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1、方向导数与梯度,一、方向导数的概念及计算,二、梯度的概念及计算,三、几何与物理意义,第九章,第七节,一、方向导数,定义: 若函数,则称,为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.,在点,处,沿方向 l (方向角为,) 存在下列极限:,记作,定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明: 由函数,且有,在点 P 可微 ,得,故,对于二元函数,为, ) 的方向导数为,特别:, 当 l 与 x 轴同向, 当 l 与 x 轴反向,向角,例1. 求函数,在点 P(1, 1, 1) 沿向量,3) 的方向导数 .,例2,解,因为函数可微分,且,例3,解,在空间的每一个点都可以确定无限多个方向,
2、因此,导数.,在这无限多个方向导数中,最大的一个(它直接,反映了函数在这个点的变化率的数量级)等于多少?,一个多元函数在某个点也必然有无限多个方向,它是沿什么方向达到的?,描述这个最大方向导数及其,所沿方向的矢量,就是我们下面讨论的梯度.,梯度是,场论里的一个基本概念.,所谓“场”,它表示空间区域,上某种物理量的一种分布.,从数学上看,这种分布常常,表示为,上的一种数值函数或向量函数.,能表示为数,值函数u = u(x, y, z) 的场, 称为数量场,密度场等;,如温度场、,二、梯度(gradient)的概念及计算,梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：f 变化率最大的方向,模 : f
3、的最大变化率之值,方向导数取最大值：,1. 定义,即,同样可定义二元函数,称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,说明:,函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.,向量,引用记号,称为奈布拉(Nebla)算符,或称为向量微分算子或哈密顿(W.R.Hamilton)算子.,则梯度可记为,设u = f (x, y, z)在点P(x, y, z)处,以三元函数为例,则函数在该点的梯度为,可微分,梯度是函数u = f (x, y, z)在点P处取得最大方向导数的,方向,最大方向导数为,函数u = f (x, y, z)在点P处沿方向,的方向导数,例1,解,例2:设 p(1,1,0).问f(x,y,z)在p处沿什么方向变化最快,在这方向的变化率是多少?,解：,沿 方向变化最快, 方向变化最慢,