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1、教学内容：,16-6用积分法求梁的变形,教学要求：,1、了解积分法求梁的变形的方法步骤。,2、掌握叠加法求梁的变形的方法。,3、了解简单静不定梁的求解方法与步骤。,16-7用叠加法求梁的变形,16-8简单静不定梁,16-9提高梁的强度和刚度的措施,4、了解提高梁的弯曲强度和刚度的主要措施。,第六节 用积分法求梁的变形,一、基本原理,挠曲线近似微分方程,积分一次,转角方程,再积分一次,挠曲线方程,常数C、D可根据变形的边界条件和光滑连续条件确定,边界条件,xA=0，yA=0；xA=0，A=0,xA=0，yA=0；xB=l，yB=0,连续条件,梁变形时，挠曲线是连续光滑的曲线，亦即挠曲线的任意点有
2、惟一确定的挠度和转角。,二、积分法求梁的变形的方法步骤,求弯矩方程M（x）。,建立挠曲线近似微分方程。,积分求得转角方程 = (x)和挠曲线方程y = f (x)。,由边界条件和光滑连续条件确定积分常数。,计算所求截面的变形量。,例 如图所示一悬臂梁，受集中载荷F作用，EIz为常数。求其转角方程和挠曲线方程。,MA,FA,x,解,求支座反力，列弯矩方程,FA=F MA=Fl,M (x) = F (xl ) （0x l）,列挠曲线近似微分方程,积分求得转角方程和挠曲线方程,转角方程,确定积分常数,C = 0 D = 0,由边界条件易得,挠曲线方程,显然，最大挠度和转角发生在处：,yB,B,第七节
3、 用叠加法求梁的变形,叠加原理梁在多个载荷作用下的变形，等于各 个载荷独立作用下变形的代数和。,叠加法运用叠加原理来计算梁在复杂载荷下的 变形的方法。,叠加原理只有在材料服从虎克定律且变形很小的前提下才能应用。,叠加法是材料力学中一种很重要的方法。在其他问题上还有应用。,例 抗弯刚度为EIz的简支梁，全梁受向下的分布载荷q，中点受向上的集中力F，试求梁中点的挠度和铰支座的转角A、B 。,解,画各个载荷独立作用下的计算简图,查基本变形表格,受集中力时：,受分布力时：,叠加,yC=yCF+yCq=,A=AF+Aq=,B=BF+Bq=,例 如图所示的阶梯形悬臂梁AB段，长为l，抗弯刚度为2EIz；B
4、C段长为l，抗弯刚度为EIz；自由端受集中力F的作用。求C点的挠度。,解,刚化AB段,yC1= -Fl3/3EIz ，C1= -Fl2/2EIz,刚化BC段,: yBF= -Fl3/6EIz ，BF= -Fl2/4EIz,M: yBM= -Fl3/4EIz ，BM= -Fl2/2EIz,叠加计算B点的挠度yB和转角B,yB = yBF+ yBM B = BF+ BM, B点变形对C点产生的挠度yC2,yC2 = yB+ Bl = -14Fl3/12EIz,C点的挠度,yC = yC1+ yC2 = -2Fl3/3EIz,第八节 简单静不定梁,一、静不定梁的概念,超静定梁：支反力数目大于有效平衡
5、方程数目的梁。,多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束。,静定基：用多余约束力代替多余约束的静定系统。又 称相当系统。,超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。,二、求解一次静不定梁的方法步骤,1.选取静定基,2.建立一个补充方程，求多余反力,3.画弯矩图，进行梁的强度和刚度的计算,例 作图所示静不定梁的弯矩图。（EIz为常数）,FB,FA,FC,解,选取静定基,撤去约束B，代之以约束反力FB,建立补充方程求多余反力FB,变形谐调条件：,yB = yBF+yBFB= 0,FB = 11F/16,画弯矩图,FA = 3F/32 FB = 13F/32,第九节 提高梁的强度和刚度的主要措施,一、合理安排梁的支承及增加约束,M图,Mmax ql2/8、ql2/40、ql2/32 比值为 1：0.2：0.25,ymax 13.0210-3ql4/EI、1.23810-3ql4/EI、0.325510-3ql4/EI,比值约为 1：0.095：0.025,二、选择梁的合理截面,1.合理设计截面,2.合理放置截面,三、合理地布置载荷,M图,Mmax比值为1：1/2：1/2,由于优质钢和普通钢的E值相差不大，但价格相差较大，故一般情况下不以优质钢代替普通钢来提高梁的刚度。,