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1、8.6 分形表示,什么是分形 自然界中的分形 分形的特点 分形实例 分形与维数 不规则物体的建模方法,1.什么是分形,1967年，美国的科学杂志上发表了一篇题为英国的海岸线究竟有多长？的论文。这篇论文对海岸线的本质作了独特的分析，以至当时的整个学术界为之震惊。这篇论文也成为了作者曼德布罗特（Mandelbrot）思想的转折点，分形的理论就从此萌芽并迅速发展起来。曼德布罗特，也成为了分形论的奠基人。 ”A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way”（如果一个图形的部分以某种方式与其整体本身相似，这个图形就称
2、为分形）， 这就是分形的最基本定义。,问题的本质“非常规、不规则的图形”,从直观上来看，所谓分形是指一些无法用常规的、传统的几何方法描述的图形。例如天空的云彩、曲折的江河和海岸线、树叶、山峰等。它们不同于正方形、圆、直线等规则的几何图形，表现出某种混乱和不规则。通常的度量概念，如长度、面积等，对它们来说，不仅很难计算，而且有时根本是无法计算的。在这些“非常规”的、“不规则”的图形中蕴藏着丰富的、有趣的规律和性质。 从理论上讲，分形是数学思想的新发展，是人类对于维数、点集等概念的理解的深化与推广，所以人们把它称为是一种新的几何学分形几何学。然而，它又与现实的物理世界紧密相连，成为研究混沌(cha
3、os)现象的重要工具。,2.自然界中的分形,3.分形的特点,分形体系的局部与整体是相似的。实际上，分形体系内任何一个相对独立的部分，在一定程度上都是整体的再现和缩影。构成分形整体的相对独立的部分称为生成元或分形元。 任何一个分形，都很有无穷多个分形元。对整体的无限细分，所形成的无数分形元，构成了分形图形的整体。 分形图形是如此的不规则,以至于它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述. 在某种意义下的分形维数通常要大于它的拓扑维数.,4.分形实例：（1）Cantor点集(康托尔点集),我们设想一条单位长的直线线段，去掉它的中间的三分之一，这样留下的部分将是两段长度分别为三分之一的线段，总长度为
4、2/3。接下去我们再把这两条线段去掉中间的三分之一，这时留下的部分将是四条长度各为九分之一的线段，总长度为4/9。如此不断地循环操作，最终将得到一个名为康托尔点集的集合。这就是一个分形图案。注意，它不是一个空集，在原线段的13，23，19，29，79，89处的点将永远留在这个点集中，然而留下部分的长度显然将趋近于零。读者不难验证一下刚才提到的三点性质在康托尔点集中都有体现。它是一个维数在1和0之间的分形图案。,Cantor点集,4.分形实例： （2）Koch曲线(柯克曲线),同样从一条单位长的直线线段出发，以它的中间三分之一为底，画出一个等边三角形，并去掉这个底边。在这个变换中，线段的总长度将
5、增加三分之一，成为4/3。继续这个变换，即对上一步所得图案中的每一条线段进行同样的处理，这时，曲线的总长度将按4/3的n次方递增而趋于无穷大，然而它并没有铺满平面。这就是Koch曲线，一种维数大于1而小于2的分形图案。不难看出，其实它就是海岸线问题的模拟与抽象。,Koch曲线的生成过程,无穷次迭代之后的情形,Koch曲线的特点,具有精细的结构; 如此的不规则以至于它的整体和局部都难以用经典的几何来描述; 具有自相似性; 定义直接,由简单的递归方式形成; 曲线的长为无穷大,面积为零,从而不能用通常的测度来度量;,Koch曲线的长度,当迭代次数的时候,Koch曲线的面积,用一个三角形覆盖全部曲线,
6、其底为1,高为 ,面积为 , 对三角形的四个小部分用四个三角形覆盖,每边长度均为原三角形边长的三分之一,故全部三角形面积为 , 边长再缩短三分之一的16个小三角形去覆盖曲线的16个小部分,全部面积为 ; 依次类推,最终曲线的面积为:,4.分形实例： （3）Sierpinski垫片,以边长为3的方形开始,从中间去掉边长为1的方形.对剩下的8个方形,继续上面的操作,这样得到的图形就称为Sierpinski垫片.,Sierpinski垫片-迭代的过程继续下去,再次迭代,迭代到无穷多次的时候,Menger海绵,4.分形实例：（4）复平面上的迭代-Mandelbrot集,迭代函数为: 其中: 当 时会发
7、生两种情形: ; 仍然有界; 如果对给定的c, 仍然有界,那么c就属于Mandelbrot集.,各式各样的Mandelbrot集,常见的分形图形,Sierpinski三角形,Sierpinski多边形,常见的分形图形,Koch雪花,巴斯利树叶,5.分形与维数-非整数的维数？,从理论上说，分形可以定义为“非整数维数的点集”。当然，要理解这个概念，必须先推广维数的概念。一般来说，维数都是整数，直线线段是一维的图形，正方形是二维的图形等等。那么，如上所说的海岸线是几维的呢?如果不确切地描述一下，那就可以说，由于海岸线的曲折和不规则，作为一个点集，它所包含的点比直线线段上的点要更“多”一些，当然，它并
8、没有铺满平面，所以它比平面(例如一个正方形或圆)上的点要“少”一些。如果从点的“多少”来理解维数的话，那么海岸线的维数应当是大于1而小于2的一个数，即具有非整数的维数，所以海岸线是一个分形图案(近期的研究表明，海岸线的维数大约是1.2)。,传统的度量方法失效了?,传统的度量方法失效了?,对维数的理解,分形图形的维数,6.不规则物体的建模方法,用计算机生成真实感图形一直是计算机图形学中最具有挑战性的研究方向之一，特别是对不规则物体的模拟十分困难，原因在于： 火、烟和云等均系气体现象，其形成都是由无 数小颗粒随机运动而产生，外观形状极不规则，没有光滑的表面，而且极其复杂与随意，并 可能随时间而发生
9、变化，这使得用经典的欧几里德几何学对其描述显得无能为力，如用直线 、圆弧、和样条曲线等去建模，则其逼真度就非常差； 几乎每一个人都知道这类现象 ，如火焰、烟及云是什么样子，但却很少有人能够准确地将其形状描述出来； 火焰等 气体现象的运动十分复杂，如火焰忽隐忽现，烟袅袅上升，云则虚无缥缈，同时，在火焰燃 烧、烟雾扩散以及云层飘动过程中，还会受到风力的作用，使其发生捉摸不定的变化.,基于粒子系统的模型,1983年由W.T.Reeves等首次系统地提出了一种用于不规则模糊物体（如火、云、水等）建模 的方法。当时Reeves为电影Star Trek II绘制星系爆炸的场面。“粒子系统” 就是由大量粒子
10、集合在一起表现模糊物体的计算机模拟系统，其基本思想是把模糊物体看作 是众多粒子组成的粒子团，各粒子均有自己的属性，如颜色、形状、大小、生存期、速度等.该系统在不同时刻的状态由粒子的动力学性质决定，粒子随时间的推移而不断地运动，并不断改变状态.这种粒子运动（包括平移、旋转、自转、涡旋、反弹、比例变换等），均可以通过受控的随机过程来模拟实现.该系统始终处于动态的变化中，即新粒子通过可控的随机过程不断地产生 ，旧粒子不断地消亡。,基于分形几何描述的云模型,利用分形几何，先定义出云的形状，然后运用光照效果将该形状表现为云团。在建立云的分形模型过程中，把云的基本形状定义为简单的球体，并在不同的方向上对这些云球作某些变形，然后将初始云球随机缩小，并在不同方位上偏离父球中心的微小位移处进行多次随机复制，该过程一直继续下去直到最后的迭代层次（或达到小于一个屏幕象素）为止，最后绘制出这些缩放后的球。同时，为了建立云的更逼真的外观，把球的色彩看作是它到地面高度的 函数，较黑的灰色用于云的较低部分，随着高度增大，灰色逐渐变淡，通过颜色密度和放大 倍数简单改变，可以绘制出从乌云到白云的任何外观逼真的云团。,奇妙的分形,