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1、第八章 保险费率8.1 大数定律及其应用8.1.1大数定律大数定律是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律。随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐趋于某个常数。1 切比雪夫大数定律 设是相互独立的随机变量序列，且有相同的数学期望和方差：，则对于任意的，都有假设有n个被保险人，同时投保了n个相互独立的标的，用表示每个标的发生损失的大小，它是一个随机变量，且所有的期望值相等，即有通常我们用标的发生的损失的期望值计算纯保费，而为实际损失。显然，通常，但当样本容量足够大时，切比雪夫大数定律保证了投保人所缴纳的保费与每人平均损失几乎相等。2 伯努利大数定律设事件A在一次试验中以概率
2、发生，以表示在n次独立重复试验中事件A出现的次数，则对于任意的正数，有在切比雪夫大数定律中，设是服从0-1分布的随机变量，即 此时， ，伯努利大数定律表明事件发生的频率具有稳定性，即当试验次数很大时，事件发生的频率接近于真实概率。在财产保险中，计算费率的依据是发生损失的概率，可以根据历史数据计算损失发生的频率，随着标的数量的增加，此频率与实际损失概率之间的误差会逐渐缩小，即随着承保标的数量的增加，保费越准确，财务稳定性越强。3 泊松大数定律假设某一随机事件A在第一次试验中出现的概率为，第二次试验出现概率为。用表示在n次独立重复试验中事件A出现的次数，则对于任意的正数，有泊松大数定律含义：当试验
3、次数无限增加时，其平均概率与观察结果所得的比率将无限接近。在保险经营中，尽管各个相互独立的危险单位的损失概率可能各不相同，但只要有足够多标的，仍可在平均意义上求出相同的损失概率。大数定律可以把不确定数量关系，向确定数量关系转化。当保险标的数量很大时，我们不能确定到底是哪个标的发生损失，但可以确定其中遭受危险事故的保险标的数量。8.1.2 保险运行的数理解释1 大数定律与损失分摊以确定的小损失取代不确定的大损失。例如，假设有1000栋房屋分别面临失火风险，且一年中每栋房屋失火的概率为0.2%，每栋房屋一旦失火的损失均为10000元，保险公司对每位房主收取保费20元，并在发生保险事故时提供1000
4、0元补偿。2 大数定律与风险分散保险公司收取保费后承担了被保险人转移给他的风险，保险公司通过预测所有被保险人面临的整体危险，保险人可以对承担的整体危险做出比较准确可信的估计。若，平均每个被保险人的实际损失保险人面临的总体损失为，其方差为，标准差为。保险人所面对危险总额的变异系数为：可见，承保单位数n越大，保险人对危险的估计就越准确。8.2 保险费率厘定的原则与方法8.2.1 保险费率的构成保险费率=保险费/保险金额 常以每千元保险金额应缴的保险费来表示。保险费=纯保费+附加保费纯保费用于保险赔付支出财产保险纯费率计算依据是损失概率，纯保费E（损失金额）=E(索赔额）E(索赔频率)人寿保险纯费率
5、计算的依据是利率和生命表，精算等价原理，E（L）=0附加保费用于营业支出包括合理的利润。保险定价费率厘定8.2.2 保险费率厘定的基本原则（一）公平合理的原则公平是指保险费率的厘定，必须考虑能适用于个别危险，使被保险人的保险费负担基本上反映保险标的的危险程度；对保险人来说，其收取的保费应与其承担的危险相当。合理是指保险费率水平应与被保险人的风险水平和保险人的营业需要相适应。保险费的多少应与保险种类、保险期限、保险金额相对应，保险人不能为追求超额利润而制定高费率。（二）充分原则 充分原则是指收取的保费在支付赔款及合理的营业费用、税收后，仍有一部分利润。保险的基本职能是提供经济补偿，保险人收取的保
6、险费应能充分满足保险人履行保险赔偿责任的需要，以保障被保险人的经济利益。（三）稳定灵活的原则稳定是指保险费率一经确定，在相当的时期应保持相对的稳定，不要过于频繁地变动。灵活是指保险费率应随着风险的变化、保险责任的变化和市场需求等因素的变化而调整，具有一定的灵活性。（四）促进防损的原则促进防损原则指保险费率的制定要有利于促进被保险人加强防灾防损，减少危险事故，有利于社会安定。对防灾工作好的被保险人降低其费率，对无损失或损失少的被保险人，实行优惠费率。（NCD)三. 保险费率厘定的一般方法（一）分类法：将性质相同的风险分别归类，而对同一分类的各风险单位，制定出相同的费率。又称手册法，因为各种分类费
7、率都印在手册上。该方法的优点载于便于运用，适用费率能够迅速查到。（1）对于财产保险，一般根据标的物的使用性质分为不同的类别，每一类又可以分为若干等级。不同等级费率各异。（2）对于人身保险，一般按照性别、年龄、健康状况、职业等分类。分类法思想符合大数定律，只有标的面临同质风险，才能保证保险标的的损失概率相同。分类费率可通过两种方法来计算，即纯保险费率法和损失比率法。区别：（1）纯保险费率法以实际经验为计算基础，损失比率法则以整个行业的实际损失比率为计算基础；（2）当费率调增或调减时，损失比率法要求把增减额分摊于各类，而纯保险费率法则不用。方法介绍：（1） 纯保险费率法，以某一时期内保险单位具体发
8、生的损失为基础。 首先，计算纯保费 如，某承保类别的10万辆汽车一年内支付损失赔款和理赔费用1000万元，则每辆汽车的纯保险费为100元，其次，计算每一危险单位的毛保费，即不仅考虑损失因素，还考虑费用因素，附加费用、利润一般以毛保费的比率表示，费用比率。费用比率+损失比率=1根据总保险费，可厘定出保险费率：保险费确定后，一般不改变损失比率，如某火灾保险平均损失成本为400元，损失 、费用比率分别为80%和20%，现在损失成本上升至500元，则总保费为500/80%=625元。考虑可靠度的影响：A代表实际损失，E代表适用的预期损失，C代表依据经验确定的可靠系数，M代表修正系数，则M=（A-E）*
9、C/E（2）损失比率法如果每一类包含标的物过少，不符合大数定律，需借助其他团体的资料，对费用进行调整。指根据实际损失比率调整费率。如机动车辆预期损失比率为60%，总保费的40%为费用比率，当实际发生损失比率为70%，则保险费率应提高16.7% （二）增减法：在分类法的基础上，结合个别标的的风险状况予以变动确定费率的方法。凭借分类法确定基本费率，依据实际经验再予以细分，并结合不同的情况提高或降低费率，对分类费率予以补充和修正。 优点：该方法具有防灾防损的作用，更体现了公平性原则 用增减法计算确定保险费的方法： （1）表定法：在对每一风险单位确定一个基本费率的基础上，根据个别标的的风险状况增减修正
10、。 常用于厂房等财产保险，在确定费率时考虑建筑物的结构、占用性质、消防设施、周遭环境等。 优点：能够切实反映标的的风险状况，促进防灾防损，但易因同业竞争失效。 缺点：该法成本太高，保险机构为了详细了解被保险人的情况，经常要支付大量营业费用。该方法只考虑物质因素，未考虑人的因素 （2）经验法。根据被保险人以往的损失记录，对分类法所确定的保险费率予以修正的方法。 被保险人以往的损失经验被用来确定下一保险期间的保险费率，又称预期经验法。 若以A代表实际平均损失，E代表适用的预期损失，C代表依据经验确定的可靠系数，M代表修正系数，则M=（A-E）*C/E 例：某企业投保公众责任险，在过去3年的预期损失
11、为10万元，实际损失为8万元，可靠系数为60%，则其修正系数为： M=（80000-100000）*60%/100000=-12% 如果依据分类，该企业应交保险费7000元，则调整后的应交保险费为： 应交保险费=（100%-12%）*7000=6160 优点：确定保险费率时已考虑了影响风险的各个因素。与表定法相比考虑了非物质因素。 （3）追溯法。该方法是依据保险期间的损失经验数据来确定当期保险费的方法，即保险费率按照当期终了时依据实际经验再加以调整修正。一般规定保险期间的最高和最低保险费，如果损失小，则取最低保险费，如果损失大，则取较高保费。 追溯法的计算公式为： 式中，RP为追溯保险费；BP
12、为基本保险费；L为实际损失金额；VCF为损失调整数（大于1）；TM为税收系数。 例如，某厂商投保，起初它所预缴的标准保费是依据经验法而定的，为1万元，如追溯法中基本保险费为标准保险费的20%，损失调整系数和税收系数分别为1.1和1.2，当投保人实际损失为1000或2万元时，计算应缴的保费。 （1）当损失为1000元时，应缴保费为： RP=（2000+1000*1.1）*1.2=3720（元） （2）当损失为2万元时，应缴保费为： RP=（2000+20000*1.1）*1.2=28800(元) 如果保费的缴纳规定了最高限额和最低限额分别为标准保费的150%和50%，对于损失为1000元或2万元
13、时应缴的保费是多少呢？ 优点：具有防灾防损作用，适用于大企业。（三）观察法：按具体的每一标的风险因素进行分析，观察其优劣，估计其损失概率，分别单独确定其费率的方法。由于某些险种没有以往可信的损失统计资料而不能使用分类法，只能根据个人主观判断。按具体的每一标的风险因素进行分析，观察其优劣，估计其损失概率，分别单独确定其费率的方法。常用于海上保险和内陆运输保险。 8.4 财产保险费率的厘定（一）稳定系数 用均方差与其算术平均值之比来反映保额损失率的稳定，依此制定的财产保险费率，就建立在可靠的数理基础上。计算稳定系数（k）的公式如下： 例：现有甲、乙两组保额损失率，如下表所示，试比较它们的稳定性。(
14、单位：千分之一）年份保额损失率偏差偏差的平方13.3-0.70.4923.5-0.50.2533.6-0.40.1643.8-0.20.0454.00064.10.10.0174.40.40.1684.60.60.3694.70.70.493601.964年份保额损失率偏差偏差的平方11.2-2.87.8421.4-2.66.7631.8-2.24.8442.6-1.41.9652.7-1.31.6963.9-0.10.0175.21.21.4487.23.210.24910.06.03636070.784 虽然甲乙两组的平均保额损失率均为千分之四，但它们的稳定性系数却相差很大，甲比乙稳定很多
15、，故甲组数据可以作为甲项延误确定纯费率的依据，而乙组数据由于各年份保额损失率波动太大，所以必须增加观察年度或扩大调查统计，才能据以确定可靠的纯费率。 （二）确定纯费率 保险纯费率保额损失率t*均方差 保额损失率 （1稳定系数） 对于平均保额损失率附加均方差的多少，取决于损失率的稳定程度，对于损失率较稳定的，t取1即可，反之，t可取2或3. 若t取1，P（A）=68.27%，一般适应损失率比较稳定的险种，如火灾保险； 若t取2，P（A）=95.45%，一般适应损失率不够稳定的险种，如机动车辆险、飞机保险等； 若t取3，P（A）=99.73%，一般适应损失率很不稳定的高风险险种，如卫星发射；附加均
16、方差赔偿金额超过纯保费的概率几年一遇一次均方差0.158666.5二次均方差0.0227544三次均方差0.00135741四次均方差0.0000333333一般所附加均方差与平均保额损失率之比，以为宜。 确定附加费率 附加费率由营业费率、营业税率、营业利润率构成 附加费率纯费率（附加保费/纯保费）100% 确定毛费率 毛费率纯费率附加费率 保额损失率均方差附加费率 保额损失率（稳定系数）附加费率 三、财务稳定性指标 财产保险的财务稳定性，是指就某一保险企业或其某项保险业务而言，保险人对被保险人承担的损失补偿义务的能力的可靠程度。 P(实际发生的赔款预计的保险赔偿基金）越大，保险业务的财务稳定
17、性就越差，反之，越好。 保险赔偿基金，即纯保费总数，是根据未来的保额损失率预计出每年平均要付出的赔款数。 实际发生的赔款与保险赔偿基金差距越大，财务稳定性越差；反之，越好。四、等保额业务的财务稳定性设某项财产保险业务的纯费率为q,各危险单位的保额均为a,该项业务承保的危险单位数为n，则 例: 保险公司某项业务承保5000个危险单位，每个危险单位保额相同，纯费率为千分之五，求其稳定性系数。（0.1995） 一般要求，K10%; 对于既定的纯费率q，可以通过所期望的稳定性系数K推算出应当的基本业务量n. 例：设纯费率为千分之五，要求稳定性系数不超过0.1，则业务量至少要达到多少？(19900) 五
18、、保额不等业务的财务稳定性 例：假定有甲乙两个保险公司，它们的业务量、保险总额、纯费率和保险费收入都一样，但甲公司每个危险单位的承保金额相差不大，而乙公司却是相差悬殊，试分析比较两个公司财务稳定性。类别对每一危险单位承保金额（万元）业务量纯费率（千分之一）保险金额（亿元）纯保费（万元）均方差（万元）稳定性系数一10014002142801670.60 二8020002163201600.50 三5040002204001410.35 合计740025010002700.27 一10001002102004462.23 二500300215300386.51.29 三5020002102001000.50 四30500021530094.80.32 合计740025010006060.61 对于乙公司，如果除去第一类业务，K0.51 如果除去第一、二类业务，K=0.28