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1、第6章 变分法与边值问题,通过求解一个相应的泛函的极小函数而得到偏微分方程边值问题的解，这种理论和方法通常叫作偏微分方程中的变分原理，简称变分方法。本章通过求解一类边值问题和特征值问题简单介绍该方法的理论及其应用。,第6章 变分法与边值问题,6.1 边值问题与算子方程 6.1.1 薄膜的横振动与最小位能原理 考虑张在平面有界区域 上的均匀薄膜在垂直于平面的外力作用下的 微小横振动，薄膜的边缘固定在 上。利用微元分析法可得薄膜的总位能为 其中，T 表示张力，F(x,y) 表示外力面密度，u(x,y) 表示薄膜在点 (x,y) 出垂直于平面方向的位移。 由于薄膜边缘固定, 故 可见, (6.1.1
2、) 是定义在容许函数类,上的泛函。,第6章 变分法与边值问题,类似于5.2.5小节中对Dirichlet原理的讨论，可知泛函 （6.1.1）的极小函数就是Poisson方程Dirichlet问题 的解；反之边值问题（6.1.2)的解 u 也是泛函(6.1.1)的极小函数,即 于是,我们可以用变分方法得到边值问题(6.1.2)的解.值得注意的是, 为了保证极小函数的存在性,有时必须将容许函数类扩大.此时我们得到的不一定是边值问题的古典解而是弱解.,第6章 变分法与边值问题,6.1.2 正算子与算子方程 我们称满足等式（Au,v)=(Av,u) 的算子 A 为对称算子。 设 A 是定义在 Hilb
3、ert 空间 H 的某一线性稠密子集 上的线性算子，若对 中的任意元素 u，有 且等号成立当且仅当 u=0, 则称 A 是正算子。,第6章 变分法与边值问题,应用 取 Hilbet 空间为,第6章 变分法与边值问题,可以验证，它们各自对应的算子是正算子。对应于以上三种问题算子 的定义域分别为,第6章 变分法与边值问题,6.1.3 正定算子 弱解存在性 设 A 是 上的线性算子，若存在常数 对任意 有 则称算子 A 是 上的正算子。 在 上引入新内积 由此内积诱导的新范数记为,第6章 变分法与边值问题,第6章 变分法与边值问题,第6章 变分法与边值问题,6.2 Laplace 算子的特征值问题 本节考虑如下的Laplace 算子特征值问题：,第6章 变分法与边值问题,6.2.1 特征值与特征函数的存在性,第6章 变分法与边值问题,第6章 变分法与边值问题,6.2.2 特征值与特征函数的性质,第6章 变分法与边值问题,