第5章频域分析法ppt课件.ppt

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1、自动控制原理 第5章频域分析法,专业基础课之一,邓晓刚 信息与控制工程学院自动化系,第5章 频域分析法,5-1 频率特性的基本概念 5-2 典型环节的频率特性 5-3 开环幅相频率特性分析 5-4 奈奎斯特判据 5-5 稳定裕度 5-6 闭环系统频率特性分析,研究背景 时域分析t、复域分析s、频域分析w 频域分析法 应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法 控制系统中的信号可表示为不同频率正弦信号的合成 不同频率正弦信号的响应反映了系统性能，根据频率特性分析系统的性能,特点 (1)具有明确的物理意义，可以用实验方法获得，对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义 (2

2、)由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。 (3)频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。,5-1 频率特性的基本概念,一、频率特性的定义,1、频率响应: 线性系统对正弦输入信号的稳态响应,例：RC电路如图所示，,施加正弦输入,则输出,施加正弦输入,传递函数,输出,假设初始状态为零，由拉氏反变换求方程的解,指数衰减项,稳定的正弦输出:频率响应,7,线性系统的频率响应：,一个稳定的线性定常系统，如果对其输入一个正弦信号，系统的稳态输出(稳态响应)也是同一频率的正弦信号，只是在幅值和相位上

3、发生了变化。,8,(1)输入为,相对输入，输出有相位差，幅度不同,9,(2)输入为,输出有相位差，峰值衰减，输入峰值不变,10,(3)输入为,输出有相位差，初始段峰值衰减，之后峰值稳定,2. 频率特性,输入：,稳态输出：,频率特性：线性定常系统在正弦输入作用下，输出的稳态分量与输入的复数比。,幅频特性,相频特性,频率特性表达式：,幅频特性； 相频特性,-实频特性； -虚频特性,复数式：,极坐标式：,指数式：,各表达式之间的关系：,频率特性本质上就是一种数学模型， 那么它与时域和复域数学模型之间什么关系呢？,二、频率特性与传递函数的关系,频率特性与传递函数的关系为：,幅频特性,相频特性,aG(j

4、w)的相角,aG(jw)的幅值,线性系统,微分方程,频率特性,传递函数,S=p,jw=s,jw=p,时域、复域和频域数学模型之间的关系,三 频率特性的几种图示方法,1、幅相频率特性曲线奈奎斯特（Nyquist）曲线，或极坐标图 2、对数频率特性曲线伯德（Bode）图 3、对数幅相特性曲线尼柯尔斯（Nichols）曲线,1、幅相频率特性曲线（Nyquist曲线）,时， 在复平面上的运动轨迹,简称幅相曲线或极坐标图,幅频特性、实频特性为的偶函数 相频特性、虚频特性为的奇函数,幅相曲线关于实轴对称 一般只做 时的变化曲线,例：绘制RC电路的幅相频率特性曲线,幅频特性,相频特性,2、对数频率特性曲线,

5、伯德（Bode）曲线,坐标系：半对数坐标系,横坐标按的对数 线性分度，标以,十倍频或十倍频程，用符号dec表示,均匀分度，单位分贝， 符号dB,纵坐标 以度或弧度为单位进行线性分度,纵坐标,对数幅频特性曲线,横坐标按照,的对数,进行线性刻度；,对数相频特性曲线,3、对数幅相特性曲线,尼柯尔斯（Nichols）曲线,L(w) dB,f(w),将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成一条曲线。 横坐标为相角特性，单位度或弧度。 纵坐标为对数幅频特性，单位分贝。,常用频率特性曲线比较,比例环节,延迟环节,微分环节,一阶微分环节,二阶微分环节,惯性环节,振荡环节,积分环节,5-2 典型环节的频率特性,一

6、、比例环节,传递函数：,频率特性：,1、幅相频率特性,2、对数频率特性,二、积分环节,传递函数：,频率特性：,1、幅相频率特性,2、对数频率特性,三、微分环节,传递函数：,频率特性：,1、幅相频率特性,2、对数频率特性,四、惯性环节,传递函数：,频率特性：,1、幅相频率特性,惯性环节的极坐标图是一个半圆，证明如下：,2、对数频率特性,采用分段直线（渐近线）近似：,低频渐近线,高频渐近线,最大误差：,最大误差,一阶因子的频率响应曲线以渐近线表示时 引起的对数幅值误差,五、一阶微分环节,传递函数：,频率特性：,1、幅相频率特性,2、对数频率特性,低频渐近线 ：,高频渐近线：,六、振荡环节,传递函数

7、：,频率特性：,1、幅相频率特性,谐振峰值：,值较小时幅频特性的极大值。,令,得：,谐振频率,谐振峰值,0,ReG(j),ImG(j),1,A,B,振荡环节,2、对数频率特性,低频段,高频段,振荡环节,wn,wr,(0z 0.707),-40,j (wn)= - 90o,2,n,n,2,2,n,S,2,S,(s),G,w,+,zw,+,w,=,38,七 二阶微分环节,二阶微分环节,例如，二阶振荡环节的倒数环节是,互为倒数的环节,互为倒数的两个环节，对数相频和对数幅频特性相反,二阶微分幅频,二阶振荡幅频,二阶微分相频,二阶振荡相频,八、延迟环节,传递函数：,频率特性：,1、幅相频率特性,2、对数

8、频率特性,5-3 系统的开环频率特性,、系统开环幅相频率特性的绘制,开环传递函数：,开环频率特性：,绘制思路：,4）确定趋势和象限,绘制步骤：,1）确定起始点: =0+处的点,2）确定终点 ： =处的点,3）确定与实轴或虚轴的交点 实轴交点：令Q()=0 求得相应x，再求P(x) 或令 求得相应x，再求A(x) 虚轴交点：令P()=0 求得相应y，再求Q(y) 或令 求得相应y，再求A(y),【例1】0型系统的开环传递函数为,绘制系统的开环幅相频率特性。,解：,频率特性,起点,终点,与虚轴交点：,令,得：,或者令P(w)=0, 求w 及Q(w),趋势和象限:,时,三四象限,【例2】型系统开环传

9、递函数为,绘制系统的开环幅相频率特性。,解：,开环频率特性,幅频特性,相频特性,起点,渐近线计算：,终点,与负实轴的交点：,令,得：,趋势与象限： -90o, -270o 第IIIII象限,总结：开环频率特性,起点,终点,二. 系统开环对数频率特性,系统幅频特性是各环节幅频特性的叠加,系统相频特性是各环节相频特性的叠加,幅频特性,相频特性,【例3】试绘制系统开环传递函数,的Bode图。,比例环节：,惯性环节：,解：,绘制开环对数幅频特性曲线步骤：,（1）将开环频率特性写成典型环节乘积的形式：,并确定开环放大系数,、系统的无差度,和各个转折频率：,将各个转折频率从小到大标注在频率轴上。,（2）绘

10、制对数幅频特性的低频渐近线,斜率：,（3）从低频渐近线开始，沿着,增大的方向，每遇到一个,转折频率，改变一次分段直线的斜率：,当遇到一阶微分,时，斜率变化量为,当遇到二阶微分,时，斜率变化量为,当遇到惯性环节,时，斜率变化量为,当遇到振荡环节,时，斜率变化量为,依次得到的分段直线即为系统的近似对数幅频特性曲线。,高频渐近线斜率：,截止频率：,和,的交点频率,【例4】绘制如下开环传函的幅频曲线,转折频率：0.5 2 30 斜率增量：-20 +20 -20,（2）低频段：,解： （1）开环放大系数 K40，系统型别v1，,低频段渐进线：,（3）从低频渐近线开始，每遇到一个转折频率，改变 一次分段直

11、线的斜率,0.1,0.5,1,2,10,30,100,0db,20db,40db,-20db,-40db,L(),-20,-40,-20,-40,L()曲线,52db,38db,【例5】设开环频率特性为,试绘制其近似的对数幅频特性曲线。,解：（1）转折频率：,（2）低频渐近线：,（3）绘制近似的对数幅频特性曲线,截止频率的计算：,令,得：,【例6】已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示，试确定系统的传递函数，并写出系统的相频特性表达式。,解: (1)由于低频段斜率为-20dB/dec所以有一个积分环节； (2) 在w=1处，L(w)=15dB， 所以20lgK=15，K=5.6 (3) 在w=

12、2处，斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec，故有惯性环节1/(s/2+1) (4) 在w=7处，斜率由-40dB/dec变为-20dB/dec，故有一阶微分环节(s/7+1),三、最小相位系统、非最小相位系统和开环不稳定系统,最小相位系统：,非最小相位系统：,有一个或多个零点位于复平面的右半平面,开环不稳定系统：,有一个或多个极点位于复平面的右半平面,所有开环零极点都位于复平面的左半平面,所有开环极点都位于复平面的左半平面,或系统具有延迟环节,例：,例,ReG,ImG,10,1,20,-90,在具有相同幅频特性的系统中，最小相位传递函数（系统）的相角范围，在所有这类系统中是最小的。

13、任何非最小相位传递函数的相角范围，都大于最小相位传递函数的相角范围,最小相位系统，幅值特性和相角特性之间具有唯一的对应关系；而对于非最小相位系统不成立，因为不同的非最小相位系统具有相同的幅频特性。,结论： 仅由幅频特性曲线不能确定非最小相位系统的传递函数，但可以确定最小相位系统的传递函数,另一种定义方式(不常用）,最小相位系统：,非最小相位系统：,有一个或多个零点或极点位于复平面的右半平面,所有开环零极点都位于复平面的左半平面,或系统具有延迟环节,包含了开环不稳定系统，但不能保证最小相位系统具有最小相角范围的含义！,w,L(w) dB,52,0.002,0.02,0.2,1.0,wc,0,-2

14、0,-20,-40,-40,-60,已知最小相位系统的开环对数幅频特性曲线渐进线 求系统的开环传递函数及截止频率wc,1932年，奈奎斯特（Nyquist）提出了频域稳定判据奈奎斯特稳定判据。,奈氏判据的本质： 由开环系统频率特性判别闭环系统的稳定性,（1）闭环系统特征式,奈奎斯特稳定判据将开环频率响应 与,（2）右半s平面内的零点数和极点数,联系起来,5-4 奈奎斯特稳定判据,一、奈奎斯特稳定判据的数学基础,1、幅角原理,可以证明，对于 s 平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在 F(s) 平面上必存在一条封闭象曲线与之对应。,F(s) 平面上的原点被封闭象曲线包围的次数和方向，在

15、下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围的次数和方向与系统的稳定性联系起来。,复变函数,0,0,如果S平面封闭曲线只包围一个零点，F(s) 轨迹将顺时针包围原点一次,如果S平面封闭曲线既不包围零点又不包围极点， F(s) 轨迹将不包围原点,幅角原理： 设s平面闭合曲线G包围F(s)的Z个零点 和P个极点，则s沿G 顺时针运动一周时,在F(s) 平面 上， F(s)的闭合曲线GF 逆时针包围原点的圈数为 R = P Z R 0 : 逆时针包围F(s)平面坐标原点的圈数 R 0 : 顺时针包围F(s)平面坐标原点的圈数 R = 0 : 不包围F(s)平面坐标原点,G包围零点个数,G包围极点个数,

16、GF包围原点圈数,2、复变函数F(s)的选择,我们的目的是为了研究系统的稳定性，希望通过F(s)建 立系统的闭环极点与开环极点的关系，进而判断系统的 稳定性。,两者的极点相同,F(s)的极点-系统的开环极点,F(s)的零点-系统的闭环极点,开环传递函数,如果在s平面选择闭合曲线包围整个右半平面 由幅角原理： R = P Z,F(s) 的零点个数 （在s右半平面的）,F(s) 的极点个数 （在s右半平面的）,F包围原点圈数,系统的开环极点 （在s右半平面的）,系统的闭环极点 （在s右半平面的）,F(s)曲线对F(s)平面坐标原点的包围圈数 H(s)G(s)曲线对H(s)G(s)平面(-1,j0)

17、点的包围圈数。,关键：1.闭合曲线如何选取？ 2. 对应的H(s)G(s)曲线？,关系到系统稳定性,3、s平面闭合曲线G 的选取,选取闭合曲线G 包围整个右半s平面。,Nyquist围线,（1） G(s)H(s)无虚轴极点,半径无穷大，角度为 的圆弧,（2） G(s)H(s)有虚轴极点,半径无穷大，角度为 的圆弧,二、奈奎斯特稳定判据,负反馈系统稳定的充分必要条件是：系统开环传递函数G(s)H(s)对应的闭合曲线GH逆时针绕(-1,j0)点的圈数R与G(s)H(s)在右半平面极点的个数P相同。,即：系统在右半s闭环极点个数 Z = P R = 0,由于G(s)H(s)曲线的对称性，因此可以用系

18、统的开环频率 特性曲线G(jw)H(jw)对(-1,j0)的包围情况来判断。 R=2N,N：开环频率特性曲线G(jw)H(jw)对(-1,j0)的逆时针包围圈数,【例1】 设闭环系统的开环传递函数 判断系统稳定性(K,T1,T2均大于0）,解,在右半s平面内无极点， P=0,的轨迹不包围 ，R=0,所以Z=P-R=0， 对于任何K值， 该系统都是稳定的。,也可用G(jw)H(jw)曲线对(-, -1)实轴段的穿越计算N,N = N+ - N-,对照图如下：,稳定的充要条件： 系统在右半s闭环极点个数 Z = P 2N = 0,负穿越(-1,j0)左侧负实轴次数（从下向上）,GH逆时针包围(-1

19、,j0) 的圈数,正穿越(-1,j0)左侧负实轴次数（从上向下）,79,图A： N+=0, N-=1 R=2(N+-N-)=2(0-1)=-2,图B： N+=0, N-=0 R=2(N+-N-)=2(0-0)=0,80,图C： N+=1, N-=1 R=2(N+-N-)=2(1-1)=0,图D： N+=1/2, N-=1 R=2(N+-N-)=2(1/2-1)=-1,截止于(-1,j0)左侧算半次穿越,【例2】 设系统具有下列开环传递函数：,试确定以下两种情况下,系统的稳定性：增益K较小增益K较大。,小K值时是稳定的,大K值时是不稳定的,与实轴交点为：,【例3】 设开环传递函数为：,该系统的闭

20、环稳定性取决于 相对大小。,和,试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。,的轨迹不包围,系统是稳定的,的轨迹逆时针方向包围,点-2次，因此系统有两个闭环极点位于右半s平面，系统是不稳定的。,的轨迹通过,点，这表明闭环极点位于虚轴上,【例4】设一个闭环系统具有下列,试确定该闭环系统的稳定性。,开环传递函数：,在右半s平面内有一个极点,，因此,轨迹顺时针方向包围,点一次，,这表明闭环系统有两个极点在右半s平面，因此系统是不稳定的。,三、对数频率稳定判据,单位圆0db线,把Nyquist稳定判据推广到Bode图上，得到对数频率稳定判据,-1,Im,wc,-180,0db,负实轴(2k+1)p线

21、,穿越数： 区间内相频穿越 线。,对数稳定判据： 闭环系统稳定的充要条件为：在对数幅频特性L(w)0db的频率范围内，对数相频特性j(w)穿越(2k+1)p 线的次数,N = N+ - N-,满足,Z = P 2N = 0,其中P为负反馈系统在右半s平面开环极点的个数,【例6】某单位反馈系统开环传递函数那为,试利用Bode图判断系统是否稳定。,解：系统为最小相位系统 开环系统无右半平面极点，即,闭环系统不稳定,该系统Nyquist曲线如图,与从Bode得到的结论一致,临界稳定：幅相曲线穿越(-1,j0),对于最小相位系统，且P=0 要稳定，必须Z=P-2N =0，即N=0.,临界点：,5-5

22、稳定裕度,G(jw),偏离临界点(-1,j0)的程度反应了相对稳定性,图A,图B,相对稳定性也影响时域指标,假设最小相位系统，图A，图B哪个更稳定呢？,截止频率 ：极坐标曲线与单位圆相交所对应的频率，亦称剪切频率,为使最小相位系统稳定，相角裕度必须为正,即,用负角度计算,1、稳定裕度: 相角裕度，幅值裕度,相角裕度,相角穿越频率 ：极坐标曲线与负实轴交点所对应频率。,幅值稳定裕度,相角稳定裕度,截止频率:,幅频曲线与0分贝交点所对应频率,系统稳定,2、对数频率特性曲线对应的稳定裕度,幅值稳定裕度(增益裕度),穿越频率:,相频曲线与-180度交点所对应频率,意义：若系统的开环对数辐频特性再增大h

23、dB，则系统处于临界稳定,由Bode图定义的幅值稳定裕度,注意：由Nyquist曲线和Bode定义的幅值稳定裕度的大小不一样,由Nyquist曲线定义的幅值稳定裕度,G(jwc),20lg,稳定裕度的定义续2,【例1】 单位反馈系统的开环传递函数为,设K分别为4和10，根据Nyquist曲线确定系统稳定裕度,解：开环频率特性为,幅频,与K有关,相频, 与K无关,1)由,得,2)当K=4时,幅值裕度,相角裕度为,所以，系统稳定,2)当K=10时,幅值裕度,相角裕度为,所以，系统不稳定,【例2】 单位反馈系统的开环传递函数为,分别确定K=5和K=20时的相角裕度和增益裕度,解：绘制Bode图，根据

24、图确定系统的相角裕度和增益裕度,相频特性与K无关,K越小，幅值裕度越大，越稳定,K越小，相位裕度越大，越稳定,5-7 闭环频率特性分析 一.闭环频率特性曲线绘制 对于单位反馈系统，闭环和开环系统频率特性的关系,对于一般系统的闭环和开环系统频率特性的关系,在工程上常用等M和等N圆图或尼柯尔斯图线，直接由单位反馈系统的开环频率特性曲线绘制闭环频率曲线。,108,二、系统的带宽,当闭环频率响应的幅值下降到零频率值以下3分贝时，对应的频率称为带宽频率，记为b,当,如果,的幅频曲线如图,109,带宽的意义,1)相当于一个低通滤波器，低频段通过，高频衰减 2)在控制系统中，有用信号一般是低频，噪声信号一般

25、是高频，低通特性有利于消除无用的高频信号 3）应该选择合适的带宽，让有用信号通过，而过滤高频无用信号,三. 闭环频域指标,大多数自控系统，具有图示的低通滤波特性,1）零频值,和系统增益有关 和稳态精度有关,2）谐振峰值,闭环系统幅频的最大值,和超调量有关,3）谐振频率,谐振峰值所对应的频率,4）带宽频率,带宽表示系统响应的快慢与抗干扰能力,四. 二阶系统频域指标,1. 二阶系统的开环频域指标,开环传递函数,频率特性,指标1：截止频率,指标2：相角稳定裕度,相位裕度与阻尼比的关系,系统设计时一般希望,设计时,2. 二阶系统的闭环频域指标,闭环传递函数,指标1：谐振频率,指标2：谐振峰值,指标3：频带宽度,四.闭环与开环频域指标的转换,1) 截止频率与带宽的关系,与 关系密切,大的系统 也大,和 都与系统响应速度成正比,闭环指标,和 都表示系统的稳定程度,对于任意阶次的系统,在控制系统设计时，一般先给定,再根据上式计算,2) 谐振峰值与相位裕度的关系,119,带宽频率,截止频率,总结(1)：二阶系统频域指标与时域指标的关系,谐振频率,谐振峰值,相角裕度,超调量,调节时间,或,总结(2)：高阶系统频域指标与时域指标的关系,谐振峰值,超调量,调节时间,总结,1. 频率特性的基本概念 2.典型环节与开环传递函数的频率特性 3.频域的稳定判据 4. 稳定裕度 5.频域的性能指标,