《第三章导数的应用.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章导数的应用.ppt（29页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第三章 导 数 的 应 用,(一) 本 章 内 容 小 结,(二) 常见问题分类及解法,(三) 思 考 题,(四) 课 堂 练 习,(一) 本章内容小结,一、内容提要,1、拉格朗日中值定理及特例，定理的几何解释。,2、一阶导数的符号和曲线单调性的关系。,3、极值存在的必要条件及利用一阶导数或二阶导数判断极值。,4、求函数在闭区间上最大值和最小值，求最值应用题。,5、利用二阶导数研究曲线凸凹性和拐点，拐点存在必要条件 及判定。,6、利用导数作图。,7、利用洛必达法则，求未定式极限。,*8、曲率公式，弧长的微分公式。,二、重点和难点,中值定理的应用：曲线的单调性与极值，曲线的凸凹性与 拐点及未定式
2、极限为重点，函数的作图是本章难点。,三、基本要求,1、拉格朗日定理是利用导数来研究函数的性质的理论基础， 必须熟记定理的条件和结论及几何意义。,2、熟练应用一阶导数，判断曲线的增减性，牢固掌握极值 存在的必要条件，运用一阶导数和二阶导数来判定极值。清 楚极值与最值的联系与区别。,3、清楚二阶导数的几何意义，利用二阶导数判定曲线凸凹 性及求拐点。,5、能正确掌握利用一阶导数和二阶导数研究曲线的性态并能 正确做出常见的初等函数图像。,四、对学习的建议,拉格朗日中值定理是利用导数研究函数的性质的基础理 论，因而十分重要，必须弄清它的条件与结论以及几何意义。 定理的证明只要求理解。,洛必达法则是求极限
3、的一个有力工具，在应用中须注意 以下几点。,2、使用法则前，函数中若有因式可用无穷小代换，则代 换，以便简化计算。,3、使用法则后，若有因式其极限可以确定，则应及时剥离 求出极限，以利继续使用法则。,4、使用洛必达法则中，在适当的环节上可结合其他求极限 的方法，以便极限较快求出。另外，法则有时会失效，但不 能因此确定函数无极限，可另换他法。,结合实际求最值问题，关键在目标函数的建立，这需要 一定的其他领域的知识。目标函数建立的恰当与否，取决于 自变量的选取。这一切都需要多做多看一些不同类型的题目， 以便培养这方面的能力。,导数在经济问题中的应用，关键在熟悉和掌握各种概念的 含义以及它的数学表达
4、式。,五、本章关键词,中值定理,极值,最大值与最小值,洛必达法则,作函数的图形是本章内容的大综合，也是本章一个难点。 正因为如此，认真的按照规范的步骤做几道作图题，对融会贯 通本章知识，了解函数性态，提高作图能力等都是有益的。,(二) 常见问题分类及解法,一、利用洛必达法则求未定式,例1 求下列极限：,解,二、利用导数判断函数的单调性并求其极值,函数在某区间内的单调性可以用此函数的一阶导数的正负 来判定，进而可以求出函数在其定义域内的极大值和极小值。,需注意的是：, 有些导数不存在的点也可能是极值点；, 在单调区间内的某些离散点处导数也可能为零。,例2 求函数的单调区间并求其极值：,解,见表3
5、-1.,表 3-1 极值表,见表3-2.,表 3-2 极值表,三、求函数的最大值和最小值,对于由解析式表示的连续函数在闭区间上的最大值和最小值 问题，可利用比较函数在驻点和不可导点及区间端点处的函数值 的大小来求。而对于由实际问题得到的函数的最值问题，只要函 数在某区间内只有一个驻点，则可以肯定函数在此驻点处取得最 值。,解,例4 欲用围墙围成面积为 216 m2 的一块矩形土地，并在 正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大 的尺寸，才能使所用建筑材料最省？,解,图 3-1 例4 示意,四、判断曲线的凸凹并求曲线的拐点,根据函数二阶导数在某区间内的正负，可以判断函数曲 线的凸凹，
6、进而可以求出函数曲线在整个定义域内的拐点。,解,表 3-3 曲线凸凹表,五、利用函数的单调性证明不等式,对于某些不等式，可以先将其转化为一个函数，再利用函 数的单调性证明不等式。,证,(三) 思考题,答 案,答 案,答 案,答 案,1、一阶导数的符号与曲线单调性的关系是什么？,2、利用一、二阶导数能研究曲线的什么特性？,(四) 课堂练习题,答 案,答 案,答 案,答 案,返 回,1、一阶导数的符号为正号，曲线单调增加；一阶导数的符号 为负号，曲线单调减少.,返 回,2、利用一阶导数可研究曲线的单调性进而来判定极值.,利用二阶导数可研究曲线的凸凹性和拐点.,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,返 回,