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1、第一章 直线和平面,三垂线定理,香山中学朱唯瑾,这是偶然的巧合，还是必然？,coscos=cos,A,a,O,P,PO a,？,已知 PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a ，aAO。 求证： aPO,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。,三垂线定理,证明：,aPO,PA a ,AOa,a平面PAO,PO平面PAO,PA a,三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。,例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA平面ABC ，AC BC， 求证： PC BC,证明： P
2、是平面ABC 外一点 PA平面ABC PC是平面ABC的斜线 AC是PC在平面ABC上的射影 BC平面ABC 且AC BC 由三垂线定理得 PC BC,例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：,(1) PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：POBD，PCBD,(3) 在正方体AC1中，求证：A1CB1D1，A1CBC1,(2) 已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BCAM,(1),(2),(3),(1) PA正方形ABCD所在平 面，O为对角线BD的中点， 求证：POBD，PCBD,证明:,ABCD为正方形 O为BD的中点, AOBD,又AO是PO在ABC
3、D上的射影,POBD,(2) 已知：PA平面PBC，PB=PC， M是BC的中点， 求证：BCAM,BCAM,证明:, PB=PC M是BC的中点,PM BC,PA平面PBC,PM是AM在平面PBC上的射影,(3) 在正方体AC1中， 求证：A1CBC1 ， A1CB1D1,在正方体AC1中 A1B1面BCC1B1且BC1 B1C B1C是A1C在面BCC1B1上的射影,证明：,同理可证， A1CB1D1,由三垂线定理知 A1CBC1,我们要学会从纷繁的已知条件中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件,解题回顾,，怎么找？,三垂线定理解题的关键：找三垂！,怎么找？,一找直线和平面垂直,二找平面的
4、斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直,注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件,解题回顾,三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：,相交直线,异面直线,使用三垂线定理还应注意些什么？,解题回顾,直线a 在一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。,例如：当 b 时， bOA,注意：如果将定理中 “在平面内”的条件 去掉，结论仍然成立 吗？,但 b不垂直于OP,解题回顾,面ABCD 面 直线A1C 斜线 a 直线B1B 垂线 b,面ABCD 面 面B1BCC1面 直线A1C 斜线 a 直线AB 垂线 b,面ABCD 面 直
5、线A1C 斜线 a 直线B1B 垂线 b,已知：PA，PO分别是平 面 的垂线和斜线，AO 是PO在平面 的射影， a , a AO， l 平行于 a 。 求证： l 垂直于PO,若a是平面的斜线,b,直线 b垂直 于a在平面内的射影，则 ab,三垂线定理包含几种垂直关系？,线射垂直,线面垂直, 线斜垂直,直 线 和 平面垂直,平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直,平面内的直线和平面的一条斜线垂直,线射垂直,线斜垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直,三垂线定理的逆定理,？,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和
6、这条斜线的射影垂直。,已知：PA，PO分 别是平面 的垂线和斜 线，AO是PO在平面 的射影,a ,a PO 求证：a AO,三垂线定理的逆定理,三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。,三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。,定 理,逆 定 理,例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等， 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。,已知：BAC在平面内，点P，PEAB，PFAC， PO ，垂足分别是E、F、O，PE=PF 求证：BAO=CAO,分析： 要证 BAO
7、=CAO 只须证OE=OF, OEAB,OFAC,P,?,?,?,证明：, PO ,OE、OF是PE、PF在内的射影, PE=PF, OE=OF,由OE是PE的射影且PEAB,OEAB,同理可得OFAC,结论成立,例4 在四面体ABCD中，已知ABCD，ACBD 求证：ADBC,DOBC，于是ADBC.,证明：作AO平面BCD于点O， 连接BO，CO，DO，则BO， CO，DO分别为AB，AC， AD在平面BCD上的射影。,O,ABCD，BOCD，,同理COBD，,于是O是BCD的垂心，,1. 在正方体AC1中，E、G分别是AA1和 CC1的中点， F在AB上，且C1EEF， 则EF与GD所成的角的大小为（ ） (A) 30 (B) 45 (C) 60(D) 90,D,M,EB1是EC1在平面AB1 内的射影,EB1 EF DGAMEB1 EF DG,练习与作业,2.已知 PA、PB、PC两两垂直， 求证：P在平面ABC内的射影是 ABC的垂心。,3.经过一个角的顶点引这个角 所在平面的斜线，如果斜线和 这个角两边的夹角相等，那么 斜线在平面上的射影是这个角 的平分线所在的直线。,4.在ABCDA1B1C1D1中， 求证：AC1平面BC1D,