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1、 指南针小升初 第三讲 方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。核心公式：1方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）2方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数4）13方阵外一层总人数比内一层总人数多24去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数21例1:学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以
2、求了。方阵最外层每边人数：604+1=16（人）整个方阵共有学生人数：1616=256（人）。【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？解析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。解：方阵最外层每边人数：6041=16（人）整个方阵共有学生人数：1616=256（人）答：方阵最外层每边有16人，此方阵中共有256人。【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？解析：方阵每向里
3、面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。解法1：最外边一层棋子个数：（14-1）4=52（个）第二层棋子个数：（14-2-1）4=44（个）第三层棋子个数：（14-22-1）4=36（个）.摆这个方阵共用棋子：52+4436132（个）解法2：还可以这样想：中空方阵总个数=（每边个数一层数）层数4进行计算。（14-3）34=132（个）答：摆这个方阵共需132个围棋子。【巩固3】一个正方形的队列横竖各减少一排共27人，求这个正方形队列原来有多少人？解析：依据：去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数21可知每
4、边的人数是：（人）原人数是：（人）答：略。【巩固4】小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚，最外边的一层共多少枚棋子？解析：这要用到方阵的公式逆运算，100必然是一个数的平方数因为（人），并且是实心的方阵，所以最外层有10人。例2：参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人？解析：如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人，因而我们可以得到如下公式：去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数21 解 ：方阵问
5、题的核心是求最外层每边人数。原题中去掉一行、一列的人数是33，则去掉的一行（或一列）人数 人方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为（人）【巩固】 参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列， 如果去掉一行一列，请问：要去掉多少名学生？还剩下多少名学生？解析：如上图表示的是一个4行4列的实心正方形队列，从图中可以看出正方形队列的特点：（1）正方形队列每行、每列的人数相等，因此总人数每行人数每列人数。（2）去掉横竖各一排时，有且只有1人是同时属于被减去的一行和一列的，如图中点A所示。因此去掉的总人数原每行人数21，或去掉的总人数减少后每行人数21。本题中所求，即去掉的
6、人数72113（人）或去掉的人数（71）2113（人）还剩的人数（71）（71）36（人）或还剩的人数7713491336（人）答：如果去掉一行一列，要去掉13名学生，还剩下36名学生。例3：解放军战士排成一个每边12人的中空方阵，共四层，求总人数？解法1：这样想：把中空方阵的总人数，看作中实方阵总人数减去空心方阵人数。（1）中实方阵总人数：1212=144（人）（2）第四层每边人数：12-2（4-1）=6（人）（3）空心方阵人数：（6-2）（6-2）=16（人）（4）中空方阵人数：144-16=128（人）答：总人数是128人。小结：中空方阵总人数=外边人数外边人数-（内边人数-2）（内边人
7、数-2）解法2：这样想：把中空方阵分成四个相等的长方形。（1）每个长方形的长=外边人数-层数12-4=8（人）（2）每个长方形的宽是层数：4人（3）总人数：844=128（人）答：总人数是128人。小结：中空方阵总人数=（每边人数-层数）层数4【巩固】学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗。四个角上都插一面，每边插7面。一共要准备多少面旗子？解析：依据求外层个数的公式：（边数-1）4（面） 答：略。 例4：一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？解析：从已知条件中可
8、以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.又知道每个小三角形的边上均匀栽9株，则大三角形边上栽的棵数为：（棵）。又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，所以大三角形三条边上共栽花：（棵）。.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.再计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次，所以小三角形每条边上栽花棵数为：（棵）解：大三角形三条边上共栽花：（棵）中间画斜线小三角形三条边上栽花：（棵）整个花坛共栽花：（棵）答：大三角形边上共栽花48棵，整个花坛共栽花69棵。【巩固】同学们做早操，排成一个正方形的方阵，从前、后、左、右数，小明都是第5个，这个方阵共有多少人？解析：如图，
9、实心圆表示小明的位置，可以知道，这个队列每行都是9人。解：每行每列数：（人） 共有：（人）例5：小明用围棋子摆了一个五层中空方阵，一共用了200枚棋子，请问：最外边一层每边有多少枚棋子？解析1：利用“相邻两层之间，每层的总数相差8”的特点，可知最外层共有棋子数：（200+8+82+83+84）556（个）最外层每边的棋子数：564+115（个）解析2：如练习中的图，把棋子分成相等的四部分。每一部分的棋子数：200450（个）每一部分每排的棋子数：50510（个）最外层每边的棋子数：10515（个）综合列式为：20045515（个）答：最外边一层每边有15枚棋子。【巩固】游行队伍中，手持鲜花的少
10、先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵，最外边一层每边12人，请问：彩车周围的少先队员共有多少人？解析1：请同学们自己画一个图，下图是一个三层中空方阵的示意图，不难发现，有如下特点：（1）外层每边点的个数都比相邻内层的每边点的个数多2；（2）每相邻两层之间，点的总数相差8个。最外层队员的总数：（人）三层共有队员的总数：=（人）解析2：如下图可分成相等的四部分，每一部分的人数：（123）39327（人）三层共有队员数：274108（人）答：彩车周围的少先队员共有108人。这个问题还有别的解法，请同学们自己试着做一下。 课后作业1、若干名同学排成中实方阵则多12人，若要将这个方阵改摆成纵横两个方
11、向各增加1人的方阵则还差9人排满，请问：原有学生多少人？解析：由于纵横两个方向各增加1人，因此不但将剩余12人摆上，而且还差9人，说明一横行与一竖行的人数总和是12921人。又由于纵横两个方向各增加1人，因此只有1人同属于横行与纵行，在数每边上的人数时，总被多数一次，因此可以用21人先加上被重复数过的1人，再除以2，也就得到每边人数。列式为（211）211人。求出每边人数，就可求出假设排满后的人数，列式为1111121人，用121人减去差的9人就是原来人数，列式为1219112人。也可以根据原来的方阵再加上12，请你试一试。答：原有学生112人。2、 有一队士兵排成一个中实方阵，最外一层有10
12、0人，请问：方阵中一共有士兵多少人？解析：要想求出方阵中一共有多少士兵，就应先求出方阵的最外层每边有多少人。已知方阵最外一层有100人，用100425人，每边是不是25人呢？不是的，因为平均分成4份后，还需要再加上1，才正好是每边上的人数，列式应该为1004126人。因此方阵中一共有2626676人。答：一共有676人。说明：这道题关键是求出每边人数。在求每边人数时，不要认为和“知道了正方形周长，求边长”一样，还必须要加上1。3、 小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵，最外层每边摆6枚，请问：要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子？最外一层的棋子总数是多少？解析：如图，最外一层每边摆6枚，根据方
13、阵每行每列个数相等特点，因此一共有6636枚棋子。最外一层每边有6枚，如果用6424枚，就认为是最外一层棋子数的答案的话，那就错了。因为正方形每个顶点上的棋子分属于一行一列，这样棋子在计算总数时就被多数了一次，这样的顶点一共有4个，需要把多数的减去，才能得到正确的结果。列式是64420枚。说明：这道题还可以这样想：数每边棋子时，可以按上图先划分成4个相等的块，这样每边就有5枚了，因此用5420枚，也可以得到正确答案。按照划分块的方法不同，至少还有两种方法，请同学们试一试。4、一队学生站成20行20列方阵，如果去掉4行4列，那么要减少多少人？解析1：把去掉4行4列转化为一行一列的去掉，就可用例6
14、的结论：去掉一行一列的总人数原每行人数21反复利用4次这个公式，只要注意“原每行人数”的变化，即可列式为：去掉4行4列的总人数2021+（201）21（202）21+（203）21401=381+361+341144（人）解析2：我们还可以这样想：原来是一个7行7列的方阵，若去掉4行4列后，仍剩下一个小正方形方阵，因此去掉4行4列的总人数原正方形方阵每边人数4，即去掉的总人数2020（204）（204） 400256 144（人）答：去掉4行4列，要减少144人。5、正方形舞厅四周均匀的装彩灯，如果四个角都装一盏且每边装12盏，那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏？解析（1）：自己画图可以看出，角上
15、的四盏灯各属于两行，所以彩灯总数应为：124444（盏）（2）：还可以把彩灯分成相等的四部分，因此彩灯总数为：（121）444（盏）答：这个舞厅四周共装彩灯44盏。6、“六一”儿童节前夕，在校园雕塑的周围，用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵，请你求出最外面一层每边有鲜花多少盆?解析：分析思路参见例6，最外层每边人数=总数4层数+层数20443+3=20(盆)答：最外面一层每边有鲜花20盆7、四年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，请问：方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?解析：根据四周人数与每边人数的关系可知：每边人数=四周人数4+1，可以求出这个方
16、阵最外层每边的人数，那么这个方阵队列的总人数就可以求出来了。解：（1）方阵最外层每边的人数：204+1=5+1=6（人） （2）整个方阵共有学生人数：66=36（人）答：方阵最外层每边的人数是6人，这个方阵共有36人。8、明明用围棋子摆成一个三层中空方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少枚棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋子？解析：（1）方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，知道最外面一层，每边放15个，可以求出最里层每边的个数，就可以求出最里层一周放棋子的总数。（2）根据最外层每边放棋子的个数减去这个中空方阵的层数，再乘以层数，再乘以4，计算出这个中空方阵
17、共用棋子多少个。解：（1）最里层一周棋子的个数是：（15-2-2-1）4=40（个） （2）这个空心方阵共用的棋子数是：（15-3）34=144（个）答：这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个中空方阵共用144个棋子。9、若干战士排成一个四层中空方阵，只知道最外一层每边有12人，请你求出总人数。解析：我们可以采用先求出每层人数再求总人数的方法进行。解：由于最外层每边有12人，因此最外层一共有（121）444人，又根据方阵相邻两层，外层比内层人数多8的特点，因此第二层有44836人，第三层有36828人，第四层有28820人。因此一共有44+36+28+20128人。还可以这样想，把四层中空方阵
18、划分如例5的形状，我们发现每个长方形可以看成四排战士，每排有8人组成。因此一个长方形有8432人，一共有4个长方形，324128人。当然还可以先把中空方阵看成中实方阵，然后再减去补上的小中实方阵人数，也可以求出一共有多少人，看成中实方阵后，最外一层每边12人，因此一共有1212144人。又因为在方阵中相邻两个正方形每边人数相差2，因此第二层每边有12210人，第三层每边有1028人，第四层每边有826人，第五层每边有624人。因此小的中实方阵有4416人。14416128人就表示一共有战士的人数。答：一共有128人。10、有若干盆鲜花摆成一个中空方阵，最外层共摆48盆，最内层共摆24盆，请问：
19、共摆了多少盆鲜花？解析：由于方阵中相邻两个正方形每边相差8，因此第二层应摆鲜花48840盆，第三层有花40832盆，第四层有花32824盆。这样通过枚举方法求出一共有四层花，及中间两层花的总数。因此一共摆了48403224144盆。答：一共摆了144盆。11、有杨树和柳树以隔株相间的种法，种成7行7列的方阵，问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树，柳树各多少棵?解析：根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种，假设黑点表示杨树，白点表示柳树观察图（1）（2）不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上，方阵中除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的。因而杨树和柳树的棵
20、数相等。即最外层杨，柳树分别为（7-1）42=12（棵）。当柳树种在方阵最外层的角上时，最内层的一棵是柳树;当杨树种在方阵最外层的角上时，最内层的一棵是杨树，即在方阵中，杨树和柳树总数相差1棵。解：（1）最外层杨柳树的棵数分别为：（7-1）42=12（棵） （2）当杨树种在最外层角上时，杨树比柳树多1棵：杨树：（77+1）2=25（棵）柳树：77-25=24（棵） （3）当柳树种在最外层角上时，柳树比杨树多1树柳树（77+1）2=25（棵）杨树77-25=24（棵）答：在两种方法中，方阵最外层都有杨树12棵，柳树12棵，方阵中总共有杨树25棵，柳树24棵，或者有杨树24棵，柳树25棵。- 9 -