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1、第三章微分中值定理与导数应用 第一节 微分中值定理,一、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、小结,一、罗尔(Rolle)定理,例如,几何解释:,定理的证明,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,又例如,例1 验证罗尔定理对 在区间 上的正确性。 解 显然 在 上连续，在 上可导，且 又 ，取 ，有 。,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,(1)在闭区间a,b上连续；,(2)在开区间(a,b)内可导；,则至少存在一点,设函数 满足,几何解释:,分析:,弦AB方程为,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:拉格朗日中值公式精确地表达了函数在一个
2、区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,证:,定理,证,推论,证,例2,证 设,由介值定理,即为方程的小于2的正实根.,矛盾,证明方程 只有一个正实根,设,例3,证 设,例4,证,由上式得,例5 证明当 时，,证 令,由上式得,三、柯西(Cauchy)中值定理,几何解释:,证,作辅助函数,例4,证,分析:,结论可变形为,四、小结,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,注意定理成立的条件；,注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.,上述例子告诉我们拉格朗日中值定 理的条件缺一不可.,不满足在闭区间上连续的条件；,且,不满足在开区间内可微的条件；,习题3-1,习题3-1答案,