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1、第五章 群论在量子力学中的应用 5.1 矩阵元的计算,矩阵元定理1（即维格纳一埃伽定理）：属于两个不同的不可约不等价表示的任意两个基函数，或属于同一不可约表示的不同列的两个基函数相互正交。属于同一不可约么正表示同一行的基函数间的内积与行数无关。 属于 的基为 属于 的基为 上面定理意为： （*） 其中 ，与 和 无关。,= Cjjj,显然， Cj与无关。如归一， Cj1。,对于哈密顿算符的矩阵元，据PR的么正和H的对易性，有： 两边对R求和: 左边,右边 其中 ，它是与无关的常数。 （*）,矩阵元定理2：对于不等价的不可约表示或同一个不可约表示的不同列的函数，哈密顿矩阵元为零，而对于同一个表示
2、的相同列的矩阵元都有相同的值。 （*）和（*）两式被称为矩阵元定理。,（*）,（*）,5.2 能量本征值和本征函数的近似计算,设在S、E （） 中待求的函数 可按已知的完整本征函数系列 展开： （） 代入（），并将方程的两边与 构成内积得： （） 这是对于未知数 的线性齐次代数方程组。 其解存在的条件是： （久期方程）,这样，久期方程为： 据上节中的矩阵元定理：除了 同时 以外，上式中其余的矩阵元均为零。 久期方程为： 其中 是矩阵元，其值：,以上讨论中，已假定了对于不同的j，其表示只有一个。实际中，还可能有这样的情况：即有1个D(1)，2个D(2)， j个D(j) 个D() ，这时按上面同样
3、讨论可得久期方程为准对角的行列式方程，其对角元素有些还是矩阵，尽管如此，它的维数要大大小于原久期方程的维数，从而也大大简化了计算，详细计算这里不作讨论。,1,2,m1维,m2维,5.3 微扰引起的对称性的降低,设在体系原哈密顿H0上加上一微扰H 则系统哈密顿为： 设群G是H0的对称群 群G是H的对称群 虽说G的每个变换都将保持H0不变，但一般G的每个变换并不都能保持H不变。 因此， G通常是G的子群。,例：均匀电场 加到氢原子上。 即：氢原子的斯塔克效应 则G（球对称） （轴对称） 的加入将引起电子能量中某些简并能级的劈裂，从而引起谱线的分裂。,根据G和 的不可约表示之间的关系可以预言简并能级
4、的分裂: 是G的子群 相应未被微扰的能级 的不可约表示 一般是 的可约表示即： 其中 是 的不可约表示，共有r个,对称性降低的作用是将对应表示 的能级劈裂成子能级，子能级的简并重数由 的不可约表示的维数确定。 注意：群论只能预言谱线的分裂，但分裂的具体大小，还要靠详细计算。,通常，对应这r个不可约表示的 的本征值，即对应的能量是不同的。,例：设有量子系统，未微扰前的哈密顿 具有O群（八面体群）的对称性：,八面体群，它包括立方体的24个对称转动。 24个元素可分成5个类： 因此它具有5个不可约表示 据Burnside定理 唯一的解为 因此，该群的不可约表示为： 二个一维表示 一个二维表示 二个三
5、维表示,据正交定理得O群的特征标表： 现给体系施加以对称性为点群 的场 时，三重简并 即要分裂。 设 轴和O群的一个 重合，则O群的元素E，2 ，3 构成 ,表示 是这个子群的可约表示。,下表给出了 的不可约表示的特征标，同时也把O群中相应 元素的 的特征标例于表中： 作为 一个可约表示的分解。 这说明：三重简并能级 在 的对称场作用下劈裂成非简并能级 和二重简并能级 。 但是，在这里我不能给出劈裂值的大小和能级高低的次序，因此，对称性预言能级是否劈裂和简并的部分消除或全部消除。,5.5 系统对称性和能级简并度,定义：如果能级E对应的对称群G的表示是不可约表示，则此能级的简并称为正则简并；若对
6、应可约表示，则称偶然简并。 定理：（维格纳-埃伽定理） 属么正的线性变换群PG的两个不等价不可约么正表示的函数互相正交，属同一不可约么正表示不同行的函数也互相正交，属同一不可约么正表示同一行的函数间的内积与行数无关。,证明： 设 和分属不可约么正表示 行和 行： 则： 令 则 由Sohur引理知： 其中常C是约化矩阵元，它与下标无关。,PR么正,R=单位元,讨论： 先假定偶然简并对应的可约表示中包含的不可约表示互不等价。 设体系的哈密顿量为： 其中原始哈密顿量为 ，微扰相互作 和 有相同的对称性，称为对称微扰： 本征函数已按以前方法组合成属确定不可约表示 确定行的函数 ：,经 作用， 具有相同
7、变换性质： 能量一级微扰由 在 本征函数中的矩阵元决定。 对正则简并，据维格纳埃伽定理； 能量修正 与无关，故能级发生平移但不分裂，即对称微扰不能解除正则简并。,事实上，这是一个非微扰的结论：对称性保证了正则简并的能级不会分裂，这可理解如下： 设总哈密顿 ，当由零到一连续变化时，H的本征函数也由 的本征函数 出发进行连续变化，由于变化过程中对称性始终保持不变，由维格纳埃伽定理：在变化过程中H本征函数始终属于同一不可约表示同一行，而架设该表示空间的所有函数都是H同一能级的本征函数，即正则简并能级不会分裂。 对偶然简并，属同一不可约表示各行的函数，能级移动相同，能级不会分裂。但属于两个不可约表示的
8、函数，能级移动一般不相等，于是能级分裂了。,在对称微扰作用下，偶然简并的能级可以分裂，但最多分裂到正则简并，而且用对称群不可约表示标记的原始波函数是好的零级波函数。若偶然简并对应的表示约化时出现两个相同的不可约表示，则原始波函数中出现两组属同一不可约表示的函数，它们的任意组合仍属同一不可约表示，此时 在这两组波函数间的矩阵未必对角化，尽管如此，维格纳埃伽定理说：可以任意选取确定的，计算22矩阵 （ 属两组属同一不可约表示的函数） 把此矩阵对角化即可得到好的零级波函数和能量一级微扰，与不应用对称性选择零级波函数的一般方法相比，计算量大大减少了。,如果 的对称群 是 对称群G的子群，即使 的能级关于G是正则简并，关于 仍可能是偶然简并。用 代替G，前面的讨论对现在情况仍适用，在 微扰的作用下，能级最多分裂到关于 的正则简并。 一般说来，如果G包括了H的全部对称变换，能级只能是正则简并。偶然简并与尚有但还未发现的H的对称性有关。,