第5部分动态电路时域分析.ppt

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1、清华大学电路原理教学组,第5章 动态电路时域分析,5. 1 电感元件和电容元件,5. 2 动态电路方程的列写,5. 3 动态电路的初始条件,5. 4 一阶动态电路,5. 6 全响应的分解,5. 5 二阶动态电路,5. 9 状态变量法,5. 7 单位阶跃响应和单位冲激响应,5. 8 卷积积分,一、电感元件 (inductor),inductance,变量: 电流 i , 磁链,1. 线性定常电感元件,= N 为电感线圈的磁链,L 称为自感系数,L 的单位名称：亨利 符号：H (Henry）,电感以磁场形式存储能量。,5.1 电感元件和电容元件,韦安（ -i ）特性,2. 线性电感电压、电流关系：

2、,由电磁感应定律与楞次定律,i , 右螺旋 e , 右螺旋 u , i 关联,清华大学电路原理教学组,(3) 电感元件是一种记忆元件；,(2) 当 i 为常数(直流)时，di / dt =0 u=0, 电感在直流电路中相当于短路；,(4) 当 u，i 为关联方向时，u=L di / dt； u，i 为非关联方向时，u= L di / dt 。,电感的电压-电流关系小结：,(1) u的大小与 i 的变化率成正比，与 i 的大小无关；,清华大学电路原理教学组,3. 电感的储能,不消耗能量,从t0 到t 电感储能的变化量：,无源元件,4. 电感的串并联,（1）电感的串联,根据KVL和电感的电压电流的

3、关系，有,等效电感与各电感的关系式为,结论：n个串联电感的等效电感值等于各电感值之和。,清华大学电路原理教学组,(2) 电感的并联,根据KCL及电感的电压与电流的关系式，有,清华大学电路原理教学组,等效电感与各电感的关系式为,结论：n个并联电感的等效电感值 的倒数等于各电感值倒数之和。,当两个电感并联（n=2）时，等效电感值为,清华大学电路原理教学组,二、电容元件 (capacitor),电容器,线性定常电容元件,电路符号,电容以电场形式存储能量。,描述电容的两个基本变量: u, q 对于线性电容，有：q =Cu,1. 元件特性,电容 C 的单位：法拉， 符号：F (Farad),常用F，pF

4、等表示。,清华大学电路原理教学组,库伏（q-u） 特性,C tan,2. 线性电容的电压、电流关系,清华大学电路原理教学组,电容的电压-电流关系小结：,(1) i的大小与 u 的变化率成正比，与 u 的大小无关；,(3) 电容元件是一种记忆元件；,(2) 当 u 为常数(直流)时，du/dt =0 i=0。电容在直流电路中相当于开路，电容有隔直作用；,(4) 表达式前的正、负号与u，i 的参考方向有关。当 u，i为关联方向时，i= C du/dt； u，i为非关联方向时，i= C du/dt 。,清华大学电路原理教学组,3. 电容的储能,从t0到 t 电容储能的变化量：,不消耗能量,无源元件,

5、清华大学电路原理教学组,4. 电容的串并联,（1）电容的串联,由KVL，有,代入各电容的电压、电流关系式，得,清华大学电路原理教学组,等效电容与各电容的关系式为,结论：n个串联电容的等效电容值的倒数等于各电容值的倒数之和。,当两个电容串联（n=2）时，等效电容值为,（2）电容的并联,由KCL，有,代入各电容的电压、电流关系式，得,等效电容与各电容的关系式为,结论：n个并联电容的等效电容值等于各电容值之和。,清华大学电路原理教学组,电容元件与电感元件的比较：,电容 C,电感 L,变量,电流 i 磁链 ,关系式,电压 u 电荷 q,(1) 元件方程是同一类型；,(2) 若把 u-i，q- ，C-L

6、， i-u互换,可由电容元件的方程得到电感元件的方程；,(3) C 和 L 称为对偶元件, 、q 等称为对偶元素。,清华大学电路原理教学组,S未动作前,i = 0 , uC = 0,i = 0 , uC =US,1. 什么是电路的过渡过程,稳定状态,三、 动态电路简介,稳态分析,S接通电源后很长时间,清华大学电路原理教学组,初始状态,过渡状态,新稳态,过渡过程： 电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。,?,过渡状态（瞬态、暂态）,清华大学电路原理教学组,2. 过渡过程产生的原因,（1）电路内部含有储能元件 L 、M、 C,能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。,（2）电路结构发生变化

7、,支路接入或断开； 参数变化,清华大学电路原理教学组,3. 稳态分析和暂态分析的区别,稳 态 暂 态,换路发生很长时间后,换路刚刚发生,iL 、 uC 随时间变化,代数方程组描述电路,微分方程组描述电路,IL、 UC 不变,清华大学电路原理教学组,4. 分析方法,返回目录,清华大学电路原理教学组,5.2 动态电路方程的列写,依据：KCL、KVL和元件约束。,例1,例2,复习常系数线性常微分方程求解过程。,例3,返回目录,清华大学电路原理教学组,一、t = 0+与t = 0-的概念,换路在 t=0时刻进行,0- t = 0 的前一瞬间,0+ t = 0 的后一瞬间,5.3 动态电路的初始条件,初

8、始条件就是 t = 0+时u ，i 及其各阶导数的值。,0-,0+,二、换路定律,q =C uC,t = 0+时刻,当i()为有限值时,q (0+) = q (0-),uC (0+) = uC (0-),电荷守恒,清华大学电路原理教学组,当u为有限值时,L (0+)= L (0-),iL(0+)= iL(0-),磁链守恒,换路定律成立的条件!,清华大学电路原理教学组,三、电路初始值的确定,(2) 由换路定律,uC (0+) = uC (0-)=8V,(1) 由0-电路求 uC(0-),uC(0-)=8V,(3) 由0+等效电路求 iC(0+),清华大学电路原理教学组,iL(0+)= iL(0-

9、) =2A,例 2,t = 0时闭合开关S , 求 uL(0+)。,清华大学电路原理教学组,(1),已知,求,(2) 0+时刻电路:,清华大学电路原理教学组,小结求初始值的步骤：,1. 由换路前电路（稳定状态）求 uC(0-) 和 iL(0-)。,2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。,3. 画出0+时刻的等效电路。 （1） 画换路后电路的拓扑结构； （2） 电容（电感）用电压源（电流源）替代。 取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、 电感电流方向。,4. 由0+电路求其它各变量的0+值。,电阻电路( 直流 ),电阻电路,返回目录,5.4 一阶动态电路,全解=齐次解+特解 全响应

10、=自由响应+强制响应,列方程：,非齐次线性常微分方程,解答形式为：,非齐次方程的通解,非齐次方程的特解,例1,一、经典解法,清华大学电路原理教学组,与输入激励的变化规律有关，某些激励时强制分量为 电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量,变化规律由电路参数和结构决定,全解,uC (0+)=A+US= U0, A= U0-US,由起始条件 uC (0+)=U0 定积分常数 A：,齐次方程 的通解,：特解（强制分量）,= US,：通解（自由分量，暂态分量）,清华大学电路原理教学组,US U0,清华大学电路原理教学组,令 =RC , 称 为一阶电路的时间常数。,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的

11、长短。,电压初值一定：,R 大（C不变） i=u/R 放电电流小,C 大（R不变） W=0.5Cu2 储能大,清华大学电路原理教学组,工程上认为 , 经过 3 5 , 过渡过程结束。,：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。,清华大学电路原理教学组,特征方程: Lp+R=0,特征根 p =,确定A：,A= i(0+)= I0,i (0+) = i (0-) =,例2,通解：,清华大学电路原理教学组,令 = L/R ，一阶RL电路的时间常数.,L大 初始储能大 R小 放电过程功率小,电流初值一定：,iL (0+) = iL(0-) = 1 A,uV (0+)= -10000V,例3,t=0

12、 时刻 S 打开, 求 uV .,电压表量程为 50V.,根据例2结论,续流二极管,清华大学电路原理教学组,小结：,经典法求解一阶电路过渡过程的一般步骤:,列写微分方程（以uC或iL等为变量）； 求非齐次方程的通解（相应的齐次方程的解）；,求非齐次方程的特解（稳态解）； 确定初始条件（0+时刻）；,求初始值的步骤,根据初始条件确定积分常数。,二、三要素法,特点: （1）同一电路不同支路变量微分方程的特征方程完全相同 同一电路不同支路变量解的自由分量形式完全相同 （2）同一电路不同支路变量微分方程等号右端项和初始值不同 同一电路不同支路变量解的强制分量和待定系数不同 （3）同一电路不同支路变量解

13、的强制分量均为该变量的稳态解,清华大学电路原理教学组,任意支路量方程的形式：,强制分量,自由分量,恒定激励下一阶电路的解的一般形式为,令 t = 0+,适用范围：激励为直流和正弦交流!,例4,已知： t=0时合开关S。 求 换路后的uC(t)的全响应， 强制分量，自由分量。,解:,全响应,强制分量,自由分量,定性画曲线的几个要点,清华大学电路原理教学组,三、 脉冲序列作用下的RC电路,0 t T,uC(0+)=0,uC()=100V,T,2T,3T,100V, = RC,T t 2T,uC(T+)=100V,uC()=0, = RC,（1） T ,清华大学电路原理教学组,0 t T,稳态解：,

14、U2,U1,（2） T 与 接近,等效电路图,仿真2,这类问题的分析特点： （1）认为电路已经进入稳态 （2）画不同状态下的电路图，求解电路 （3）利用边界条件求出关键点电压/电流,清华大学电路原理教学组,T t 2T,等效电路图,100V,U2,U1,0,100V,U2,U1,0,0 t T,T t 2T,t = T,t = 2T,这类问题的分析特点： （1）设电路已经进入稳态 （2）画电路图，求解电路 （3）利用边界条件求出 关键点电压/电流,清华大学电路原理教学组,1. MOSFET反相器的输出延迟,四、一阶电路几个典型的应用实例,清华大学电路原理教学组,ui1 = “0”,ui1 =

15、“1”,ui1 由“1”变为 “0”,CGS2 充电,ui1 = “0”,ui1 = “1”,CGS2 放电,ui1 由“0”变为 “1”,ui1 = “0”,ui1 = “1”,清华大学电路原理教学组,tpd, 01,tpd, 10,2. DC-DC变换,问题：如何改变直流电压？,方法一：,uGS,US,缺点：类似桥式整流， 直流质量较差。,改进思路： 利用电感维持电流的能力。,开关信号,清华大学电路原理教学组,uGS,u、i,tON,tOFF,t,0 t tON 时段等效电路,I1,I2,i,T,这类问题的分析特点： （1）设电路已经进入稳态 （2）画电路图，求电路解 （3）利用边界条件求

16、出 关键点电压/电流,0,方法二：,tON t tON + tOFF 时段等效电路,uGS,u、i,t,I1,I2,i,tON,tOFF,T,0,清华大学电路原理教学组,uGS,u、i,t,I1,I2,i,tON,tOFF,T,这类问题的分析特点： （1）设电路已进入稳态 （2）画电路图，求电路解 （3）利用边界条件求出 关键点电压/电流,0,清华大学电路原理教学组,从工程观点来估计U：,因为L值取得较大， 可看作 iI 不变， 因此 u=U 也不变。,电感吸收的能量为,电感发出的能量为,稳态时电感 每周期能量守恒,降压斩波器 Buck Converter,清华大学电路原理教学组,3. AC-

17、DC变换,用二极管的模型1分析电路。,+,_,i,D1,D3,D2,D4,+,_,u,R,（1）D1D4共有16种状态,（2）电流 i 只能从上往下流。,（3） D1D4有两种可能的导通模式： D1和D4同时导通； D2和D3同时导通。,非线性电路， 分段讨论。,u,设D1和D4同时导通,设D2和D3同时导通,条件 i 0 uS 0 ， u = uS,条件 i 0 uS 0 ， u = uS,R 获得直流,清华大学电路原理教学组,问题1：该直流电压平均值多大？,问题2：如何改进该直流电压的质量？,电容具有维持电压的能力,D1和D4同时导通,给C充电,uS下降，电容放电。 很大，放电很缓慢。 正

18、弦的衰减速度RC放电速度。 uC uS ，D1和D4截止。,uS 0时,uC uS，二极管不导通,假设uC为某值,RC放电,清华大学电路原理教学组,uS 0时,D2和D3同时导通,给C充电,1. 直流电压平均值提高；,2. 直流电压脉动减小。,RC放电,uC -uS，二极管不导通,清华大学电路原理教学组,4. 用Op Amp构成微分器和积分器,（1）积分器,如果uiUS（常数），则,线性函数,清华大学电路原理教学组,（2）微分器,如果ui t US （线性函数），则,常数,清华大学电路原理教学组,正反馈电路：虚短不再适用 虚断仍然适用,电路开始工作时存在小扰动。 由于正反馈，uo为Usat或U

19、sat,设uoUsat， 则u,设此时uC=0，等效电路为,由于正反馈，uoUsat,5. 用Op Amp构成脉冲序列发生器,清华大学电路原理教学组,uoUsat，此时uC=Usat/2，等效电路为,由于正反馈，uoUsat,t,uO,uC,0,占空比：D=ton/T,也可以得到,如何使占空比可调？,t=T/2时,如何产生三角波？,返回目录,清华大学电路原理教学组,R分别为5 、4 、1 、 0 时求uC(t)、 iL(t) ，t 0 。,uC(0-) = 3V iL(0-) = 0,1. 列方程,5.5 二阶动态电路,一、经典解法求解析表达式,清华大学电路原理教学组,2. 求自由分量,清华大

20、学电路原理教学组,R5 ,R4 ,R1 ,过阻尼,临界阻尼,欠阻尼,清华大学电路原理教学组,有关欠阻尼二阶动态电路中3个参数的讨论：,自由振荡角频率/ 自然角频率,衰减系数,欠阻尼 0,物理上稳定的系统,衰减振荡角频率,3. 用初值确定待定系数,R5,R4,R1,清华大学电路原理教学组,R5,R4,R1,看仿真,iL,uC,过阻尼，无振荡放电,4. 波形与能量传递,R5,0 t tm uC 减小, i 增加.,t tm uC 减小 , i 减小 。,iL,uC,0 t tm uC 减小 , i 增加.,t tm uC 减小 , i 减小.,R4,临界阻尼，无振荡放电,欠阻尼，振荡放电,R1,u

21、C 减小， i 增加,uC 减小 ，i 减小,| uC | 增加，i 减小,讨论半个周期中能量的关系,R0,无阻尼振荡,清华大学电路原理教学组,二、用直觉解法定性画支路量的变化曲线,1. 过阻尼或临界阻尼（无振荡衰减）,初值 导数初值 终值,uC(0-) = 3V iL(0-) = 0,uC,iL,以过阻尼为例。,清华大学电路原理教学组,2. 欠阻尼（衰减振荡）,初值 导数初值 终值 经过多少周期振荡衰减完毕,uC(0-) = 3V iL(0-) = 0,回忆一阶电路中的时间常数：35 后过渡过程结束,后过渡过程结束,振荡周期为,衰减过程中有 0.24/0.132次振荡 或0.4/0.133次

22、振荡,衰减系数,衰减振荡角频率d,清华大学电路原理教学组,衰减过程中有 0.24/0.132次振荡 或0.4/0.133次振荡,初值 导数初值 终值 经过多少周期振荡衰减完毕,清华大学电路原理教学组,3. 无阻尼,初值 导数初值 最大值,uC(0-) = 3V iL(0-) = 0,因为无阻尼，所以能量守恒,iL取最大值时，uC=0，因此,1.5,-1.5,三、关于列写方程和求初值的讨论,特点： （1）同一电路不同支路变量微分方程的特征方程完全相同 自由分量形式完全相同 （2）同一电路不同支路变量微分方程等号右端项和初值不同 强制分量和待定系数不同 （3）同一电路不同支路变量微分方程列写和初值

23、获取难度不同,返回目录,清华大学电路原理教学组,5.6 全响应的分解,全解=齐次解+特解 全响应=自由响应+强制响应,激励,外部输入（独立源）,元件的初始储能,零状态响应,零输入响应,+,= 全响应,全响应= 零状态响应 + 零输入响应,零状态响应,零输入响应,uC (0-)=U0,例1,强制分量(稳态解),自由分量(暂态解),清华大学电路原理教学组,两种分解方式的比较：,零状态响应,零输入响应,物理概念清楚 利于叠加,计算简单,全响应= 零状态响应 + 零输入响应,全响应 = 强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解),强制分量(稳态解),自由分量(暂态解),清华大学电路原理教学组,原因1：ZI

24、R 和 ZSR 都是可能单独出现的过渡过程,原因2：ZSR 对于分析一般激励的响应非常重要,uC (0-)=0,零状态,激励,响应,输入输出线性关系,清华大学电路原理教学组,小结：,2. 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始储能引起的响应 , 都是从初始值衰减为零的指数衰减函数。,3. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路 = L/R,4. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。,1. 一阶电路的零状态响应与输入成正比，称为零状态线性。,5. 一阶电路的全响应既不与初始值成正比，也不与输入成正比。,返回目录,清华大学电

25、路原理教学组,一、单位阶跃函数(unit-step function),1. 定义,t = 0合S u(t) = E,t = 0拉闸 i(t) = IS,5.7 单位阶跃响应和单位冲激响应,清华大学电路原理教学组,2. 单位阶跃函数的延迟,3. 由单位阶跃函数可组成复杂的信号,例 1,清华大学电路原理教学组,例3,清华大学电路原理教学组,二、单位阶跃响应单位阶跃激励下电路的零状态响应,清华大学电路原理教学组,u(t)= (t)+ (t-1) -2(t-2),iL(t) = (1-e -t / 6) (t) + (1 -e-(t -1) / 6 ) (t-1) -2(1-e-( t -2) /

26、6 ) (t-2),例4,已知: u(t)如图示 , iL(0-)= 0。 求: iL(t) , 并定性画出其波形。,例5 求图示电路中电流 iC(t)。,解法一： 两次换路，三要素法。,解法二：,清华大学电路原理教学组,三、单位冲激函数（unit impulse function）,1. 单位脉冲函数 p(t),清华大学电路原理教学组,2. 单位冲激函数 (t),定义：,清华大学电路原理教学组,例6,清华大学电路原理教学组, 0,uC E (t),iC CE (t),清华大学电路原理教学组,3. 单位冲激函数的延迟 (t-t0),t = t0,清华大学电路原理教学组,4. 函数的筛分性,同理

27、有：,f(0)(t),例7,* f(t)在 t0 处连续,清华大学电路原理教学组,单位斜升函数,四、(t)与(t)的关系,清华大学电路原理教学组,五、一阶电路的冲激响应,单位冲激响应：单位冲激激励在电路中产生的零状态响应。,方法1. 由单位阶跃响应求单位冲激响应,单位阶跃响应,单位冲激响应,h(t),s(t),单位冲激, (t),单位阶跃, (t),先求单位阶跃响应 令 is (t)=,uC(0+)=0,uC()=R, = RC,已知：,求： iS (t)为单位冲激时，电路响应 uC(t)和 iC (t)。,iC(0+)=1,iC()=0,再求单位冲激响应 令 iS (t) =,清华大学电路原

28、理教学组,冲激响应,阶跃响应,清华大学电路原理教学组,方法2. 分两个时间段来考虑冲激响应,关键在于求uC(0+) ！,uC 不可能是冲激函数 , 否则KCL不成立。,电容中的冲激电流使电容电压发生跳变,方法1：对微分方程00积分,步骤： (1) 列写方程； (2) 观察方程求uC(0+)； (3) 求iC。,清华大学电路原理教学组,方法2：电路直接观察法,uC(0-)=0,在 作用的00范围内的等效电路为,步骤： (1) 画00范围内电路； (2) 求 iC； (3) 求 uC 。,在00范围内将C用电压源替代。,清华大学电路原理教学组,(2) t 0+ 零输入响应（RC放电）,iL不可能是

29、冲激,清华大学电路原理教学组,（2） t 0+ RL放电,返回目录,清华大学电路原理教学组,5.8 卷积积分,一、卷积积分的定义和性质,定义,设 f1(t), f2(t) t 0 均为零,性质1,证明,令 = t- ：0 t : t 0,性质2,清华大学电路原理教学组,二、卷积积分的应用,线性网络 零状态,h(t),即,性质4,性质3,= f ( t ),利用卷积积分可以求任意激励作用下的零状态响应。,清华大学电路原理教学组,物理解释：,在0 t t0时段将激励 e( t )看成一系列 (N个)宽度为 ，高度为 e( k )矩形脉冲的和。,t = t0时刻的响应是由0 t t0时段的全部激励决

30、定的（线性系统的因果性）。,清华大学电路原理教学组,0 t t0,清华大学电路原理教学组,第1个矩形脉冲,若单位脉冲函数 p ( t ) 的响应为 h p ( t ),第k个矩形脉冲,t0 时刻观察到的响应 应为 0 t0 时间内所有 激励产生的响应的和, 积分变量（激励作用时刻）,t 参变量(观察响应时刻),由t0的任意性，得,清华大学电路原理教学组,解：先求该电路的冲激响应 h(t),uC()=0,清华大学电路原理教学组,再计算 时的响应 uC ( t )：,例2,解,图解说明 f2(t-),三、卷积积分的图形解法,卷,移,乘,积,清华大学电路原理教学组,由图解过程确定积分上下限：,返回目

31、录,一、状态变量,分析动态过程的独立变量。,选定系统中一组最少数量的变量 X =x1,x2,xnT ，如果当 t = t0 时这组变量X(t0)和 t t0 后的输入e(t)为已知，就可以确定t0及t0以后任何时刻系统的响应。,X(t0) e(t) t t0,称这一组最少数目的变量为状态变量。,5.9 状态变量法,原因 1: 方程列写上的需要 原因 2: 容易描述多输入多输出,从另一种角度研究动态电路,清华大学电路原理教学组,已知,输出: uL , iC 。,选状态变量 uC ， iL。,解,uL(0+)=7V,iC(0+)= -1.5A,清华大学电路原理教学组,推广至任一时刻 t1,uL(t

32、1)=e(t1)-uC(t1),iC(t1)= iL(t1)-uC(t1)/R,已知t = t1 时 uC ， iL 和 t t1 后的输入e(t) ， -可以确定t1及t1以后任何时刻系统的输出。,如何求解出 t1时刻的状态变量值？,清华大学电路原理教学组,求解状态变量的方程,设 uC , iL 为状态变量。,列微分方程：,改写,二、状态方程,清华大学电路原理教学组,矩阵形式,X=x1 x2 xnT,式中,一般形式, nn, nr,特点:,(1) 一阶微分方程组；,(2) 左端为状态变量的一阶导数；,(3) 右端仅含状态变量和输入量。,u=u1 u2 urT,根据该方程和初值即可求解出 t1

33、时刻的状态变量值。,清华大学电路原理教学组,特点： (1) 代数方程； (2) 用状态变量和输入量表示输出量。,一般形式,Y=CX+Du,uL(t)=e(t)-uC(t),iC(t)= iL(t)-uC(t)/R,用状态变量表示输出的方程,设输出变量为uL、iC ：,三、 输出方程,用于描述输出为uL、iC 的两输出系统。,根据该方程即可求解出 t1时刻的输出变量值。,清华大学电路原理教学组,归纳：,(3) 状态变量的个数等于独立的储能元件个数。,(4) 一般选择uC和 iL为状态变量。也常选 q 和 为状态变量。 状态变量的选择不唯一。,(1) 过渡过程就是一个稳定的能量状态过渡到另一个稳定

34、能量 状态的过程。,(2) 线性电路中的能量状态完全由电感电流和电容电压决定， 因而很自然地选择它们作为决定电路状态的量。,清华大学电路原理教学组,例2,四、 列写状态方程的方法,1. 直观法,用电容电压和电感电流来表示电容电流和电感电压。,例 3 列写图示电路的状态方程。,将电容看作电压源 电感看作电流源,求解出iC、uL1、uL2,叠加定理,以uC , i1 , i2 为状态变量。,2. 叠加法,清华大学电路原理教学组,iS,uC,i1,i2,uS,清华大学电路原理教学组,uC(0) = 3V iL(0) = 0,经典法与状态方程法的比较：,方程类型,高阶微分方程,一阶微分方程组,自由分量求法,高阶代数特征方程,高阶代数特征方程,适用对象,多入单出,多入多出,清华大学电路原理教学组,特征方程,求特征值的方程,两种方法描述的系统自由变化量完全一样。,如果仅需判断过渡过程性质,最容易列写的零输入微分方程,状态方程，求特征值,返回目录,End,