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1、1,班级： 时间： 年 月 日 ；星期,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,2,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,本次课讲第二章第三节与第四节， 下次课讲第三章第一节第二节， 请提前预习 下次上课时交作业P13-P16,3,一、逆矩阵,由（2）、（3）两式得,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,4,定义7,对于 n 阶矩阵 A ,若有一个 n 阶矩阵 B ,使得,则说 矩阵 A 是可逆的，,并称矩阵B 是矩阵A 的逆矩阵.,A 的逆矩阵记作,即若,则,1.逆矩阵的定义,2.逆矩阵的性质,1）唯一性：若矩阵 A 是可逆的，那么 A 的逆矩阵一定是唯一的.,设 B、C 都是 A 的逆矩阵，,则有,证：,第五讲：逆矩阵与分块矩
2、阵,5,2）非奇异性（1）奇异概念,当 时，,称为奇异矩阵，,否则称为非奇异矩阵。,是可逆矩阵的充分必要条件是,（2）定理：,证：必要性：若A可逆,即有,使得,所以,即,又因为,所以有,按逆矩阵的定义有,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,6,证毕,说明：该性质不仅说明了可逆的非奇异性，还诠释了一种用伴随矩阵求逆矩阵的方法,（ii）若 可逆，数0，则 可逆，且,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,7,（iii）若 为同阶矩阵且均可逆，则 亦可逆，且,证,即结论成立,（iv）若 可逆，则 亦可逆，且,证,所以有,注（1）：方阵的幂的拓展,当 时，还可定义,这样，当 ，均为整数时，有,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,8,解
3、,则 存在.,所以,教材例11,根据求逆矩阵的定理，由此可见，求逆矩阵的运算量是很大的。这在后面还有更好的办法可以解决。,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,9,例1 利用逆阵解线性方程组,解,，,，,（2）逆矩阵解线性方程组,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,10,例2,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,11,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,12,证：,分析：根据乘法公式,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,13,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,14,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,15,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,16,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,17,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,18,二、分块矩阵1.分块矩阵的概念,将矩阵 用若干条纵线和横线分成
4、许多小矩阵，,每一,个小矩阵称为 的子块，,以子块为元素的形式上的矩阵称为,分块矩阵,如,分块法有很多，例如,（i）,则 可记为,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,19,（ii）,（iii）,（iv）,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,20,2.分块矩阵的运算规则,1.在如上的分块矩阵中，分块后仍是矩阵。子块在矩阵中具有元素的作用，因此，在分块矩阵的运算中若把子块当作元素来看待 2.子块本身还是矩阵，因此在分块矩阵运算中，子块间的运算还必须符合矩阵运算的法则。 综上，分块矩阵运算把握2点，第一，子块当元素看可运算，第二，子块当矩阵看也可运算。 3.运算规则：,(1)设矩阵A与B为同型矩阵，采用相同的分块法，有
5、,其中 与 为同型矩阵，那么,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,21,(2)设 为数，那么,(3) 设 A 为ml 矩阵，B 为ln矩阵，分块成,其中 的列数分别等于 的行数，那么,其中,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,22,(4)设 则,4.分块对角矩阵：设 A 为 n 阶矩阵，如果A的对角线分块矩阵为方阵，且只在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，即,其中 都是方阵，,那么称 为分块对角矩阵。,分块对角矩阵有下列性质：,（a),第五讲：逆矩阵与分块矩阵,23,若,且子块,均可逆，则B可逆，且,同理，容易验证如下结论,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,24,3.分块运算的作用 1.分块运算使得矩阵结构简单，利于诠释一些问题和概念,记,如,按分块矩阵的记法,或,利用矩阵乘法，此方程组可记作,将B按列分块,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,25,若将系数矩阵 A 按行分成 m 块，则线性方程组可记作,这就相当于把每个方程,记作,若将系数矩阵 A 按列分成 n 块，则线性方程组可记作,即,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,26,例1（2004、4）,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,27,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,28,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,29,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,30,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,31,第五讲：逆矩阵与分块矩阵,