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1、9.6 函数的幂级数展开式的应用,9.6.1 近似计算,两类问题:,1.给定项数,求近似值并估计精度;,2.给出精度,确定项数.,关健:,通过估计余项,确定精度或项数.,例1,解,余和:,例2. 计算,的近似值, 精确到,解:,例2. 计算,的近似值 ,使准确到,解: 已知,故,令,得,于是有,求 ln2 计算量大,在上述展开式中取前四项,说明: 在展开式,中,令,得,具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如,( n为自然数) ,例3. 利用,求,误差.,解: 先把角度化为弧度,(弧度),的近似值 , 并估计,二、计算定积分,解法,逐项积分,展开成幂级数,定积分的近似值,被积函数,第四项,取
2、前三项作为积分的近似值,得,例,解,收敛的交错级数,( 取,例4. 计算积分,的近似值, 精确到,解:,则 n 应满足,则所求积分近似值为,欲使截断误差,三、欧拉公式：,揭示了三角函数和复变量指数函数之间的一种关系.,9.6.2 欧拉(Euler)公式,则称 收敛 , 且其和为,绝对收敛,收敛 .,若,收敛,若,对复数项级数,绝对收敛,则称 绝对收敛.,由于, 故知,欧拉,定义: 复变量,的指数函数为,易证它在整个复平面上绝对收敛 .,当 y = 0 时, 它与实指数函数,当 x = 0 时,的幂级数展式一致.,（欧拉公式）,（也称欧拉公式）,利用欧拉公式可得复数的指数形式,则,据此可得,(德莫弗公式),利用幂级数的乘法, 不难验证,特别有,第六节,第七节,欧拉 (1707 1783),瑞士数学家.,他写了大量数学经典,著作,如无穷小分析引论 , 微,还,写了大量力学, 几何学, 变分法教材.,他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文.,他的最大贡献是扩展了微积分的领域,要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和,发展奠定了基础.,分学原理 , 积分学原理等,为分析学的重,在数学的许多分支中都有以他的名,字命名的重要常数, 公式和定理.,