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1、概率论与数理统计 第四版,浙江大学 盛骤,1,概率论部分2,第二章 随机变量及其分布,2,3,第二章 随机变量及其分布,关键词： 随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数,4,1 随机变量,* 常见的两类试验结果：,X=f(e)为S上的单值函数，X为实数,* 中心问题：将试验结果数量化,* 定义：随试验结果而变的量X为随机变量,* 常见的两类随机变量,5,2 离散型随机变量及其分布,定义：取值可数的随机变量为离散量 离散量的概率分布(分布律),# 概率分布,6,例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经 过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设 各灯为红灯的概率为
2、p，0p1，以X表示首次 停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。,解： 设Ai=第i个灯为红灯，则P(Ai)=p，i=1,2,3 且A1,A2,A3相互独立。,7,例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品 的次品率为p，0p1，若查到一只次品就 得停机检修，设停机时已检测到X只产品， 试写出X的概率分布律。,解：设Ai=第i次抽到正品，i=1,2, 则A1,A2,相互独立。,亦称X为服从参数p的几何分布。,8,三个主要的离散型随机变量 01(p) 分布 二项分布,样本空间中只有两个样本点,即每次试验结果 互不影响,在相同条件下 重复进行,(p+q=1),* n重贝努利试验：设试验E只有两个
3、可能的结果： p(A)=p,0p1,将E独立地重复进行n次，则称这一串重复 的独立试验为n重贝努利试验。,9,例： 1. 独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果： 正面，反面，,如果是不放回抽样呢？,2.将一颗骰子抛n次，设A=得到1点，则每次试验 只有两个结果：,3.从52张牌中有放回地取n次，设A=取到红牌，则 每次只有两个结果：,10,设A在n重贝努利试验中发生X次，则 并称X服从参数为p的二项分布，记,推导：设Ai= 第i次A发生 ，先设n=3,11,例： 设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能有一个人处理。 考虑两种配备维修工
4、人的方法， 其一是由4个人维护，每人负责20台； 其二是由3个人共同维护80台。 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。,12,13,例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上 要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独 立，且设各灯为红灯的概率为p，0p1， 以Y表示一路上遇到红灯的次数。 (1)求Y的概率分布律； (2)求恰好遇到2次红灯的概率。,解：这是三重贝努利试验,14,例：某人独立射击n次，设每次命中率为p， 0p1，设命中X次，(1) 求X的概率分布 律；(2) 求至少有一次命中的概率。,解：这是n重贝努利试验,同时可知：,上式的意义为：若p较小，p0,只要n充分大，
5、至少有一次命中的概率很大。即“小概率事件”在大量试验中“至少有一次发生”几乎是必然的。,15,例：有一大批产品，其验收方案如下：先作第一次检验， 从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大 于2拒收；否则作第二次检验，从中任取5件，仅当5件 中无次品便接受这批产品，设产品的次品率为p 求这批产品能被接受的概率L(p),L(P)=P(A),解： 设X为第一次抽得的次品数，Y为第2次抽得的次品数； 则Xb(10,p)，Yb(5,p)， 且X=i与Y=j独立。A=接受该批。,16,泊松分布(Poisson分布) 若随机变量X的概率分布律为 称X服从参数为的泊松分布，记,例：设某汽车停靠站候车
6、人数 (1)求至少有两人候车的概率； (2)已知至少有两人候车，求恰有两人候车的概率。 解：,17,18,3 随机变量的分布函数,19,例： 解：,20,4 连续型随机变量及其概率密度,定义： 对于随机变量X的分布函数 若存在 非负的函数 使对于任意实数 有：,其中 称为X的概率密度函数，简称概率密度。,则称X为连续型随机变量，,21,与物理学中的质量线密度的定义相类似,22,例：设X的概率密度为 (1)求常数c的值； (2) 写出X的概率分布函数； (3) 要使 求k的值。 解：,23,几个重要的连续量 均匀分布 定义：X具有概率密度 称X在区间(a,b)上服从均匀分布， 记为XU(a,b)
7、,24,例：在区间(-1,2)上随机取一数X，试写出X的概率 密度。并求 的值； 若在该区间上随机取10个数，求10个数中恰有 两个数大于0的概率。,解：X在区间(-1,2)上均匀分布,设10个数中有Y个数大于0，,则：,25,指数分布 定义：设X的概率密度为 其中0为常数，则称X服从参数为的指数分布。记为,X具有如下的无记忆性：,26,27,正态分布,定义：设X的概率密度为 其中 为常数，称X服从参数为 的正态分布(Gauss分布)， 记为 可以验算：,28,称为位置参数(决定对称轴位置) 为尺度参数(决定曲线分散性),29,X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。 当固定时，越大，曲线的峰越
8、低，落在附近的概率越小，取值就越分散， 是反映X的取值分散性的一个指标。 在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。,30,31,例：,32,例：一批钢材(线材)长度 (1)若=100，=2，求这批钢材长度小于97.8cm 的概率；(2)若=100，要使这批钢材的长度至少 有90%落在区间(97,103)内，问至多取何值？,33,例：设某地区男子身高 (1) 从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于 175cm的概率；(2) 若从中随机找5个男子测身高,问至 少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身 高大于175cm的概率为多少？,34,5 随机变量的函数分布 问
9、题：已知随机变量X的概率分布， 且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。,例如，若要测量一个圆的面积，总是测量其半径，半径的 测量值可看作随机变量X，若 则Y服从什么分布？,例：已知X具有概率分布 且设Y=X2，求Y的概率分布。,解：Y的所有可能取值为0,1,即找出(Y=0)的等价事件(X=0)； (Y=1)的等价事件(X=1)或(X=-1),35,例：设随机变量X具有概率密度 求Y=X2的概率密度。,解：分别记X,Y的分布函数为,Y在区间(0,16)上均匀分布。,36,一般，若已知X的概率分布，Y=g(X)，求Y的 概率分布的过程为：,关键是找出等价事件。,37,例：设 Y=2X,Z=X2,求Y
10、,Z的概率分布。,解：Y的可能取值为-2,0,2 Z的可能取值为0,1 (Y=-2)的等价事件为(X=-1) (Z=1)的等价事件为(X=1)(X=-1),故得：,38,例：,39,40,41,例：,解：,例：,解：,42,43,复习思考题 2,1.什么量被称为随机变量？它与样本空间的关系如何？ 2.满足什么条件的试验称为“n重贝努里试验”？ 3.事件A在一次试验中发生的概率为p,0p1。若在n次独立重复的试验中，A发生的总次数为X,则X服从什么分布？并请导出： 4.什么条件下使用泊松近似公式等式较为合适？ 5.什么样的随机变量称为连续型的？ 6.若事件A为不可能事件，则P(A)=0,反之成立吗？又若A为必然事件， 则P(A)=1，反之成立吗？ 7.若连续型随机变量X在某一区间上的概率密度为0，则X落在该区间 的概率为0，对吗？ 8.若随机变量X在区间(a,b)上均匀分布，则X落入(a,b)的任意一子区间 (a1,b1)上的概率为(b1-a1)/(b-a),对吗？ 9.若XN(,2)，则X的概率密度函数f(x)在x=处值最大，因此X落在附近的概率最大，对吗？,2019/4/7,课件待续!,