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1、第二节 数列的极限,一、 数列极限的定义,二、 收敛数列的性质,返回,一、数列极限的定义,割圆术：,概念的引入,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,数列的概念,数列中的每一个数叫做数列的项，第n项 叫做数列的 一般项.,例如,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,通过观察:,数列的极限,注意：,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,1.具有任意给定性，它是描述 与 的无限接近程度.,2. N 与有关，且不唯一.,几何解释:,当 时,所有的点 都落在开区间 ,只有有限个(至多只有N个)落在这区间以外.,证,即,例2 已知 , 证明数列
2、的极限是0.,证:,不等式 必定成立.,即,取自然对数,得,即,返回,二、 收敛数列的性质,定理1(极限的唯一性) 如果数列 收敛,那么它的极限唯一.,故收敛数列极限唯一.,取,但由(2)式有,由(3)式有,这是不可能的.,设,因此这数列发散.,有界性,例如,数列,有界,无界,数列,定理2(收敛数列的有界性) 如果数列 收敛,那么 数列 一定有界.,证,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,于是, 当 时,取,故数列 是有界的.,证 就 的情形证明.,从而,推论 如果数列 从某项起有 (或 ), 且 ,那么 (或 ).,证 设数列 从第 项起,即当 时有 .,所以,子数列的收敛性,注意：,例如，,所谓子数列是指：数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列xn中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列xn的子数列（或子列）.,在子数列 中，一般项 是第 项，而 在原数列 中却是第 项，显然，,定理4(收敛数列与子数列间的关系） 如果数列xn收敛于a，那末它任一子数列也收敛,且极限也是a.,证毕,证 设数列 是数列 的任一子数列.,使 时, 恒有 .,故数列 发散.,证：因为当 时,证明数列 是发散的.,返回,