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1、回 顾 二,第二章 质点动力学,第2章 质点动力学,质点动力学的任务：研究物体之间的相互作用，及这种相互作用引起的物体运动状态变化的规律。,对时间积累,动量定理,对空间积累,动能定理机械能守恒,力矩,定轴转动物体的平衡,角动量定理角动量守恒,动量守恒,以“力”为中心 以“能量”为中心,牛顿第一定律（惯性定律）,任何物体都将保持静止或匀速直线运动的状态直到其他物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。,数学形式：,惯性： 任何物体保持其运动状态不变的性质。,牛顿第二定律（牛顿运动方程）,物体受到外力作用时，它所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同
2、。,数学形式：,或,说明,1) 质点动力学基本方程 2) 是合外力 3) 加速度与合外力同向,4) 反映瞬时关系 5) 适用于惯性参考系 6) 是矢量式,力的叠加原理: 几个力同时作用在一个物体上所产生的加速度a，等于各个力单独作用时所产生加速度的矢量和。,在直角坐标系Oxyz中：,在自然坐标系中 ：,说明：,（1）牛顿运动方程只适用于质点的运动。,（2）牛顿第二定律中 和 的关系为瞬时关系。,牛顿第三定律（作用力和反作用力定律）,当物体A以力 作用在物体B上时，物体B也必定同时以力 作用在物体A上，两力作用在同一直线上，大小相等，方向相反。,数学形式：,说明：,（1）作用力和反作用力总是成对
3、出现，任何一方不能单独存在。,（2）作用力和反作用力分别作用于两个物体，因此不能平衡或抵消。,（3）作用力和反作用力属于同一种性质的力。,2-1-3 牛顿定律的应用,质点动力学基本运动方程,解题步骤：,（1）确定研究对象。对于物体系，画出隔离图。,（2）进行受力分析，画出受力图。,（3）建立坐标系。,（4）对各隔离体建立牛顿运动方程（分量式）。,（5）解方程，进行符号运算，然后代入数据。,例1 如图所示，两木块质量分别为mA=1.0kg, mB= 2.0kg。A、B间的摩擦因数1= 0.20。B与桌面的摩擦因数2= 0.30。若木块滑动后它们的加速度大小均为0.15 ms-2。求作用在B物上的
4、拉力？,解：,A,A：,B：,由A式：,由B式：,解得：,例2 质量为m的小球最初位于A点，然后沿半径为R的光滑圆弧面下滑。求小球在任一位置时的速度和对圆弧面的作用。,解：,例3 由地面沿铅直方向发射质量为m的宇宙飞船。求宇宙飞船能脱离地球引力所需的最小初速度。（不计空气阻力及其他作用力，设地球半径为6378000m）,解：,设地球半径为R，地球表面的重力近似等于引力：,宇宙飞船受的引力：,运动方程：,两边积分：,飞船脱离地球引力时：,令 v = 0, 0,例4 密度为1的液体，上方悬一长为l，密度为2的均质细棒AB，棒的B端刚好和液面接触。今剪断绳，并设棒只在重力和浮力作用下下沉，求：,（1
5、）棒刚好全部浸入液体时的速度。 （2）若2 1 /2，棒浸入液体的最大深度。 （3）棒下落过程中能达到的最大速度。,解：,（1）,x = l 时：,（2）,最大深度时有 v = 0,求极值,（3）棒下落过程中能达到的最大速度？,惯性系,牛顿定律成立的参考系。一切相对于惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。,非惯性系,相对于惯性系做加速运动的参考系。在非惯性系内牛顿定律不成立。,2-1-4 惯性系与非惯性系,问题：如何在加速参考系(非惯性系)中借用牛顿定律 形式研究物体的运动？,惯性力：,为了要使牛顿第二定律在非惯性系内成立而引进的一个虚构的力。,与非惯性系加速度的方向相反,大小等于运动质点的
6、质量 m 与非惯性系加速度 a 的乘积,大小：,方向：,在非惯性系中，牛顿运动定律表示为：,例5 升降电梯相对于地面以加速度a 沿铅直向上运动。电梯中有一轻滑轮绕一轻绳，绳两端悬挂质量分别为m1和m2的重物（ m1 m2 ）。求：（1）物体相对于电梯的加速度；（2）绳子的张力。,解：,消去,2-2 动量守恒定律,2-2-1 动量,动量：运动质点的质量与速度的乘积。,单位：kgms-1,由n个质点所构成的质点系的动量：,冲量：作用力与作用时间的乘积。,恒力的冲量：,变力的冲量：,单位：Ns,质点动量定理：,质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。,动量定理的微分式：,质点系的动量定
7、理：,微分式：,注意：系统的内力不能改变整个系统的总动量。,思考：内力的冲量起什么作用？,例6 质量m = 1kg的质点从O点开始沿半径R = 2m的圆周运动。以O点为自然坐标原点。已知质点的运动方程为 。试求从 s到 s 这段时间内质点所受合外力的冲量。,解：,例7 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F = 400-4105 t/3，子弹从枪口射出时的速率为300 m/s。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：（1）子弹走完枪筒全长所用的时间t。（2）子弹在枪筒中所受力的冲量I。（3）子弹的质量。,解：,（1）,（2）,（3）,例8 如图用传送带A输送煤粉，料斗口在A上方高 h=0.5m处，
8、煤粉自料斗口自由落在A上。设料斗口连续卸煤的流量为q=40kgs-1，A以v = 2.0ms-1的水平速度匀速向右移动。求装煤的过程中，煤粉对A的作用力的大小和方向。(不计相对传送带静止的煤粉质量),解：煤粉对A的作用力即单位时间内落下的煤粉给A的平均冲力。这个冲力大小等于煤粉单位时间内的动量改变量，方向与煤粉动量改变量的方向相反。,如何求煤粉动量的改变量？,设 时间内落下的煤粉质量为 则有,由动量定理,可得煤粉所受的平均冲力为,煤粉给传送带的平均冲力为,2-2-3 动量守恒定律,系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。,条件：,动量守恒定律：,说明：,动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍
9、的规律之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观物体。,（3） 若系统所受外力的矢量和0，但合外力在某个坐标轴上的分矢量为零，动量守恒可在某一方向上成立。 （4） 动量守恒定律在微观高速范围仍适用。 （5） 动量守恒定律只适用于惯性系。,（2）系统动量守恒的条件： 系统不受外力； 合外力=0； 内力外力。在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，内力外力，可略去外力。,（1）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个质点的动量不变，而是指系统动量总和不变。,例9 火箭以2.5103m/s的速率水平飞行，由控制器使火箭分离。头部仓m1=100kg，相对于火箭的平均速率为103 m/s 。火箭容器仓质
10、量m2=200 kg。求容器仓和头部仓相对于地面的速率。,解：,v= 2.5103 m/s,vr= 103 m/s,设：头部仓速率为v1，容器仓速率为v2,例10 宇宙飞船在宇宙尘埃中飞行，尘埃密度为。如果质量为mo的飞船以初速vo穿过尘埃，由于尘埃粘在飞船上，致使飞船速度发生变化。求飞船的速度与其在尘埃中飞行的时间的关系。（设飞船为横截面面积为S的圆柱体）,解：,某时刻飞船速度：v，质量：m,动量守恒：,质量增量：,2-3 角动量守恒定律,设：t时刻质点的位矢,质点的动量,运动质点相对于参考原点O的角动量定义为：,单位：kg m2s-1,2-3-1 质点的角动量,角动量大小：,角动量的方向：
11、 位矢 和动量 的矢积方向,如果质点绕参考点O 做圆周运动,角动量与所取的惯性系有关； 角动量与参考点O的位置有关。,注意：,质点对参考点的角动量在通过点的任意轴线上的投影，称为质点对轴线的角动量。,设各质点对O点的位矢分别为,动量分别为,质点系的角动量,2-3-2 力矩,质点的角动量 随时间的变化率为,1力对参考点的力矩,定义：外力 对参考点O的力矩：,力矩的方向由右手螺旋关系确定，垂直于 和确定的平面。,单位：,设作用于质点系的作用力分别为：,相对于参考点O的合力矩为：,2力对轴的矩,力 对轴的力矩：,力 对点的力矩 在过点的任一轴线上的投影。,力 对轴OA的力矩：,2-3-3 角动量定理
12、 角动量守恒定律,质点的角动量定理：,质点对某一参考点的角动量随时间的变化率等于质点所受的合外力对同一参考点的力矩。,角动量定理的积分式：,称为“冲量矩”,质点系角动量定理：,质点系对z 轴的角动量定理：,质点系角动量定理的积分式：,质点系对z 轴的角动量守恒定律：,系统所受外力对z 轴力矩的代数和等于零，则质点系对该轴的角动量守恒。,质点或质点系的角动量守恒定律：,当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始终为零时，质点系对该点的角动量保持不变。,证明开普勒第二定律：行星和太阳之间的连线在相等时间内扫过的椭圆面积相等 。,有心力作用下角动量守恒,证毕,证：,2-4 能量守恒定律,2-4-1 功
13、和功率,功是度量能量转换的基本物理量，它反映了力对空间的累积作用。,单位：焦耳（J ）,质点由a点沿曲线运动到b点的过程中，变力 所做的功 。,元功：,在直角坐标系Oxyz中,假设物体沿 x 轴运动，外力在该方向的分力所做的功可用右图中曲线下面的面积表示,总功：,示功图 (功的图示法),力 位移曲线下的面积表示力F所作的功的大小,合力的功：,结论：,合力对质点所做的功等于每个分力对质点做功之代数和。, 功是标量(代数量),注意：,当质点受几个力作用时，其合力的功为,例 设作用力的方向沿 Ox 轴，其大小与 x 的关系如图所示，物体在此作用力的作用下沿 Ox 轴运动。求物体从O 运动到 2m的过
14、程中，此作用力作的功 W,解：方法1 示功面积求解,方法2 由图写出作用力F与位移x的数值关系，积分求解,W=1J,功率是反映做功快慢程度的物理量。,功率：,单位时间内所做的功。,平均功率：,瞬时功率：,单位：W = Js-1,例11 设作用在质量为2kg的物体上的力F = 6t N。如果物体由静止出发沿直线运动，在头2 s内这力做了多少功？,解：,两边积分：,解：,例 一质点做圆周运动，有一力 作用于质点，在质点由原点至P(0，2R)点过程中，力 做的功 A = ？,2-4-2 动能和动能定理,动能：,质点因有速度而具有的对外做功本领。,单位：J,1质点动能定理,质点的动能定理：,合外力对质
15、点所做的功等于质点动能的增量。,注意： 动能是标量，是状态量v的单值函数，也是状态量； 功与动能的本质区别：它们的单位和量纲相同，但功是过程量，动能是状态量。 功是能量变化的量度； 动能定理由牛顿第二定律导出，只适用于惯性参考系，动能也与参考系有关。,2质点系的动能定理,内力做功可以改变系统的总动能。,值得注意：,例12 如图所示，用质量为m0 的铁锤把质量为m 的钉子敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入1cm深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完全相同，问第二次能把钉子敲入多深？,解：,设铁锤敲打钉子前的速度为v0，敲打后两者的共同速
16、度为v。,铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，设钉子所受阻力大小为：,由动能定理， 有：,设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为S ，则有,化简后,第二次能敲入的深度为：,2-4-3 保守力与非保守力 势能,（1）重力的功,初始位置,末了位置,重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb，与质点经过的具体路径无关。,（2） 万有引力做功,设质量为M的质点固定，另一质量为m的质点在M 的引力场中从a点运动到b点。,万有引力做功只与质点的始、末位置有关，而与具体路径无关。,（3）弹性力的功,由胡克定律：,弹性力做功只与弹簧的起始和末了位置有关，而与弹性变形的过程无关。,保守力沿任何闭合路径做功等于零。,保守力
17、：,做功与路径无关，只与始末位置有关的力。,物体沿闭合路径绕行一周，这些力所做的功恒为零，具有这种特性的力统称为保守力(conservative force)。没有这种特性的力，统称为非保守力(nonconservative force) 或耗散力(dissipative force) 。,保守力：重力、弹性力、万有引力、静电力 非保守力：摩擦力、爆炸力,保守力做的功与势能的关系：,物体在保守力场中a、b两点的势能Epa与 Epb之差，等于质点由a点移动到b点过程中保守力所做的功Wab。,保守力做功在数值上等于系统势能的减少。,势能,由物体的相对位置所确定的系统能量称为势能（Ep）,说明：,（
18、1）势能是一个系统的属性。,（3）势能的零点可以任意选取。,设空间rO点为势能的零点，则空间任意一点 r的势能为：,结论：,空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力做的功。,保守力功与势能的积分关系：,保守力功与势能的微分关系：,因为：,而：,所以：,保守力的矢量式：,保守力沿各坐标方向的分量，在数值上等于系统的势能沿相应方向的空间变化率的负值，其方向指向势能降低的方向。,结论：,保守力,重 力,势能(EP ),势能零点,势能曲线,质点mgh,h=0,h,Ep,O,r,Ep,弹力,引力,x=0,r,x,Ep,O,O,几种常见的势能和势能曲线,机械能,质点系机械能的增量等于
19、所有外力和所有非保守内力所做功的代数和。,质点系的功能原理,2-4-4 机械能守恒定律,当系统只有保守内力做功时，质点系的总机械能保持不变。,机械能守恒定律,注意：,（1）机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合于非惯性系。这是因为惯性力可能做功。,（2）在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机械能不一定守恒。这是因为外力的功与参考系的选择有关。对一个参考系外力功为零，但在另一参考系中外力功也许不为零。,例13 传送带沿斜面向上运行速度为v = 1m/s，设物料无初速地落到传送带下端的质量为m = 50 kg/s，并被输送到高度h = 5 m处，求配置的电动机所需功率。（忽略一切由于摩擦和碰撞
20、造成的能量损失）,解：,在t 时间内，质量为mt 的物料落到皮带上，并获得速度v 。,t内系统动能的增量：,重力做功：,电动机对系统做的功：,由动能定理：,例14 一长度为2l的匀质链条，平衡地悬挂在一光滑圆柱形木钉上。若从静止开始而滑动，求当链条离开木钉时的速率（木钉的直径可以忽略）,解：,设单位长度的质量为,始末两态的中心分别为C和C,机械能守恒：,解得,例15 计算第一、第二宇宙速度,1. 第一宇宙速度,已知：地球半径为R，质量为m0，卫星质量为m。要使卫星在距地面h高度绕地球作匀速圆周运动，求其发射速度。,解：,设发射速度为v1，绕地球的运动速度为v。,机械能守恒：,由万有引力定律和牛
21、顿定律：,解方程组，得：,代入上式，得：,2. 第二宇宙速度,宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度,（1）脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或至少 等于零。,由机械能守恒定律：,解得：,（2）脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。,2-4-5 碰撞,动量守恒,完全弹性碰撞：碰撞后物体系统的机械能没有损失。,非弹性碰撞：碰撞后物体系统的机械能有损失。,完全非弹性碰撞：碰撞后物体系统的机械能有损失，且碰撞后碰撞物体结合成一体，以同一速度运动。,1. 完全弹性碰撞,(1) 如果m1= m2 ，则v1 = v20 ，v2 = v10，即两物体在碰撞时速度发生了交换。,(2) 如果v20 =0 , 且 m2 m1, 则v1 = - v10, v2 = 0,2完全非弹性碰撞,由动量守恒定律,完全非弹性碰撞中动能的损失,牛顿的碰撞定律：在一维对心碰撞中，碰撞后两物体的分离速度 v2- v1 与碰撞前两物体的接近速度 v10- v20 成正比，比值由两物体的材料性质决定。,3非弹性碰撞,e 为恢复系数,e = 0，则v2 = v1，为完全非弹性碰撞。,e =1，则分离速度等于接近速度，为完全弹性碰撞。,一般非弹性碰撞：0 e 1,