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1、第二节 数量积 向量积 混合积,一 两向量的数量积,1,常力的功,在物理中我们知道,一物体受常力作用下沿直线从M1 移动,到 M2, S是它位移.则力F所做的功为,根据这个定义,上面讲的功W是力F和位移S的数量积,w=FS,功是个数量,它等于两个向量的模相乘再乘以它们的夹角,的余弦.,2, 数量积的定义,定义1:对任意两个向量a,b,数,a,b的数量积,记作ab,即,称为向量,3, 数量积的主要性质,(3),即向量 a和b相互垂直.,因为ab=|a|b|cos(a,b).|a|0,|b|0,使ab=0只能cos(a,b)=0.,零向量.,(2) ab=0是向量a和b垂直的充分必要条件,这里a,
2、b为非,所以ab=|a|prjab同理: ab=|b|prjba.所以上式成立.,|b|cos(a,b)是b 在a上的投影,即|b|cos(a,b)=prjab.,因为ab=|a|b|cos(a,b)=|b|a|cos(b,a)=ba,(1)ab=|a|Prjab=|b|Prjba,4, 数量积的运算律,5, 数量积的坐标表示式,设,根据数量积的运算律,有,(3)与实数相乘的结合律 (a)b=(ab)=a(b),证明: (a+b)C=|C|Prjc(a+b)= |C|Prjca+ |C|Prjcb=ac+bc,(2)分配律 (a+b)C=aC+bC,证明: 由投影定理ab=|a|Prjab=|
3、a|b|cos(b,a)=|b|Prjba=ba,(1)交换律 ab=ba,在就是两个向量数量积的坐标表示式.,当a,b为非零向量时,有公式,由此可见,两个向量垂直的充要条件是,例1 求向量a=5,2,5在向量b=2,-1,2上的投影.,解:因为 ab=|b|Prjba, 所以,解:,例2 已知三点M1(2,2,2)M2(4,4,2)M3(4,2,4).求向量M1 M2,M1 M3的夹角.,例3 试利用向量的数量积证明三角形,由图可见c = a-b , c2 = (a-b)2 = a2 -2ab+b2,用向量的数量积证明余弦定理比中学里简单.,二, 两向量的向量积,=a2 + b2- 2|a|
4、b|cos即 c2 = a2 + b2- 2|a|b|cos,的余弦定理.,1.引例 转动力矩(向量) M=力臂力F. 方向由转动,法则.,(2) ab垂直于a和b,其指向使三个向量a,b和ab符合右手,(1) |ab|=|a|b|sin(a,b).,定义2 两个向量a和b的向量积是一个向量,记作ab,并规定:,2. 向量积的定义,大拇指的指向.,即当右手的四指从op以不超过的角转向F时握拳时,M的方向垂直于op与力F决定的平面,其指向按右手规则.,|M|=|F|op|sin,方向决定.在力学中,规定力F对支点o的力矩M为,模| ab|的几何意义为以a,b为相邻两边的平行四边形,的面积.,3.
5、 向量积的主要性质,由向量积的定义可以得到如下的性质:,根据这个定义,上面的力矩M是op与F的向量积,即M=opF,反之,如果ab则(a,b)=0或为,即ab=0.,(1)aa=0 因为| aa|=|a|a|sin0=0.,(2)对于两个非零向量a,b.a和b平行的充分必要条件是,ab=0.,因为ab=0,且|a|0,|b|0,必定有sin(a,b)=0,即(a,b)=0,或为,ab,时要特别注意.,4. 向量积的运算规则,(1) b a = -(ab). 这是因为按右手法则,从b转向a和从a转向,b定出的方向相反.它表明交换律对向量积不成立.我们在运算,(b) =(a b),设 a=axi+
6、ayj+azk, b=bxi+byj+bzk. 根据向量积的运算规则,有,(2)分配律 (a+b)c=ac+bc.,(3)向量积还符合如下的结合律:设是个数,则(a) b=a,5. 向量积的坐标表示式,由向量积的主要性质及运算规则(1),可知:,为了便于记忆,把上式写成行列式形式,如果两个向量a和b互相平行,相当于sin(a,b)=0,或ab=0,有,也可以把它写成展开的形式,或者,在bx,by,bz都不等于零时,等式(2)和等式(1)具有相同的意义;,例4 设a=3i-j-2k, b=i+2j-k. 求ab.,解:,二个为零时,可把(2) 看为(1)的简便写法.例如我们把等式,但形式上等式(
7、2)比等式(1)简单.在bx,by,bz中有一个或者有,例5 已知三角形ABC的顶点是,以AB,AC为邻边作平行四边形,它的面积是|ACAB|,三角形ABC的面积是它的1/2,三角形的面积.,A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7).求该,例6 试求以向量a=2i+j-k和b=I-2j+k为边的平行四边形的,对角线之间的夹角的正弦,对角线为OD和AB,它们的交点为E,解:我们把向量a,b的起点放在坐标原点它们的终点是,A(2,1,-1),和B(1,-2,1)以O, A,B为边作平行四边形OBDA,例7 设a=1,1,4,b=1,-2,2,求b在a方向上的投影向量分析:,从而b在a向
8、量方向上的投影为,b在a向量方向上的投影向量为,例8 已知AB=-3,0,4,AC=5,-2,-14,求BAC角平分线上,先求与a同方向的单位向量a0,的单位向量.,分析:作等腰三角形ABC,AD是BC边上的,所以BAC角平分线上的单位向量为,|AB|=|AC|=1的单位向量.,中线,也是角平分线,为了方便起见,我们取,|a|=1,|b|=2,ab,求平行四边形的面积.,分析:平行四边形的面积为,为了求,我们可用向量积的方法求,例9 设平行四边形的对角线c=a+2b,d=3a-4b,其中,例10 证明:,证明得到解决.,例11 证明三角形三条高交于一点.,证明:作ABC,ADBC,BEAC,A
9、D与BE,相交于F要证明三条高相交于一点,只要证明FCAB,三. 向量的混合积,设已知三个向量a,b和c.如果先作两向量a和b的向量积,设a=(ax,ay,az), b=(bx,by,bz), c=(cx,cy,cz),下面我们来推导三向量的混合积的坐标形式,这样得到的数量叫做三向量a,b,c的混合积,记作abc.,ab,把所得到的向量与第三个向量c再作数量积(ab)c,向量的混合积有下述的几何意义:,是正的;如果a,b,c组成左手系,那么混合积是负的.,(即c的指向按右手规则从a转向b来确定),那么混合积的符号,向量a,b,c为棱的平行六面体的体积.如果向量a,b,c组成右手系,向量的混合积
10、abc是这样的一个数.它的绝对值表示以,向量积ab=f是一个向量,它的模在数值上等于以向量a和,向量b为边的事实上,设OA=a, OB=b,OC=c按向量积定义,平行四边形OADB的面积,它的方向垂直于这平行四边形,的底是平行四边形,一侧,abc=(ab)c=|ab|c|cos由向量a,b,c为棱的六面体,的平面,当a,b,c组成右手系时,向量f和向量c在这平面的同,ADBO,它的面积A在数值上等于|ab|,它的高为向量c在f,例11 已知不在一平面上的四点:,分析:由立体几何可知,四面体的体积为六面体体积的1/6,所以,A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D (x4,y4,z4),求这四面体,平行六面体的负值.,如果a,b,c组成左手系,则它们的混合积为负的,即,V=abc.,上的投影的绝对值,即h= |c|cos,所以平行六面体的体积,的体积.,上式的符号必须同行列式的符号一致.,例12 已知向量AB=a,AC=b,ADB=/2 (1)证明BAD的面积为,(2)当a,b之间的夹角为何值时,BAD的面积最大.,解: BAD的面积S为,(1)先计算AD,AD是AB在AC上的投影向量,因为,(2)由向量积,数量积与夹角之间的,显然,当=/4,或=3/4时,三角形BAD的面积有最大值,|a|2/4,关系,我们有,