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1、1,班级： 时间： 年 月 日； 星期,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,2,友情提示 本次课讲第四章第二节（续），第三节：相关性与向量组的秩； 下次课讲第四章第四节，第五节，方程组解的结构与向量空间 本次课讲完可完成作业P31-P36 下次上课时交作业P33-P36,3,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,4,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,一、向量组线性相关性的判定,5,（3）按照整体与部分的关系判定,（4）用向量的维数判定：,m 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数m 时一定线性相关.,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,6,（5）线性表示与相关性的关系定理：,第十
2、讲 向量组的秩与方程组解的结构,7,第八讲：向量组的线性表示与线性相关性,8,证:,1),由定理,线性无关,由定理,2),由(1),能由 线性表示.,分析：1.部分无关、整体相关则增加部分可由无关组线性表示，2.否定命题多用反证，若能线性表示推出矛盾即可,例2.设向量组 线性相关,向量组 线性无关,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,9,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,例题3（09年，数学一，11分）.,10,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,11,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,12,一、向量组的秩的概念,（1）用最大无关组定义：,设有向量组 A，如果在 A 中能选出 r 个向量,
3、满足,（i）向量组 A0： 线性无关；,（ii）向量组 A 中任意 r+1个向量（若A 中有 r+1 个向量 的话）都线性相关，,那么称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大线性无关组（简称最大无关组）；最大无关组所含向量个数 r 称为向量组的秩.,（2）无关组等价定义（实际上是上述定义的推论）,设向量组 是向量组 A 的部分组,且满足:,1):向量组 线性无关，,则向量组 是向量组 A 的一个最大无关组.,1.秩的定义,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,13,证：,所以 A 组中任意 r+1个向量线性相关.,设 是 向量组 A 的任意 r +1 个向量,则 可由 线性表示.,由线性表示定理
4、,向量组 满足定义所规定的最大无关组的条件.,由线性相关定理,线性相关.,因此,2.向量组的秩的性质,（1）等于矩阵的秩,定理6,矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的 行向量组的秩。,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,14,类似可证矩阵 A 的行向量组的秩也等于 R(A).,因此 Dr 所在的 r 列是 A 的列向量组的一个最大无关组，所以列向量组的秩等于 r .,结论：本定理说明2个问题，1.向量组的秩和矩阵的秩是一回事，所以可用行最简判断向量组的秩；2.定理提供了寻找最大无关组的一种方法：即只要找到向量组矩阵的一个最高阶非零子式（与秩r相等的阶数），这个子式所在的r个列（行）向量组就
5、是该向量组的最大无关组,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,15,例1：,分析：首先，对向量组的矩阵实施初等行变换，求出矩阵的秩r，第二，对应于秩找出其中一个不为0的r阶子式，第三，对应于r阶子式，列出相应的向量即组成最大无关组。其中2个因素：一是秩r保证最大，二是子式不等于0保证无关,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,16,（2）性质2，向量组的最大线性无关组不唯一,（3）性质3，定理：等价的向量组秩相等,证：设有向量组 A 与向量组 B 等价，因此，A与B可以互相线性表示：,因为B可由A线性表示，则由线性表示秩的定理， R（B） R（A）R（A,B) 同理，A可由B表示， R（A） R（
6、B）R（A，B) 所以：R(A)=R(B),3.秩的应用用最大无关组线性表示向量组其他向量,根据向量组的秩的等价定义，用最大无关组可以线性表示向量组其它向量。,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,17,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,18,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,19,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,20,例3：设A是 矩阵，B是 矩阵，（1993） E为 n阶单位阵 （mn);已知BA=E,试证A的列向量线性无关,解：设,若存在：,即：,因为：,左乘B:,由BA=E得：,所以结论成立。,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,21,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,22,第
7、十讲 向量组的秩与方程组解的结构,23,二、齐次线性方程组解集的最大无关组： 1.复习齐次线性方程组解的秩的判定定理,2.解向量的概念,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,24,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,2.解向量的性质,性质1 若 为齐次方程组的解，则 也是 相应齐次方程组的解.,证,性质2 若 为齐次方程组的解，k为实数，则 k 也是 相应齐次线性方程组的解.,证：,3.AX=0的基础解系,25,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,4.求AX=0的基础解系AX0的通解：,事实上，上一章我们已经学会了用矩阵的秩求线性方程组通解的方法：假定AX=0,A的秩为R(A)=r,求解步骤如下
8、,26,化A 为行最简形矩阵为,与 A 对应的方程组的同解方程组为,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,27,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,28,巧得很，AX=0的通解正好是n-r个解向量的线性组合，如果这n-r个解向量就是解集的最大无关组，我们就等于找到了AX=0的基础解系。事实上，我们有如下定理：,（2）定理：设n元齐次方程组AX=0的系数矩阵的秩R(A)=r,解集（解向量组）为S,则R(S)=n-r,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,29,定理：设n元齐次方程组AX=0的系数矩阵的秩R(A)=r,解集（解向量组）为S,则R(S)=n-r,证：,第一步：和以前一样，将系数矩阵化成行
9、最简形：,第二步：仍然是写出与 A 对应的齐次线性方程组的同解方程组,第十讲：解的解构、向量空间与向量内积,30,代入同解方程组依次可得：,第十讲：解的解构、向量空间与向量内积,31,第十讲：解的解构、向量空间与向量内积,第四步：整理得出齐次线性方程组的一组解向量:,32,该定理的论证说明了两点：,第十讲：解的解构、向量空间与向量内积,33,第十讲：解的解构、向量空间与向量内积,34,4.齐次线性方程组的求解结论：,根据以上齐次线性方程组的通解求解过程和定理及其推论，我们可以得到如下结论：,（4）由此还可以推断：齐次线性方程组的基础解系不是 唯一的.齐次线性方程组的通解形式也是不唯一的.,（3）齐次线性方程组(1)的任何 n - r 个线性无关的解向量都 可作为它的基础解系.,（1）当 R(A) = n 时,齐次线性方程组(1)只有零解,无基础解系;,（2）当 R(A) n 时,齐次线性方程组(1)的基础解系含有n r 个解向量 .,第十讲：解的解构、向量空间与向量内积,35,第十讲：解的解构、向量空间与向量内积,36,第十讲：解的解构、向量空间与向量内积,