶变换是将信号分解呈不同频率的数学方法。它可以将时域中某一信号变换至频域中，并予以定量认识和分析，还能描述信号的整体频谱特征。因此傅里叶变换是众多科学领域（特别是信号处理、图形处理、量子物理等）里重要的应用工具之一。,第九章 小波理论及小波滤波去噪方法,傅里叶变换,傅里叶逆变换,f(t)表示时间信号或函数，其中t表示时间域自变量，对应的F（w）表示相应环视或信号的傅里叶变换，w表示频域自变量,第九章 小波理论及小波滤波去噪方法,傅里叶变换属于谐波分析； 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程 的
3、求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变 的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激 励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取 卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的 乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段； 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其 算法称为快速傅里叶变换算法。,傅里叶变换特点,第九章 小波理论及小波滤波去噪方法, 9.1 从傅里叶变换到小波分析,9.1.1短时傅里叶变换 傅里叶变换能提取出函数在整个频率轴上的频率信息，却不能反映信号在局部时间范围内的特征。（因为傅里叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变部分）。然
4、而对于变频信号如音乐、地震信号、雷达回波等，此时所关心的是什么时刻奏什么音符，发出什么样的音节；对地震信号，人们所关心的是在什么位置出现什么样的反射波。假设用傅里叶变换非平稳信号，则不能提供完全的信息，即通过傅里叶变换可以知道信号所含有的频率信息，但是无法知道这些频率信息究竟出现在哪些时间段上。 这样 在信号分析中面临一对最基本的矛盾：时域和频域的局部化矛盾。,它们的频域特性都随时间而变化。分析它需要提取某一时间段的频域信息或某一频率段所对应的时间信息,实际采集的地震信号,第九章 小波理论及小波滤波去噪方法,9.1.1短时傅里叶变换 为了克服傅里叶分析的局限性，使其对非平稳信号也能作较好的分析
5、，通过对信号在时域上加一个窗函数，使其对信号进行乘积运算以实现在套附近的开窗和平移，再对加窗的信号进行傅里叶分析，这就是短时傅里叶变换（short-time Fourier transform，简称STFT），或者加窗傅里叶变换。采用高斯函数作为窗口函数，其相应的傅里叶变换仍旧是高斯函数，从而使短时傅里叶变换在时域和频域内均有局域化功能,9.1 从傅里叶变换到小波分析,第九章 小波理论及小波滤波去噪方法,9.1.1短时傅里叶变换 STFT的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅里叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。其表达式为,其中公式上角“*”表示复共轭，g(t)是
6、有紧支集的函数， f(t)为进入分析的信号，在这个变换中，于傅里叶变换的基函数前乘上一个时间上有限的时限函数g(t)（窗函数），然后将其作为分析工具，这样e-iwt起频限作用， g(t)起时限作用，合在一起起时频分析作用。, 9.1 从傅里叶变换到小波分析,第九章 小波理论及小波滤波去噪方法,其中公式上角“*”表示复共轭，g(t)是有紧支集的函数， f(t)为进入分析的信号，在这个变换中，于傅里叶变换的基函数前乘上一个时间上有限的时限函数g(t)（窗函数），然后将其作为分析工具，这样e-iwt起频限作用， g(t)起时限作用，合在一起起时频分析作用。随着时间的变化， g(t)所确定的“时间窗”
7、在t轴上移动，使f(t)“逐渐”进行分析。 大致反映了f(t)在时刻“”时，频率为“w”的“信号成分”的相对含量。, 9.1 从傅里叶变换到小波分析,第九章 小波理论及小波滤波去噪方法,这样信号在窗函数上的展开就可以表示为在- ， + 、 w- ， w+这一区域内的状态，并把这一区域称为窗口，分别称为窗口的时宽和频宽，表示了时域分析中的分辨率，窗宽越小则分辨率就越高。很显然，希望，都非常小，以便有更好的时频分辨效果，但海森堡测不准原理指出，是互相制约的，两者不可能同时都任意小。, 9.1 从傅里叶变换到小波分析,第九章 小波理论及小波滤波去噪方法,由此可见，STFT虽然在一定程度上克服了标准傅
8、里叶变换不具有时域局部分析能力的缺陷，但他也存在着自身不可克服的缺陷其时间频率窗口是固定不变的，一旦窗口函数选定其时频分辨率也就确定了。而时间和频率的最高分辨率受制约，任一方分辨率的提高都意味着另一方分辨率的降低。 可以说STFT实质上是具有单一分辨率的信号分析方法，若要改变分辨率，则必须重新选择窗口函数g(t)。 因此STFT用来分析平稳信号犹可，但对非平稳信号，在信号波形变化剧烈的时刻，主频是高频，要求有较高的时间分辨率，即要小，而波形变化比较平缓的时刻，主频是低频，则要求有较高的频率分辨率，要小，而STFT不能兼顾二者。, 9.1 从傅里叶变换到小波分析,第九章 小波理论及小波滤波去噪方
9、法,对实际时变信号的分析需要时频窗口具有自适应性；对于高频谱的信息时间间隔要相对的小以给出很高的精度；对于低频谱的信息，时间间隔要相对的宽以给出完全的信息。重要的是要有一个灵活可变的时间频率窗。而小波便是为此而设计的。, 9.1 从傅里叶变换到小波分析,第九章 小波理论及小波滤波去噪方法,小波分析，是当前数学中一个迅速发展新领域，它同时具有理论深刻和应用广泛的双重含义。他是一种窗口大小（即窗口面积）固定但其形状可改变、时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被誉为“数学显微镜”, 9
10、.1 从傅里叶变换到小波分析,第九章 小波理论及小波滤波去噪方法,与傅里叶变换、STFT相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了傅里叶变换不能解决的许多困难问题，他是调和分析发展史上里程碑式的进展。,（1）继承和发展了STFT的局部化思想。 （2）克服了窗口大小不随频率变化、缺乏离散正交基的缺点。, 9.1 从傅里叶变换到小波分析,第九章 小波理论及小波滤波去噪方法,正交基的解释 若一物体可用颜色和大小表示，我们称颜色和大小为特征基，构成此物体特征描述空间。 大小和颜色是互不相干的2种描述，我们称其为正交。
11、 同时若这些基能够完全表示所有物体，我们称其为完备特征基。 因为特征基表现了物体特征，因而可以用更简洁的描述表示物体。, 9.1 从傅里叶变换到小波分析, 9.2.小波变换,9.2.1小波变换定义及特点,小波（Wavelet），即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为0的波形。 特点：（1）“小”，即在时域都具有紧支集或 近似紧支集 （2）正负交替的“波动性”，也即直流 分量为零,第九章 小波理论及小波滤波去噪方法,9.2.1小波变换定义及特点,第九章 小波理论及小波滤波去噪方法, 9.2.小波变换,傅立叶分析所用的正弦波在时间上没有限制，从负无穷到正无穷，但小波倾向于不规则与不对称。 F
12、T将信号分解成一系列不同频率正弦波的叠加，小波分析是将信号分解成一系列小波函数的叠加。而这些小波函数都是由一个母小波函数经过平移与尺度伸缩得来的。 用不规则的小波函数来逼近尖锐变化的信号显然要比光滑的正弦曲线要好，同样，信号局部的特性用小波函数来逼近显然要比光滑的正弦函数来逼近要好。,9.2.1小波变换定义及特点,第九章 小波理论及小波滤波去噪方法, 9.2.小波变换,20,连续小波变换（Continuous Wavelet Transform， CWT）用下式表示：,表示小波变换是信号f(x)与被缩放和平移的小波函数()之积在信号存在的整个期间里求和的结果。,CWT的变换结果是许多小波系数C
13、，这些系数是缩放因子（scale）和平移（position）的函数。,9.2.2连续小波变换,第九章 小波理论及小波滤波去噪方法, 9.2.小波变换,（1）连续小波函数定义：,设 ，则下面的函数族 叫小波分析或连续小波， 叫基本小波或小波。 若 是窗函数，就叫为窗口小波函数，一般我 们恒假定 为窗口小波函数。,第九章 小波理论及小波滤波去噪方法,9.2.2连续小波变换, 9.2.小波变换,22,(2) 缩放。就是压缩或伸展基本小波， 缩放系数越小， 则小波越窄,第九章 小波理论及小波滤波去噪方法,9.2.2连续小波变换, 9.2.小波变换,23,第九章 小波理论及小波滤波去噪方法,(3) 平移
14、。小波的延迟或超前。在数学上,函数f(t)延迟k的表达式为f(t-k)，,(a) 小波函数(t)； (b) 位移后的小波函数(t-k),9.2.2连续小波变换, 9.2.小波变换,24,（4）小波变换的步骤: 第一步： 取一个小波与信号的最前面部分比较; 第二步： 计算相关因子C,C代表小波和这段数据的相关性 即:C越大,两者越相似;,第九章 小波理论及小波滤波去噪方法,9.2.2连续小波变换, 9.2.小波变换,25,第三步：移动小波,重复步骤一和二,一直遍历整个数据;,第四步：对小波进行缩放,重复步骤一到三;,第五步：在所有小波尺度下,重复上述步骤.,第九章 小波理论及小波滤波去噪方法,9
15、.2.2连续小波变换, 9.2.小波变换,26,（5）小波尺度和信号频率的关系,小尺度 信号的高频,大尺度 信号的低频,第九章 小波理论及小波滤波去噪方法,9.2.2连续小波变换, 9.2.小波变换,1）双域性：小波分析是时频分析，可在时域和频域两个域内揭示信号的特征，但与STFT相比，又具有优越的时频窗。在海森堡测不准原理的约束下，频率较高时，它具有较宽的频率窗；而在频率较低时，它就有较宽的时间窗。 2）灵活性：小波基函数不是唯一的，只要满足小波的允许条件即可，因而就可以有许多构造小波的方法。不同小波有不同的特性。可分别用来逼近不同性质的信号，以便得到最佳结果。而傅里叶函数只用正弦函数去逼近任意信号，没有选择余地。,（6）连续小波函数变换的特点,第九章 小波理论及小波滤波去噪方法,9.2.2连续小波变换, 9.2.小波变换,3）快速性：由于有了多分辨率分析这一工具，大大提高了小波分析的效率 4）尺度转换性：若f(t)的CWT是 ，则f(t/)的CWT为 表明信号函数f(t)作某一伸缩时，其CWT将在a,b两轴上 作同一比例的伸缩，且不发生失真变形。,9.2.2连续小波变换,第九章 小波理论及小波滤波去噪方法, 9.2.小波变换,