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1、第二节 二重积分的计算法,一 问题的提出 二 直角坐标计算二重积分利用 三 利用极坐标计算二重积分 四 小结,按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限,然而，用定义来计算二重积分，一般情况 下是非常麻烦的.,那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我 们今天所要研究的课题。下面介绍:,一、问题的提出,二、利用直角坐标计算二重积分,二重积分仅与被积函数及积分域有 关,为此, 先介绍： 1、积分域 D:,如果积分区域为：,X型,X型区域的特点：a、平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个； b、,（1）X-型域,（2）Y-型域：,Y型,Y型区域的特点：a、穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界
2、的交点不多于两个。b、,2、X-型域下二重积分的计算: 由几何意义，若,此为平行截面面积为已知的立体的体积.截面为曲边梯形面积为：,(曲顶柱体的体积),则,注: 若 (x,y)0 仍然适用。,注意: 1）上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算;,2）积分次序: X-型域 先Y后X;,3）积分限确定法: 域中一线插, 内限定上下， 域边两线夹，外限依靠它。,为方便，上式也常记为：,3、Y-型域下二重积分的计算： 同理：,Y型域下,于是,1）积分次序: Y-型域 ,先x后Y;,2）积分限确定法: “域中一线插”, 须用平行于X轴的射线 穿插区域 。,注意:,注意：二重积分转化为二次定积分时，关键
3、在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。,4、利用直系计算二重积分的步骤,（1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；,（3）确定积分限，化为二次定积分；,（2）根据积分域类型, 确定积分次序；,（4）计算两次定积分，即可得出结果.,解：,X型,Y型,例2,解：,X-型,例3,解： （如图）将D作Y型,5、若区域为组合域，如图则：,6、如果积分区域既是X型， 又是Y型, 则有,解：,积分区域如图,原式,解：,原式,例6,解：,先去掉绝对值符号，如图,解,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择 积分次序）,Y型,X型,7.小结,三 利用极坐标系计算二重积分,当一些二重积分的积
4、分区域D用极坐标表示比 较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标 系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑 其计算问题。,1 直系与极系下的二重积分关系（如图）,（1）面积元素变换为极系下：,（2）二重积分转换公式：,（3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下 的二重积分需要进行“三换”：,2 极系下的二重积分化为二次积分,用两条过极点的射线夹平面区域， 由两射线的倾角得到其上下限,任意作过极点的半射线与平面区域相交， 由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。,将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。,（1）区域如图1,具体地（如图）,图1,（2）区域如图2,图2,（3）区域如图3,图3,（4）区域如图4,图4,解,解,解,解,在极系下：,（如图）,解,计算二重积分应该注意以下几点：,其次，化二重积分为二次积分。,根据区域形状和类型确定积分次序，从而穿线确定内限，夹线确定外限。,最后，计算二次积分。,由内向外逐层计算，内层积分计算时，外层积分变量看做常量。,四、小结,