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1、第二节 无穷积分的性质与收敛判别,第十一章 反常积分,第一节 反常积分的概念,第三节 瑕积分的性质与收敛判别,1 反常积分概念,一. 引入,例：,0,x,y,1,b,解：由于这个图形不是封闭的 曲边梯形,而在x轴的正方 向是开口的，即这是的积 分区间为1，），,显然当b改变时，曲边梯形的面积也随之改变，,则所求曲边梯形的面积为1,二、无穷限的反常积分,定义1:,设函数 f (x)在区间a, +)上连续, 取b a,如果极限,存在,则称此极限为函数 f (x)在无穷区间a, +)上的反常积分, 记作,(1),1、无穷限反常积分,这时也称反常积分 收敛; 若上述极限不存在, 就称反常积分 发散,
2、这时记号 不再表示数值了。,例如：,类似地, 设函数 f (x)在区间(, b上连续, 取a b,如果极限,存在,则称此极限为函数 f (x)在无穷区间(, b上反常积分, 记作 ,(2),这时也称反常积分 收敛; 若上述极限不存在, 就称反常积分 发散.,即,设函数 f (x)在区间(, +)上连续,都收敛, 则称上述两反常积分之和为函数 f (x)在区间(, +)上的反常积分.记作,(3),这时, 也称反常积分 收敛; 否则就称反常积分 发散.,如果反常积分,上述反常积分统称为无穷限的反常积分.,即,解：,注: 为方便起见, 把,例1,解:,例2,解: 当 p = 1时,当 p 1时,2、
3、无界函数的反常积分,定义2: 设函数 f (x)在区间(a, b上连续, 而在点 a 的,则称此极限为函数 f (x)在(a, b上的 反常积分(瑕积分).,a称为f的瑕点,上有界且可积,如果极限,右邻域内无界, 但在任何闭区间(u, b (a, b,存在,(4),这时也称反常积分 收敛. 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散.,类似地,b为f的瑕点,例4 计算,解:,另解,注意：（常）积分与瑕积分在记号上完全相同。,例5,解二,解一,正确解为,当q 1时, 收敛; 当q 1时, 发散.,证: 当q = 1时,例6,当q 1时,其值为,因此, 当q 1时,反常积分 收敛,注意,反常积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。,反常积分中，牛顿莱布尼茨公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。,如 无穷限积分,再如 瑕积分,