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第三节 定积分的换元法和分部积分法,一、换元积分法 二、分部积分法,定理5.6 设函数f(x)在区间a,b上连续，若 满足下列条件：,一、换元积分法,上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式.,(2)当t在与之间变化时， 的值在区间a,b ，且 连续,则,证明,注意：,(1)定积分的换元法在换元后，积分上、下限也要作相应的变换，即“换元必换限”.,(2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不必再还原为原变量.,(3)新变元的积分限可能，也可能，但一定要求满足 ，即 对应于 ， 对应于 .,例1 求,解,例2 求,解,方法二,例3 求,解,例4 求,例5,证明,(1)若f(x)为偶函数,即f(x)=f(x),即f(x)=f(x)=2f(x)则有,(2)若f(x)为奇函数,即f(x)= f(x)，即f(x)+f(x)=0则有,例5表明了连续的奇、偶函数在对称区间a,a上的积分性质，即偶函数在a,a上的积分等于区间0,a上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于零，可以利用这一性质，简化连续的奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算.,例6 求,解 因为 在区间1,1 上为奇函数,所以,例7 求,解,例8 证明,证明,二、分部积分法,例9 求,解,例10 求,解,例11 求,解,