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1、2019/4/15,1,作业,18. 20.,复习 P220245,P236 习题 8.2,P241 习题 8.3,3. 5. 6. 7. 12. 16.,第二十三讲 常微分方程（三）,二、常微分方程应用举例,一、可降阶微分方程,2019/4/15,3,逐次积分,一、 高阶可降阶微分方程,积分一次,再积分一次,2019/4/15,4,变量替换,原方程变形成为,一阶,2019/4/15,5,特点是：不显含 y,解,积分,得通解,2019/4/15,6,解2,注意到方程的特殊性,积分,得通解,2019/4/15,7,一阶,变量替换,原方程变形成为,2019/4/15,8,特点是：不显含 x,解,方
2、程化为,分离变量,积分,2019/4/15,9,分离变量解得,2019/4/15,10,列方程的常用方法,(1) 利用物理定律列方程,(2) 利用导数的几何意义列方程,(3) 利用微元分析法列方程,二、常微分方程应用举例,2019/4/15,11,解,取时间t为自变量，物体的温度T(t)为未知函数.,由牛顿冷却定律知,初始条件,2019/4/15,12,另外还有一个条件:,可用来确定比例常数k,分离变量，得,两边积分，得,代入上式，得,代入，得,2019/4/15,13,将 T=30 代入，解出,即，还需再经过,物体的温度即可降为,2019/4/15,14,例2 已知曲线上任一点P(x, y)
3、处的切线在 x轴上的截距等于点P的横坐标的一半, 且过定点(2, 1), 求此曲线的方程 .,解,2019/4/15,15,由题意得,又已知曲线过点 (2, 1), 于是得到定解问题,分离变量求得通解,2019/4/15,16,例3 试设计一反光镜, 使它能将点光源发 出的光反射成为平行光,解,点光原位于坐标原点O,由点O发出的光线经反射都成为平行于x轴的平行光,由光的反射定律,2019/4/15,17,于是有,根据导数的几何意义,得到微分方程,一阶齐次,变形为,2019/4/15,18,分离变量,代入(1)式，得,2019/4/15,19,积分，得,取指数,2019/4/15,20,2019
4、/4/15,21,解,列方程，确定初始条件,已知，在任何一段时间内,容器内含盐改变量=流进盐量流出盐量,若溶液的浓度不变，则,流出盐量=浓度流出的溶液量,问题中，溶液的浓度始终在变，如何解决?,考虑微小时间间隔 dt 内的变化情况,设时刻 t 时溶液的含盐量为,2019/4/15,22,当时间从 t 变到 t+dt 时，容器内的含盐量由 Q 变到 Q+dQ，因而容器内含盐改变量为 dQ,从容器内流出的溶液量为 2dt,在时间 dt 内盐水的浓度近似看作不变，看作是 t 时刻的盐水浓度,所以流出的盐量为,2019/4/15,23,于是有,初始条件,分离变量,通解,特解,28,2019/4/15,
5、24,解,此问题涉及水面高度 随时间的变化规律,根据水利学定律，流出速度,2019/4/15,25,考虑任意时刻 t ，任取时间区间t , t+dt 在 dt 时间内，水面高度的改变为 dh,取时间 t 为自变量，水面高度 h(t) 为未 知函数，并取坐标系如图,漏斗内水的体积改变量为,2019/4/15,26,下落水的体积 = 流出水的体积,于是列出微分方程,初始条件,另方面,时间 dt 内从小孔流出水的体积等于以 S 为底，以 (vdt) 为高的小圆柱体积,2019/4/15,27,经整理得,解得,当水流完时，h = 0,2019/4/15,28,正交轨线问题,2019/4/15,29,思路：,2019/4/15,30,2019/4/15,31,这就是正交曲线族！,通解,2019/4/15,32,39,2019/4/15,33,解,2019/4/15,34,2019/4/15,35,解,2019/4/15,36,通解,