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1、能量法I-静定结构变形计算,四、图形互乘法,二、卡氏第二定理,三、单位力法,能量法I-静定结构变形计算,一、杆件的应变能,在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简称应变能 (又称变形能)。,一、杆件的应变能,物体在外力作用下发生变形，物体的变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即, 杆件应变能计算,1、轴向拉伸和压缩,一般地,2、扭转,一般地,3、弯曲,一般地,纯弯曲：,横力弯曲时剪力影响：,一般地,对横力弯曲的梁，截面上弯矩和剪力，当高跨比较大（长梁）时，剪切变形能影响较小，可忽略不计，对短梁应考虑剪切变形的影响。,长梁应变能：,组合变
2、形应变能：,对于线弹性体，其应变能对某一荷载 的偏导数，等于该荷载的相应位移i。,用卡氏第二定理求结构某处的位移时，该处需要有与所求位移相应的荷载。 如需计算某处的位移，而该处并无与位移对应的荷载，则可采取附加力法。,二、卡氏第二定理,卡氏第二定理应用于计算梁的截面转角和挠度,计算梁截面转角,计算梁的截面挠度,例2图示平面折杆AB与BC垂直，在自由端C受集中力P作用。已知各段弯曲刚度均为EI,拉伸刚度为EA 。试用卡氏第二定理求截面C的水平位移和铅垂位移。,解：1.计算C处铅垂位移,任意截面弯矩方程,轴力方程为,2.计算C处水平位移,*三、单位力法,（单位载荷法）,对于梁,弯矩应用完全叠加法表
3、示,应用卡氏第二定理,应变能,对于梁,有莫尔积分,对应于去掉原结构中外力,只在i处加相应单位力后的弯矩方程,对应于原结构的弯矩方程。,计算梁截面转角时,加单位力偶矩1,计算梁截面挠度时,加单位集中力1,对于组合变形时,推广为,对于平面桁架,对应于去掉原结构中外力,只在i处加相应单位力后的弯矩方程,例3.已知悬臂梁长为l,弯曲刚度为EI , 受力大小为F ,计算自由端B处挠度和转角。,解：1.计算B处挠度,2.计算B处转角,( ),*四、图形互乘法,在应用莫尔积分求梁位移时，需计算下列形式的积分：,对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，故只需计算积分,直杆 图必定是直线或折线。,图中对
4、应于C下纵坐标,在平面刚架,组合结构时，用下列形式计算,注意: 分段必须为直线段,在取面积的图中找形心,另图找对应的纵坐标,M分段为直线段时,也可以,找纵坐标的图必须为直线段,顶点,顶点,二次抛物线,参考用图,例4.已知悬臂梁长为l,弯曲刚度为EI , 受分布力集度为q ,计算自由端B处转角。,解：1.画M图,2.画 图,(请同学画出),(请同学画出),3. 图乘,练习题,1.已知悬臂梁长为l,弯曲刚度为EI , 受力大小为F ,用图乘法计算自由端B处挠度和转角。,(),2.已知悬臂梁长弯曲刚度为EI , 受力如图 ,用图乘法计算自由端B处挠度和转角。,叠加法,3.已知悬臂梁长弯曲刚度为EI
5、, 受力如图 ,用卡氏第二定理计算自由端B处挠度时，有（ ）。,A.弯矩方程不分段。,B.弯矩方程分二段后，用卡氏第二定理，应变能要对 F 求导。,C.弯矩方程分二段写时，可令B处的力为 ，用卡氏第二定理，应变能要对 求导。,D.以上均错。,F,F,l,l,4.已知杆拉伸刚度为EA, 则应变能大小为（ ）。,A.,B.,C.,D.,5.已知杆拉伸刚度为EA , 应变能大小为 ,则,代表的意义为（ )。,6.已知杆件拉伸刚度为EA ,弯曲刚度为EI ,忽略剪切应变能，总应变能大小为（ ）。,F,F,l,7.已知杆件拉伸刚度为EA ,弯曲刚度为EI , 设自由端单独竖向力作用时位移为f，单独水平力作用时位移为v，忽略剪切对变形影响，总应变能大小为（ ）。,A.,B.,C.,D.以上均错误,7.已知梁弯曲刚度为EI ,m1=m2， 设自由端单独力偶作用时转角为2,中部单独力偶作用时，转角为1 ，则总应变能大小为（ ）。,A.,B.,C.0,D.以上均错误,8.已知杆拉伸刚度为EA, ，先作用 ，再作用 则 做的功大小为（ ）。,