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1、仿射变换和保距变换,胡努春 浙江师范大学数学系 http:/ 陈志杰 高等代数与解析几何（第二版）（华师大）,全等与相似,全等 相似,透视图法（建筑、绘画）,张顺燕数学的美与理,中心投影，平行投影,张景中：数学家的眼光，数学与哲学,欧氏几何, 仿射几何，射影几何,平移，旋转 镜面反射（全等）,保持共线性、平行性和简比， 但长度、角度改变,保持共线性和交比，但平行性改变,平行投影,中心投影,保持长度（距离），角度 位置，只是位置发生变化,（中心在无穷远点）,知识要点（5.1-5.4）（综合法，解析法）,平面的仿射（保距）变换 仿射（保距）变换基本定理 仿射（保距）变换的坐标表示 仿射（度量）性质
2、 仿射（度量）分类 射影变换?,映射与变换（P:175）,定义：设X与Y是两个集合,对X中任一元素x,按某一法则在Y中有唯一的元素y与之对应,则称此法则(即对应关系)为X到Y的一个映射。 函数，泛函，算子，变换，像，原像，复合映射，单射，满射，一一映射（可逆映射），一一变换（可逆变换），恒等变换,平面上的变换群（P:177）,平移（P:176例5.1.1），旋转（P:176例5.1.2），反射（P:177例5.1.3） 伸缩变换（P:177例5.1.4），位似（相似）变换（P:184例5.3.1）， 错切变换（P:185例5.3.2） 定义：一个集合G，如果它的元素都是平面上的可逆变换且满足：
3、 （1）G中任何元素的逆也在G中， （2）G中任何两个元素的复合也在G中， 则称G是平面上的一个变换群 平移全体是变换群，但旋转全体不是变换群（中心不同）,保距变换（点变换）（P:178）,定义：平面上的一个变换f如果满足：对平面上的任意两点A,B,总有： d(f(A),f(B)=d(A,B) 则称f是平面上的一个保距变换。 平移，旋转（刚体运动），反射都是保距离变换（反之保距变换即为平移，旋转，反射的组合 P:182 Th5.2.3） 保距变换是可逆变换，且其逆变换也是保距变换（P:179 Prop5.2.2）（保距变换群） 保距变换把直线变为直线，并保持距离与角度（P:179 Prop5.
4、2.1）（全等） 注：弯曲空间的保距映射保持曲面的高斯曲率（绝妙定理，在微分几何和广义相对论中居于中心地位，内蕴微分几何）,仿射变换（点变换）（P:184）,定义：平面上的一个可逆变换，如果把共线点组变为共线点组，则称为平面的一个仿射变换。(几何角度) （与书本定义等价（代数角度） 伸缩变换（P:184例5.3.1），位似变换（P:184例5.3.1）， 错切变换（P:185例5.3.2） 仿射变换可分解为保距变换和伸缩变换的组合 （P:192定理5.3.2） 仿射变换把直线变为直线，并保持直线的平行性（P:185 Prop5.3.1）（仿射变换群） 保距变换是仿射变换,仿射变换（几何）决定的
5、向量变换（代数）（P:180，P:187）,定义：设f是平面上的仿射变换，则对于任何平行与平面的向量 ，规定 这里A,B是平面上的点，使得 ，这样得到一个变换称为由f决定的仿射向量变换，仍记作f。 仿射变换决定的向量变换保持向量的线性关系（P:187 Prop5.3.3）（非退化（满秩）线性变换） 保距变换决定的向量变换不仅保持向量的线性关系，而且保持向量的内积（距离，角度，面积，垂直）（P:180 Prop5.2.3）（正交变换）,仿射变换基本定理（P:189Th5.3.1）,（1）说的是唯一性，（2）说的是存在性， 平面上不共线的三对对应点可唯一确定一个仿射变换（P:190）,保距变换基本
6、定理（P:181Th5.2.1）,（1）说的是唯一性，（2）说的是存在性,仿射变换的坐标变换公式（P:190）,保距变换的坐标变换公式（P:181Th5.2.2）,坐标变换和保距（仿射）变换,点的坐标变换公式是同一点在不同坐标系下的坐标（针对的是图形不变，而坐标系在变） 仿射变换的点变换公式是用点的坐标求像点的坐标（针对的是图形在变， 而坐标系不变） 后者是通过前者得到的,变换矩阵的性质,变换的复合（矩阵的乘法） 一变换在不同坐标系下的变换矩阵（矩阵的相似） 仿射变换的变积系数为|detA|(P:188 Prop5.3.4)，保距变换保持图形的面积不变（即|detA|=1） 第一类仿射变换（d
7、etA0,定向相同） 第二类仿射变换（detA0,定向相反）,图形的仿射分类和仿射性质,仿射性质(不变量)（共线，平行，简单比等） 度量性质(不变量)（距离，角度，面积，垂直等） 仿射几何学（研究仿射性质(不变量)的几何学） 欧氏几何学（研究度量性质(不变量)的几何学） 仿射等价，度量等价（等价关系）（P:194） 仿射(度量)分类(二次曲线P:195 Th5.4.1，P:196 Th5.4.2,二次曲面P:201 Th5.5.6，P:201 Th5.5.7),边长为1的等边三角形但位置不同（全等，度量等价） -任意等边三角形（相似） -任意三角形（仿射等价） -任意多边形（拓扑等价）,平面二
8、次曲线的度量分类（P:195Th5.4.1）,有无穷多等价类（系数不同）,平面二次曲线的仿射分类（P:196Th5.4.2）,二次曲面的度量分类（P:201 Th5.5.6）,有无穷多等价类（系数不同）,二次曲面的仿射分类（P:201 Th5.5.7）,变换群与几何学分类,克莱因（Klein）：关于近代几何研究的比较（Erlangen纲领）1872年 几何就是研究几何对象在变换群作用下的不变性质（运动群，射影群，连续变换群） 嘉当(E.Cartan)于1923年以联络为工具对Klein思想和Riemann思想加以融合,欧氏几何、仿射几何、射影几何、非欧几何、拓扑学 （综合法，解析法）,欧氏几何（保距变换） （保持无穷远直线上两点的射影变换） 仿射几何（仿射变换） （保持无穷远直线的射影变换） 射影几何（射影变换）（不区分无穷远点和普通点）？ （参见：尤承业解析几何P:222） 非欧几何（椭圆（双曲）变换）？ （保持单位（虚）圆周的射影变换） （参见：居余马大学数学：代数与几何P:397） 拓扑学（连续变换群）？ （允许拉伸和收缩但不许粘合和撕破的变换）,Thank you!,