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1、目录（集合论）,第六章 集合（4学时） 第七章 关系（7学时） 第八章 函数与集合的势（5学时）,康托集合论公理集合论,德国数学家康托 (G. Cantor) 朴素集合论: 十九世纪七十年代 悖论 公理集合论: 在二十世纪初,数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现。 可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。,康托 Georg Cantor，18451918,1845年3月3日生于彼得堡。 1856年全家迁居法兰克福。 先后就学于苏黎世大学、哥廷根大学、法兰克福大学和柏林大学，主要学习哲学、数学和物理。,在柏林大学，他受到著名分析学家魏尔斯特拉斯的影响，对纯粹数学产生了兴趣
2、。1867年，他以求不定方程ax2+by2+cz2= 0的整数解（其中，a、b、c为任意整数）的博士论文获哲学博士学位。,理发师难题,西班牙的塞维利亚有一个理发师，这位理发师有一条极为特殊的规定：他只给那些“不给自己刮胡子”的人刮胡子。,罗素（Bertrand Arthur William Russell，1872-1970）,著名的英国数学家、逻辑学家。 1890年剑挢大学学习数学和哲学。 1901年开始与怀特海(Whitehead)合作，经过10年的奋战，写成3卷本巨著数学原理。,罗素还是2l世纪最有影响的哲学家之一。 1920年应邀来中国讲学一年。1950年获诺贝尔文学奖。1964年创设
3、罗素和平基金会。,ZF公理系统,数学家们创造了公理化集合论，明确提出形成集合的原则，且规定只能按照这些确定的原则形成集合，以避免已知的一些集合论的悖论。 最著名的一个系统是由蔡梅罗 1908年提出，后经弗兰克尔 (Abraham A. Fraenkel) 等人改进而建立的。人们称之为ZF系统。,罗素悖论与第三次数学危机,“数学大厦的基石”竟然出现了明显的“裂缝”，那么人类耗费数千年心血建立起来的“数学殿堂”，会不会倒塌呢？一时间，数学界众说纷纭，这就是数学史上著名的“第三次数学危机”。 “裱糊匠”: 希尔伯特 蔡梅罗(Ernst Zermelo): 找到摆脱困境的方法,第二次数学危机: 关于微
4、积分,在牛顿和莱布尼茨发现了微积分的年代里,老是有那么几个敌对分子跟他们作对,其中有一位爱尔兰的大主教贝克莱就讥讽牛顿的“一刹那”是“已死量的幽灵”。 还有一位意大利的数学教授格兰蒂把 1/2=1-1+1-1+.=(1-1)+(1-1)+.=0 这样的式子看作是“从虚无创造万有“等等不一而足.,第一次数学危机: 发现了“无理数”,毕达格拉斯的一个弟子发现边长为1的正方形的对角线是不能用任何比例来表示的。 对于毕氏学派来说, 这是天大的罪过,结果被扔进海里喂了鲨鱼。,第六章 集合,6.1 集合的基本概念 6.2 集合的基本运算 6.3 全集和集合的补 6.4 自然数与自然数集 6.5 包含与排斥
5、原理,6.1 集合的基本概念,集合是最基本的数学概念之一，由于它太基本了，所以不能用更基本的概念来定义它。 集合是不能精确定义的数学概念。但是，这并不影响我们去理解它和掌握它。,每一个人都知道许多集合,逻辑值T, F可以组成一个集合, 记为T, F , 真值集。 数0，1可以组成一个集合, 记为0,1 , 真值集。 数0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 可以组成一个集合, 阿拉伯数字集。 数0，1, 3, 4可以组成一个集合。 二十六个英文字母可以组成一个集合, 英文字母集,例如：,常用的集合,N代表自然数集, 0,1,2, I 代表整数集, , -2, -1, 0, 1
6、, 2, Q代表有理数集 R代表实数集 R+=xxR, x0是表示非负的实数集 R2=(x,y) x,y R是XOY坐标平面上点的集合。,集合、元素,集合：某些确定的、能够区分的对象的聚合。 元素：组成一个集合的那些对象称为这一集合的元素和成员。,通常用大写字母代表集合，用小写英文字母代表集合的元素。,aA、 aA,如果 a是集合A 的一个元素，就叫做 a属于集合A，这时记为 aA 。 如果 a不是集合A中的一个元素，就叫做a不属于A ，这时记为aA 。,对于任给的一个对象a和任给的一个集合A， 或者a属于A，或者 a不属于A， 二者必居其一，不可得兼。,集合的两种表示,(1) 列举出这个集合
7、中的所有元素。 A=a,b,c B=1,3,5,(2) 利用元素所具有的性质来表示。 D=xR x2-3x+2=0 E=x x是南京理工大学学生 ,一般地 ，S=aa具有性质 表示 a S当且仅当 a具有性质 。,罗素(B. Russell)悖论,S=AA是不以自身为元素的集合, 即AA S是集合吗？,如果我们假定S是集合，那么 S是自己的元素， S不是自己的元素， 二者居其一且只居其一。 容易说明我们假定S是集合是错误的。,如果SS，则与性质矛盾； 如果SS，则S满足性质，矛盾。,子集,定义1：A,B是二个集合， 对于任意的x ，若xA ，则 xB， 我们说集合A是集合B的子集， 也说集合B
8、包含集合A， 记为AB 。,若A不是B的子集, 记为AB。 也说B不包含A 。,例,1，2 1，2，3 1，3 1，3，2，4 1 1，2 1 1，2 1 1，2,例,是否存在这样两个集合， 其中一个既是另一个的子集， 又是它的元素？,1 1， 1 ,1 1， 1 ,空集,设K是一个集合， K=xRx2+1=0 。 我们都知道集合 K中什么元素也没有。 这样没有一个元素的集合称为空集。 我们用来表示空集合。,命题1 (p63) A是任意集合， 是空集，则 AA A,证明： 对于任意的x，若xA, 则显然有xA ，所以AA. 用反证法： 若 不包含于A，则存在x，x ，但 xA。显然这与是空集矛
9、盾。故A 。,定义2 (p63),A, B是两个集合， 若AB，且BA, 则说A与B是相等的两个集合，记为A=B 。,若AB且AB ， 说A是B 的真子集，记为AB 。,命题2：空集是唯一的。,证明：设 1，2 是两个空集合。 由命题1， 12 且 21 故 1 = 2,集合的特点,仅考虑集合所包含的不同的元素，也就是说集合中元素重复出现没有意义。 例如： a,a,b,c,c, a,b,c 是相等的两个集合。,集合的特点,集合中的元素没有任何方式的顺序。 例如： a,b,c c,a,b 是相等的两个集合。,集合的特点,对集合中的元素没有任何的限制，也就是一个集合中的元素之间彼此独立，可以毫不相干；一个集合也可以是另一个集合的元素。 例如： a, 2, 华盛顿, 中国人 a, a, 都是两个确定的集合。,