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1、对 偶 理 论 (Duality Theory),对偶问题的提出,线性规划的对偶理论,对偶问题的经济解释-影子价格,对 偶 单 纯 形 法,灵 敏 度 分 析,对偶性是线性规划问题的最重要的内容之一。每一个线性规划（ LP ）必然有与之相伴而生的另一个线性规划问题，即任何一个求 maxZ 的LP都有一个求 minZ 的LP。其中的一个问题叫“原问题”，记为“P”，另一个称为“对偶问题”，记为“D”。,例一、资源的合理利用问题 已知资料如表所示，问应如何安排生产计划使得既能充分利用现有资源有使总利润最大？,一、问 题 的 提 出,下面从另一个角度来讨论这个问题：,假定：该厂的决策者不是考虑自己生
2、产甲、乙两种产品，而是将厂里的现有资源用于接受外来加工任务，只收取加工费。试问该决策者应制定怎样的收费标准（合理的）？,分析问题： 1、每种资源收回的费用不能低于自己生产时的可获利润； 2、定价又不能太高，要使对方能够接受。,一般而言，W 越大越好，但因需双方满意，故,为最好。,该问题的数学模型为：,模型对比：,例二、合理配料问题，其数学模型为：,假设工厂想把这m 种营养成分分别制成一种营养丸销售，问如何定价（以保证总收入为最多）？,例三、,1、对称型对偶问题：已知 P，写出 D。,二、线性规划的对偶理论 （一）、对偶问题的形式,例一、写出线性规划问题的对偶问题,解：首先将原式变形,注意：以后
3、不强调等式右段项 b0，原因在对偶单纯型表中只保证 而不保证 ，故 b可以是负数。,2、非对称型对偶问题,例二、原问题,2、混合型对偶问题,对偶问题,综上所述，其变换形式归纳如下：,例四、线性规划问题如下：,练习：,min Z= - CX s.t. - AX- b X 0,1、对称性定理：对偶问题的对偶是原问题。,max W = -Yb s.t. YA C Y 0,（二）、对偶问题的性质,2、弱对偶原理（弱对偶性）：设 和 分别是问题（P）和（D）的可行解，则必有,推论.若 和 分别是问题（P）和（D）的可行解，则 是（D）的目标函数最小值的一个下界； 是（P）的目标函数最大值的一个上界。,推
4、论.在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题不可行；反之不成立。这也是对偶问题的无界性。,无可行解,推论.在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行（如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的问题无界。,例一、,试估计它们目标函数的界，并验证弱对偶性原理。,（P）,解：,（D）,例二、已知,试用对偶理论证明原问题无界。,解： =（0.0.0）T是 P 的一个可行解，而 D 的第一个约束条件不能成立（因为y1 , y2 0)。因此，对偶问题不可行，由推论可知，原问题无界。,例3、已知,显然，这两个问题都无可行解。,3、最优性判别定理： 若 X* 和 Y*
5、分别是 P 和 D 的可行解且 CX* = Y* b， 则X*. Y*分别是问题 P和D 的最优解。,例如，在例1中，可找到 X*=（0.0.4.4）T， Y*=（1.2，0.2）,则Z* =28，W* =28.故X* .Y*分别是 P和D 的最优解。,4、对偶定理（强对偶性）： 若一对对偶问题 P 和 D 都有可行解，则它们都有最优解，且目标函数的最优值必相等。,推论.若 P 和 D 的任意一个有最优解，则另一个也有最优解，且目标函数的最优值相等。,综上所述，一对对偶问题的关系，只能有下面三种情况之一出现： .都有最优解，分别设为X* 和 Y*，则必有CX* =Y*b； . 一个问题无界，则
6、另一个问题无可行解； .两个都无可行解。,5、互补松弛定理： 设X*和Y*分别是问题 P 和 D 的可行解，则它们分别是最优解的充要条件是,同时成立,一般而言，我们把某一可行点（如X*和Y* ）处的严格不等式约束（包括对变量的非负约束）称为松约束，而把严格等式约束称为紧约束。所以有如下推论： 设一对对偶问题都有可行解，若原问题的某一约束是某个最优解的松约束，则它的对偶约束一定是其对偶问题最优解的紧约束。,例4、已知,试通过求对偶问题的最优解来求解原问题的最优解。,解：对偶问题为,用图解法求出： Y*=（1 . 3）， W=11。 将y*1=1， y*2=3 代入对偶约束条件， （1）（2）（5
7、）式为紧约束，（3）（4）为松约束。 令原问题的最优解为X* = （x1.x2.x3.x4.x5）T，则根据互补松弛条件，必有x3 = x4 =0,(1 . 3),（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,又由于y*10， y*2 0，原问题的约束必为等式，即,化简为,此方程组为无穷多解,令x5 =0,得到x1=1，x2=2 即X*1 =（1.2.0.0.0）T为原问题的 一个最优解，Z=11。 再令 x5 =2/3，得到x1=5/3，x2=0 即X*2 （5/3.0.0.0.2/3）T 也是原问题的一个最优解，Z* =11。,例5、已知原问题的最优解为X* =（0.0.4）T，Z=12 试求对
8、偶问题的最优解。,解：,（1）,（2）,（3）,将X* =（0 . 0 . 4）代入原问题中，有下式：,所以，根据互补松弛条件，必有y*1= y*2=0，代入对偶问题 （3）式， y3 =3。因此，对偶问题的最优解为 Y*=（0 . 0 . 3），W=12。,6、对偶问题的解,利用原问题的最优单纯形表和改进单纯形表求解对偶问题的最优解。,.设原问题为： maxZ=CX AX b X0 引入xs ，构建初始基变量，然后，用单纯形法求解。当检验数满足j0 ，则求得最优解。此时， xs对应的js 为- Y* ，故求对偶Y* ，只要将最优单纯形表上xs 对应的检验数反号即可。,例一、,初 始 表,最终
9、表,由上表可知： X*=（50/7 . 200/7）T，Z* =4100/7 对偶问题的最优解： Y*=（0 . 32/7 . 6/7），W* =4100/7 也就是外加工时的收费标准。,.设原问题： maxZ=CX AX=b X0 此时，矩阵A中没有现成的矩阵I，必须通过加入人工变量来凑一个单位矩阵，再用大M法或两阶段法求解。 如何求Y* ，经分析得出如下结论： B =0 最优基变量检验数向量 I =CI CB B-1 初始基变量检验数向量 D = CD CB B-1D 非基变量检验数向量 所以， Y* = CI I,例二、,所以， X*=（4 . 1 . 9），Z* = 2, y*1= (
10、0 4 )=1/3 y*2=(M 6 )= M(1/3M)=1/3 y*3 =(M 7 )= M(2/3 M)=2/3 Y*=（1/3 . 1/3 . 2/3） W* = 2,初始基变量的检验数4 =1/3，6 =1/3M, 7 =2/3M,定义：在一对 P 和 D 中，若 P 的某个约束条件的右端项常数bi 增加一个单位时，所引起的目标函数最优值Z* 的改变量y*i 称为第 i 个约束条件的影子价格，又称为边际价格。,三、对偶问题的经济解释影子价格,设：B是问题 P的最优基，由前式可知， Z*=CB B-1b = Y*b =y*1b1+ y*2b2+y*Ibi+y*mbm 当bi 变为bi+
11、1 时（其余右端项不变，也不影响B），,目标函数最优值变为： Z*= y*1b1+ y*2b2+y*I （ bi+1 ）+y*mbm Z*= Z* Z* = y*i,也可以写成： 即y*i 表示Z*对 bi的变化率。,其经济意义是：在其它条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函数的最优值的变化。即对偶变量yi 就是第 i 个约束条件的影子价格。 也可以理解为目标函数最优值对资源的一阶偏导数（但问题中所有其它数据都保持不变）。,若第i 种资源的单位市场价格为mi ，当yi mi 时，企业愿意购进这种资源，单位纯利为yimi ，则有利可图；如果yi mi ，则企业有偿转让这种资源，可获单位纯利
12、miyi ，否则，企业无利可图，甚至亏损。,多了 32/7,多了 6/7,对偶单纯形法是求解线性规划的另一的基本方法。它是根据对偶原理和单纯形法的原理而设计出来的，因此称为对偶单纯形法。不要简单理解为是求解对偶问题的单纯形法。,由对偶理论可以知道，对于一个线性规划问题，我们能够通过求解它的对偶问题来找到它的最优解。,四、对 偶 单 纯 形 法,也就是说，求解原问题（P）时，可以从（P）的一个基本解（非基可行解）开始，逐步迭代，使目标函数值（Z=Y b= CB B-1b =CX）减少，当迭代到 XB=B-1b0时，即找到了（P）的最优解，这就是对偶单纯形法。,同原始单纯形求法一样，求解对偶问题（
13、D），也可以从（D）的一个基本可行解开始，从一个基本可行解（迭代）到另一个基本可行解，使目标函数值减少。,在原问题解不可行，对偶问题解可行的基础上迭代，至原问题解可行，对偶问题解也可行，也就同时达到最优。,用对偶单纯形法求解原问题时必须满足两个条件： （1） 单纯形表的常数列中至少有一个负的分量。 存在 bi 0 （2） 单纯形表的检验数行的全部元素不大于0。 全部j0 ,用对偶单纯形法求解原问题 maxZ = CX AX = b X 0,步骤如下： 1若初始表j0，bi 0，则目前解为最优解。 若初始表j0，存在bi 0 （至少有一个），则转入下一步进行迭代。 2选出基变量： minbi |
14、 bi0 =b k ,则k行为主元行，x k 出基。 3选入基变量： min j /a kj | a kj0 = min 检验数行 / 主元行中小于0的元素=f /a kf 则f列为主元列， xf为入基变量。（即最小比值 的原则） 4重复迭代，直至j0，bi 0，求出最优解。,例一、用对偶单纯形法求解：,解：将模型转化为,所以， X*=（2 . 2 . 2 . 0 . 0 . 0）， Z* =72， 原问题 Z* =72 其对偶问题的最优解为： Y*= (1/3 . 3 . 7/3)，W*= 72,练习：,五、 灵敏度分析,考察参数变化对原最终表的影响 解决两方面问题： （1） 确定参数变化范
15、围，使原最优解不变。 （2）若参数超过这一范围，如何方便地求出新的最优解。,一、价值系数的灵敏度分析（ C变化）,( 一) 非基变量的价值系数Cj Cj=Cj+Cj (Cj可正可负)，受影响的只有x j 的检验数，其余不变。此时 只需重新计算x j 的检验数。 若新的检验数： （1）j0，原最优解保持不变。 j= Cj+Cj - CBB-1 P j 0 Cj +j 0 Cj -j ( 2 ) j0, 则以 x j 为入基变量，用单纯形法继续迭代，即可求出最优解。,（二）基变量的价值系数 Cj 发生改变， Cj Cj=Cj+Cj (Cj可正可负)，所有非基变量的检验数都改变，计算新的检验数。 若
16、新的检验数： （1）j0， 原最优解保持不变。 ( 2 ) j0, 则以大于0的检验数中最大的变量为入基变量，用单纯形法继续迭代，即可求出最优解。,例：某企业利用三种资源生产两种产品的最优计划问题归结为下列线性规划,已知最优表如下。 （1）确定x2的系数c2的变化范围，使原最优解保持最优； （2）若c2=6，求新的最优计划。,一、 价值系数cj的变化分析,4 = c25 0 5 = 52c2 0 5/2 c2 5,最优解X*=（35，10，25，0，0）T保持不变。,（1）,x1*=45/2，x2*=45/2，x4*=25/2，x3*= x5*=0，z*=495/2,（2）,二、右端常数bi的
17、变化分析,1. 若B-1b0 , 则原最优解还是最优解， 即最优基B不变，但解的数值发生改变。 （XB=B-1b,其它 x为0） 2. 若B-1b 0, 则用对偶单纯形法继续求解。 3确定使最优基不变的资源限量范围。 用B-1b0计算。,XB= B1b,例：对于上例中的线性规划作下列分析： （1）b3在什么范围内变化，原最优基不变？ （2）若b3=55，求出新的最优解。,二、右端常数bi的变化分析,解得40b350，即当b340，50 时，最优基B 不变,（2）当 b3= 55 时,=,三、 增加一个新变量的分析 例2.10 （续例2.8）设企业研制了一种新产品，对三种资源的消耗系数列向量以P
18、6表示 P6= 。问它的价值系数c6符合什么条件 才必须安排它的生产？设c6=3，新的最优生产计划是什么？,6=c6CBB1P6 =c6（0，5，4） = c65/2,四、 增加新的约束条件的分析 例2.11 假设在例2.8中，还要考虑一个新的资源约束：4x1+2x2150,4x1+2x2+x6=150,X*=（35，10，25，0，0）T,4x1+2x2+x6=150,五、 其它变化情况的分析 1. cj和bi同时变化的情况,例2.12 在例2.8中，假定c2由4上升为6，b3增加到55，试问最优解将会发生什么变化？,B1=,B = =,代替最优表的b列，并把c2改为6,原问题与对偶问题均非可行解，表中第一方程是 x3+2x45x5=25， 两边乘以（-1），得： x32x4+5x5=25， 再引入人工变量x6： x32x4+5x5+x6=25 以x6为基变量，增添第6列，应用大M法继续求解。,新的最优计划产量为x1*=30，x2*=20，z*=270。,x32x4+5x5+x6=25,2. 技术系数aij的变化 例2.13 在例2.8中，第一种产品的消耗系数改变为 ，价值系数不变，求新的最优解。,B1=,