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1、第十三章 函数列与函数项级数,1一致收敛性,一函数列及其一致收敛性,若数列(2)收敛,则称函数列()在点,设,(1),是一列定义在数集E上的函数,称定义在E上的函数列,简记为,(2),收敛点.若数列(2)发散，则称函数列(1)在,发散。若数列(1)在,或,总有,例,证明它的收敛,证:,(3),例2 设,证明它的收敛域为,极限函数为,=0。,证：由于对任何实数都有,故，对任意给定的,，就有,定义1,所以数列,的收敛域为无限区间为,极限函数为,=0。,对于函数列，我们不仅要讨论它在哪些点上收敛，而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质。比如能否由函数列每项的连续性，判断出极限函数的连续性，即下面
2、要讨论一致收敛性问题。,一致收敛于f 的几何意义:,不一致收敛于f 的几何意义:,函数列在D上不一致收敛的定义：,定理13.1 (函数列一致收敛的柯西准则),(4),证: 必要性,充分性,一点都收敛，记其极限函数为,(5),定理13.2,证: 必要性,由上确界的定义有,由此证得（6）式成立。,充分性,有,由（7）式得,（6）,（7）,例3,证明,证：,于是，,但由于,因此 ， 该函数列在,上不一致收敛。,二. 函数项级数及其一致收敛性,称为定义在上的函数项级数，,为函数项级数的部分和函数列。,若,收敛，则称,为,的收敛点。若,发散，则称,为,的收发散点。,也就是说函数项级数的收敛性就是指它的部
3、分和数列的收敛性。,当,当,推论：,例4,定理13.4,一致收敛。,三.函数项级数的一致收敛性判别法,定理13.5（魏尔斯特拉斯判别法）,证：,例5 证明函数项级数,在,上一致收敛。,定理13.6 （阿贝耳判别法）设,在区间I上一致敛；,是单调的；,（2）对每一个,（1）,（3）,则级数,在区间上一致收敛。,证：由（1），,使得当,时，对任意正整数p及,有,又由（2），（3）及阿贝尔引理（第十二章3引理的推论）得到,由此柯西准则定理得证。,定理13.7 （狄利克雷判别法）设,（1）,的部分和数列,在I一致有界；,（2）对每个,是单调的；,（3）在I上,一致收敛于零。,则级数,在区间I上一致收敛 。,证：由（1），,，对一切,。因此当n，p为,任意正整数时，,对任何一个,由（2）及阿贝尔引理，得到,再由（3），对任给的,，存在正整数N，当nN时，对一切,有,所以,于是由一致收敛性的柯西准则，级数,在区间I上一致收敛 。,例6 函数项级数,在0，1上一致收敛。因为记,时，由阿贝耳判别法即得结果。,例7 若数列,单调且收敛于零，则级数,在,上一致收敛 。,证：因为在,上有,所以级数,的部分和数列在,上一致有界，于是令,由狄利克雷判别法知级数,在,上一致收敛。,