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1、第6章 数理统计学中的基本概念,统计量及其分布,衡量点估计好坏的标准,数理统计学中的常用分布,点估计法,概念,数据分布特征,品质数据的分类整理：,数量数据分组：,组距分组：,单变量分组：,条形图、,饼图,直方图、,折线图,组数：,组距：,排序计数,6.0 频率与直方图,分组的原则：穷尽原则，互斥原则,例：某商店连续40天的商品销售额（单位：万元）如下：,根据上面的数据进行适当分组，编制频数 分布表，并画出直方图。,41 25 29 47 38 34 30 38 43 40 46 36 45 37 37 36 45 43 33 44 42 28 46 34 30 37 44 26 38 44 4
2、2 36 37 37 49 39 42 32 36 35,数据分布特征的测度,1、,分布的集中趋势：,1)众数：,出现频率最高的值，,用,记之。,算法(1),例,1,2,4,4,5,6,则,1,2,3,3,4,5,6,6,7,则,算法(2),其中,L为众数组的下限值，,d为众数组的组距，,f为众数组的频数，,分别为众数前，后一组的频数,2)中位数：,中间位置的数，,用,记之。,算法(1),例,1,2,3,4,5,6,7,则,1,2,3,4,5,6,则,算法(2),其中,L为中位数所在组的下限值；,d为中位数所在组的组距。,为中位数所在组以前各组的累计频数；,为中位数所在组的频数；,3)均值：,
3、1)简单平均,2)加权平均,3)调和平均,4)加权调和平均,5)几何平均,其中,例,求,解：,众数、中位数、均值的比较,对称分布,左偏分布,右偏分布,2、,分布的离散程度：,(1),(2),平均离差,样本方差,(3),样本标准差,（4）极差,例：求1,2,3,4,5的均值，方差。,解：,数理统计学的任务 观察现象,收集资料,创建方法,分析推断。,统计推断 伴随着一定概率的推测。其特点是:由“部分”推断“整体”。,总体 研究对象的全体(整体)X。,个体 每一个研究对象。,有限总体 无限总体,1.基本概念,样本 由部分个体构成的集合。,第6.1节 数理统计学中的基本概念,(X1,X2, Xn,样本
4、容量 样本中所含个体的数目n.,）,注 样本观测值(x1,x2,xn）。,简单随机样本：独立、同分布性。,注意:样本是一组独立同总体分布的随机变量.,例如 检验一批灯泡的质量,从中选择100只,则,总体 这批灯泡(有限总体) 个体 这批灯泡中的每一只 样本 抽取的100只灯泡(简单随机样本) 样本容量 100 样本值 x1,x2,x100,显然,可以选择“样本的函数”:,作为灯泡质量的一个衡量指标.,总体,选择个体,样本,观测样本,样本观察值,(数据),数据处理,样本有关结论,推断总体性质,统计量,这样的“不含未知参数的样本的函数”称为统计量。,统计量的分布成为抽样分布.,统计的一般步骤,(2
5、) 样本均值,(4) 修正样本方差,(5)修正样本标准差,(3) 样本k阶中心矩,(1) 样本k阶原点矩,注,常用统计量,未知,则(2456)不是 统计量。,是来自总体,例1.设,的s.r.s,其中,统计量,标准一:,无偏性,设 为的一个点估计,若 则称 为的一个无偏估计.,注意 无偏估计若存在，则可能不唯一.,衡量估计量好坏的标准:,设统计量 是未知参数 的点估计量,样本容量为n , 若对任意 则称 为 的相合估计,又称一致估计.,设 和 是 的两个无偏估计,若 称 比 更有效,例： 设X1,X2,X3为来自总体X的简单随机样本,EX=,DX=2,验证下列的估计量哪个更有效.,解,=EX=,
6、=DX/2=2/2,同理,所以,为无偏估计量,更有效.,例：验证: 是总体X方差的 一个无偏估计; 不是方差的无偏估计.,解,=DX,所以,S2为DX的无偏估计量.,ES2=DX,故,所以, 不是DX的无偏估计量.,1.矩估计法,将总体的各阶原点矩用相应阶的样本原点矩替代,布列方程或方程组, 所得到的解, 作为总体未知参数的点估计的方法.,例 设总体 , 为取自该总体的样本, 求未知参数 的矩估计量.,解,所以,参数 的矩估计量为,点估计法,无偏估计,例 设总体的概率密度函数为 为取自该总体的样本.,求(1)未知参数 的矩估计量 ;(2),解 (1),所以,参数 的矩估计量为,例:设总体XU(
7、a,b),X1,X2,Xn为取自该总体的样本,求a,b的矩估计量.,解 因为,所以令,得方程组,解得,(1) 似然函数(样本的联合密度函数),设总体X为连续型，Xf(x;1,2,m), i为待估 参数(i=1,2,m),X1,X2,Xn为来自该总体的样本,则,Xif(xi;1,2,m), (i=1,2,m),（X1,X2,Xn）的联合密度函数为,(似然函数),2 最大似然估计法,例 XE(),即,则,设总体X为离散型,P(X=x)=P(x;1,2,m), i为待 估参数(i=1,2,m),X1,X2,Xn为来自该总体的s.r.s,则,P(Xi=xi)=P(xi;1,2,m), (i=1,2,m
8、),（X1,X2,Xn）的联合概率函数为,(似然函数),例 XP(),即,(2) 基本思想:,最大似然估计就是通过样本值 来求得总体的 分布参数,使得 取值为 的概率最大.,若似然函数 在 取到最大值,则称 分别为 的 最大似然估计.,最大似然估计:,(3) 方法与步骤:,设总体的分布密度(或概率密度) 其中 是待估参数., 写出似然函数(即样本的联合密度函数), 写出对数似然函数（对似然函数取对数）, 写出似然方程, 求解似然方程并写出估计量,(只有一个待估参数时求 ),例:XN(,2),求参数,2的最大似然估计.,解,注意: 不是无偏估计.,例:设X服从0,区间上的均匀分布,参数 0,求的
9、最大似然估计.,解 由题意得:,无解.,基本方法失效.,要使L取值最大,应最小,而,取,此时,L取值最大,所以,最大似然估计为,应用最大似然估计基本思想: L越大,样本观察值越可能出现.,例 求参数为p的0-1分布的最大似然估计.,解,P(X=0)=1-p P(X=1)=p,P(X=m)=pm(1-p)1-m(m=0,1),P(X=x)=px(1-p)1-x,解得,最大似然估计为,注意: 为p的无偏估计量.,例 设总体X,解 由题意得:,当 时，,所求最大似然估计为,其中 是未知参数. 是来自总体的一个容量为 n 的s.r.s,求 的最大似然估计,所以,另一方面,故,设总体XN(,2),X1,
10、X2,Xn为取自该总体X的样本.,(1)四大分布及其分位数, 标准正态分布及其下侧分位数,若P(Zz1-)=1-, 则称z1-为标准正态分布 的下侧1-分位数.,Z1-,其中,定义 设XN(,2),则 N(0,1),对任意01,正态总体下的常用统计量及其分布,例:在总体XN(12,4)中抽取容量为5的样本X1,X2,X5,求下列概率:,(1)因为,=2(1.118)-1,=0.7364,解,即: n 个相互独立同标准正态分布的随机变量的平方 和X的分布为自由度为 n 的 分布.,性质,X1,X2,Xn独立,XiN(0,1),(i=1,2,n),则,定义,分布具有可加性, 即 X,Y独立,X (
11、m),Y (n),则,分布的下侧分位数,分布的下侧分位数,(1)若P(X)=1-,则,(1)若P(X)=,则,例:设X (10),P(X1)=0.025, P(X2)=0.05,求1,2.,解,定义 设 ,对于给定的(0 )=,则称 为自由度为n的 分布 的下侧1-分位数.,例 设 是取自总体N(0,4)的简单随机样本 时,解,由题意得,设随机变量 ,随机变量 Y ,且它们互相独立,则称随机变量 的分布为自由度是 n 的t 分布,记作,定义,t分布的密度曲线:,特点 关于y轴对称;随着自由度的逐渐增大,密度曲线逐渐接近于标准正态密度曲线., t分布及其下侧分位数,服从( )分布,参数为( ).
12、,例:设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布 ,而 和,分别是来自总体 X 和 Y 的 s.r.s,则统计量,t,9,解,故,与 独立,所以,t分布的下侧分位数,例:设t1-(n)为t(n)的下侧1-分位数则P(T t1-(n)= .,1-,2,设Xt(n),对于给定(01),若P(t(n) )=1-, 则称 为t(n)分布的下侧1-分位数.,(4)设随机变量 随机变量 且 它们相互独立,则称随机变量 的分布为自 由度是 的 F 分布。,(1)若P(F)=1-,则,(2)若P(F)=1-,则,P(1/F1/)=1-,F分布的分位数,设 是来自总体 的 s.r.s, 分别是样本均值和修正样
13、本方差,则,抽样分布基本定理,1),2),3),与 相互独立.,4)设XN(1,12),Y N(2,22),从中分别抽取 容量为n1,n2的样本,且两组样本独立,则,5）当 时,记,这样的“不含未知参数的样本的函数”称为统计量。,统计量的分布成为抽样分布.,小结:,(2) 样本均值,(4) 修正样本方差,(5)修正样本标准差,(3) 样本k阶中心矩,(1) 样本k阶原点矩,注,常用统计量,标准一:,无偏性,设 为的一个点估计,若 则称 为的一个无偏估计.,注意 无偏估计若存在，则可能不唯一.,衡量估计量好坏的标准:,设统计量 是未知参数 的点估计量,样本容量为n , 若对任意 则称 为 的相合
14、估计,又称一致估计.,设 和 是 的两个无偏估计,若 称 比 更有效,1.矩估计法,将总体的各阶原点矩用相应阶的样本原点矩替代,布列方程或方程组, 所得到的解, 作为总体未知参数的点估计的方法.,(1) 似然函数(样本的联合密度函数),设总体X为连续型，Xf(x;1,2,m), i为待估 参数(i=1,2,m),X1,X2,Xn为来自该总体的样本,则,Xif(xi;1,2,m), (i=1,2,m),（X1,X2,Xn）的联合密度函数为,(似然函数),2 最大似然估计法,方法与步骤:,设总体的分布密度(或概率密度) 其中 是待估参数., 写出似然函数(即样本的联合密度函数), 写出对数似然函数（对似然函数取对数）, 写出似然方程, 求解似然方程并写出估计量,(只有一个待估参数时求 ),设 是来自总体 的 s.r.s, 分别是样本均值和修正样本方差,则,抽样分布基本定理,1),2),3),与 相互独立.,4)设XN(1,12),Y N(2,22),从中分别抽取 容量为n1,n2的样本,且两组样本独立,则,5）当 时,记,