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1、第二节,一、对坐标的曲线积分的概念 与性质,二、 对坐标的曲线积分的计算法,三、两类曲线积分之间的联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对坐标的曲线积分,第十一章,一、 对坐标的曲线积分的概念与性质,1. 引例: 变力沿曲线所作的功.,设一质点受如下变力作用,在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点B,求移,“大化小”,“常代变”,“近似和”,“取极限”,变力沿直线AB所作的功,解决办法:,动过程中变力所作的功W.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定积分能解决变力沿直线所作的功,1) “大化小”.,2) “常代变”,把L分成 n 个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做
2、的功为,则,用有向线段,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3) “近似和”,4) “取极限”,(其中 为 n 个小弧段的 最大长度),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 定义.,设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑,弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上,对坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或第二类曲线积分.,其中,L 称为积分弧段 或 积分曲线 .,称为被积函数 ,在L 上定义了一个向量函数,极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若 为空间曲线弧 , 记,称为对坐标x 的曲线积分;,称为对坐标y 的曲线积分.,若记, 对坐标的
3、曲线积分也可写作,类似地,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 性质,(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 则,则,定积分是第二类曲线积分的特例.,说明:,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3) 对封闭曲线，正向规定如下：沿曲线行走，区域总 在其左边。,二、对坐标的曲线积分的计算法,证明: 下面先证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对应参数,设分点,根据定义,由于,对应参数,因为L 为光滑弧 ,同理可证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,特别是, 如果 L 的方程为,则,对空间光滑曲线
4、弧 :,类似有,定理 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 计算,其中L 为沿抛物线,解法1 取 x 为参数, 则,解法2 取 y 为参数, 则,从点,的一段.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算,其中 L 为,(1) 半径为 a 圆心在原点的,上半圆周, 方向为逆时针方向;,(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ).,解: (1) 取L的参数方程为,(2) 取 L 的方程为,则,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2表明沿不同路径得出的值并不相同，尽管两个曲线积分的被积函数相同，起点和终点也相同。,例3. 计算,其中L为,(1) 抛物线,
5、(2) 抛物线,(3) 有向折线,解: (1) 原式,(2) 原式,(3) 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3表明，沿不同路径的曲线积分的值可以相等，只与起点和终点有关（在一定条件下），,例4. 设在力场,作用下, 质点由,沿移动到,解: (1),(2) 的参数方程为,试求力场对质点所作的功.,其中为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 求,其中,从 z 轴正向看为顺时针方向.与规定的 正向相反。,解: 取 的参数方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、两类曲线积分之间的联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在引例: 变力沿曲线所作的功的定义中，还可定义为：,已知
6、L切向量的方向余弦为：,也可从计算的角度得到上述结论。,即两类曲线积分有如下联系：,设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为,同样，对弧长的曲线积分：,对坐标的曲线积分：,可见两个曲线积分是相等的,差别：,对坐标的曲线积分，与积分路径有关，其 上下限由起点和终点确定。,对弧长的曲线积分与积分路径无关，化为 定积分，上限大于下限。,联系：,对两类曲线积分：,类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二者夹角为 ,例6. 设,曲线段 L 的长度为s, 证明,续,证:,设,说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.,在L上连,机动 目录 上页 下
7、页 返回 结束,例7.,将积分,化为对弧长的积,分,解：,其中L 沿上半圆周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 定义,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 计算, 对有向光滑弧, 对有向光滑弧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（一：选定参数，二：用曲线方程代，三：计算定积分）,4. 两类曲线积分的联系, 对空间有向光滑弧 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 已知,为折线 ABCOA(如图), 计算,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,作业,P141 3 (2), (4), (6), (7) ; 4 ; 5 ; 7 ; 8,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 1.,解:,线移动到,向坐标原点,其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比.,沿直,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 设曲线C为曲面,与曲面,从 ox 轴正向看去为逆时针方向,(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;,(2) 计算曲线积分,解: (1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 原式 =,令,利用“偶倍奇零”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,