理论力学1A全本课件10章动能定理ppt课件.ppt

《理论力学1A全本课件10章动能定理ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理论力学1A全本课件10章动能定理ppt课件.ppt（72页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、第10章 动能定理,10.1 力的功 10.2 系统的动能 10.3 动能定理 10.4 功率 功率方程 10.5 势力场 势能 机械能守恒定律 10.6 动力学普遍定理的综合应用,1.常力在直线运动中的功,定义力F在路程s中所做的功为,功是代数量。单位为焦耳（J）。,即常力F在路程s中所做的功，等于力F在位移方向的投影Fcos与其路程s的乘积。,10.1 力的功,10.1.1 三种情况下力的功,力F在路程s中积累的效应用力的功来度量，以W表示。,2.变力在曲线运动中的功,力F在全路程上所做的功等于元功之和，即,在直角坐标系下，力F和位移dr表示为,因此又有,力F在无限小位移dr中做的功称为元

2、功，用W表示，则有,10.1 力的功,3. 合力的功,即合力的功等于各分力所做功的代数和。,若质点受n个力F1，F2，Fn共同作用， 这n个力的合力为FR，则合力所做的功为,10.1 力的功,1.重力的功,重力所做的功为,只与质点的起、止位置有关，与其运动路径无关。,对质点系而言，则为,10.1.2 常见力的功,质点M的重力mg在坐标轴上的投影分别为,10.1 力的功,质点系重力的功等于重力在其质心位移上所做的功。,2.弹性力的功,在质点由M1运动到M2的过程中，弹性力做的功为,弹簧的自然长度为l0、刚性因数为k。弹簧对质点的弹性力的大小F=k，其中为弹簧的绝对变形量，弹性力的方向恒指向弹簧未

3、变形时的自然位置。,10.1 力的功,弹性力的功只与弹簧在初始和终了位置的变形量有关，而与质点的运动路径无关。,若取横轴表示弹簧变形量，纵轴表示弹性力F的大小。根据F=k作斜直线，当弹簧变形由1变为2时，弹性力所做功的大小等于图中阴影部分的面积。,10.1 力的功,例10-1 不计质量的弹簧原长为2l，刚度因数为k，两端固定并处于水平位置，如图10-6所示，在弹簧中点挂一重物，求重物下降x时弹性力所做的功。,10.1 力的功,解 弹簧初始变形量为零，最终变形量为,弹性力所做的功为,3. 刚体上力的功,(1) 平行移动刚体上力的功,设受n个力作用的刚体作平行移动，刚体的质心C由C1移动到C2。由

4、于刚体内各点的位移都相同，刚体上力系的功等于力系的主矢,10.1 力的功,在质心位移上所做的功。即,(2) 定轴转动刚体上力的功,设刚体绕z轴作定轴转动。作用在刚体上的力F的元功为,10.1 力的功,当刚体由起始位置角1转到最终位置角2时，力F在这个过程中所做的功为,其中Ftr为力F对z轴的力矩Mz，于是,(3) 平面运动刚体上力的功,10.1 力的功,当刚体上有多个力作用时，Mz为各力对转轴z之矩的代数和。当力矩Mz为常量时,若作用在刚体上的是力偶，则上式仍然成立，只是其中为Mz力偶对于转轴z之矩。,设受n个力作用的刚体作平面运动，将力系向质心C简化，得一合力和一合力偶。则力系所做功等于合力

5、在质心C的位移上所做功与合力偶在刚体转角上所做功之和，即,力偶M所做的元功为,10.1 力的功,例10-2 半径为R的圆盘沿倾角为的斜面作纯滚动，在轮缘上绕以细绳并对轮作用水平拉力F（图10-8）。当轮心C有位移dr时，求力F的元功。,解 圆盘作平面运动。将力F向质心C简化，得一作用于C的力F 和一力偶M。,故力F的元功为,力F 所做的元功为,4.质点系内力的功,由质点M1和M2组成的质点系, 质点间的吸引力F12和F21就是内力。但是两力所做功不为零。,10.1 力的功,机器中轴与轴承之间相互作用的摩擦力所做的功恒为负，也不为零。,当质点系内质点间的距离可变化时，内力的功一般不等于零；当机械

6、系统内包含发动机或变形元件（如弹簧等）时，应考虑内力的功。,对于刚体，由于任意两点之间的距离始终保持不变，因此刚体内力的功之和恒等于零。不可伸长的柔绳、钢索等内力的功之和也都等于零。,5.约束力的功,约束力不做功的约束称为理想约束。,10.1 力的功,(1) 理想约束,滑动摩擦力是一种被动力，其方向往往与物体运动方向相反，一般情况下它做负功，即有摩擦的接触面约束通常不是理想约束。,10.1 力的功,(2) 摩擦力的功,当圆柱体沿固定面作纯滚动时，接触点为速度瞬心，滑动摩擦力作用点处没有位移，此时，静滑动摩擦力也不做功。即当圆柱体沿固定面作纯滚动时，考虑摩擦的固定面也属于理想约束。,例10-3

7、一弹簧振子沿倾角为的斜面滑动，已知物体重G，弹簧刚性因数为k，动摩擦因数为f。求从弹簧压缩s开始，到弹簧回弹的过程中各力的功及各力的全功。,10.1 力的功,10.1 力的功,解 (1）取振子为研究对象，作受力分析图。取坐标系Oxy，因刚体在y轴方向受力平衡，由平衡方程解得,(2）各力的功,(3）各力的全功,1.质点的动能,对由n个质点组成的质点系，其动能就是这n个质点动能的代数和，以T表示，即,10.2 系统的动能,设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为mv2/2。动能是表征质点机械运动的一个量，恒为正值，是一个标量。动能的单位与功的单位相同，都是焦耳（J）。,2.质点系的动能,3.刚体

8、的动能,其中，m是刚体的质量，vC是质心C的速度。,刚体平动时，各点的速度都等于质心C的速度，即 ，所以平动刚体的动能为,10.2 系统的动能,(1) 平动刚体的动能,该式说明，平动刚体的动能，等于刚体的质量与刚体质心速度平方乘积的一半。,又由于 ，即刚体对于z轴的转动惯量，故有,设刚体绕定轴z以角速度转动，其中任一质点的质量为mi，到转轴的距离为ri。则该质点的速度为vi=ri。因此，绕定轴z转动刚体的动能为,10.2 系统的动能,(2) 定轴转动刚体的动能,该式说明，绕定轴转动刚体的动能，等于刚体对于转轴的转动惯量与角速度平方乘积的一半。,用过质心C的平面图形来表示作平面运动的刚体。当刚体

9、作平面运动时，此平面图形在其自身所在平面内运动。若点P为某时刻的速度瞬心，则此时刻刚体可看作在绕过瞬心P的垂直轴作定轴转动，刚体的动能为,10.2 系统的动能,(3) 平面运动刚体的动能,其中，为刚体转动的角速度，JP为刚体对时刻转轴的转动惯量。,取过质心C的轴为转轴，设质心轴与瞬心轴之间的距离为d，刚体的质量为m，刚体对质心轴的转动惯量为JC ，则由转动惯量的平行轴定理，有,10.2 系统的动能,即：平面运动刚体的动能等于随同质心平动的动能再加上绕质心轴转动的动能。,因此得：,例10-4 半径为R、质量为m的轮子作纯滚动，轮心速度为vC 。设轮子的全部质量分布在轮缘上，轮辐的质量不计。求车轮

10、的动能。,10.2 系统的动能,解 由于轮子的质量分布在轮缘，轮辐质量不计，故可将车轮看作一个圆环。车轮作平面运动，其动能包含随同质心C平动的动能和绕质心C转动的动能，即,例10-5 系统中各杆为均质杆，其中杆CD和OA的质量均为m，杆AB的质量为2m，且OA=AC=CB=CD=l。杆OA以角速度转动，求图示时刻系统的动能。,10.2 系统的动能,解 杆OA作定轴转动，其动能为,杆AB作平面运动，其动能为,杆AB的速度瞬心为O，则,，,（a）,（b）,10.2 系统的动能,于是有,代入式（b），得：,杆CD作定轴转动，其动能为,，,由此得系统的动能为,将 代入上式，得,又 根据，上式成为,10

11、.3动能定理,根据质点的运动微分方程,10.3.1 质点的动能定理,在方程两边点乘dr，得,故有,即：质点动能的增量等于作用于质点上的力在质点位移上的元功，这就是质点动能定理的微分形式。,将动能定理的微分形式积分，得：,因此，在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力所做的功，这就是质点动能定理的积分形式。,（1）动能定理是代数式，所以它没有投影形式。 （2）动能与功的意义是不同的。 （3）动能的变化与力的功之间有量的关系，这就是动能定理所指出的：某个过程中，动能的变化量就等于作用力的功。,10.3 动能定理,设质点系由n个质点组成 ，对第i个质点有,交换微分与求和次序，有,1

12、0.3 动能定理,10.3.2 质点系的动能定理,将n个这样的方程相加，得,将质点系的动能用T表示，上式简化为,设质点系由n个质点组成 ，对第i个质点有,将上式积分，得,10.3 动能定理,即质点系动能的增量，等于作用于质点系的全部力做的元功之和，这就是质点系动能定理的微分形式。,即在某一运动过程中，质点系从起始到终止状态动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这一过程中所做功的和，这就是质点系动能定理的积分形式。,10.3 动能定理,若将作用于质点系上的所有力分为主动力和约束力，那么积分形式的动能定理可以写为：,其中 和 分别为全部主动力和全部约束力在这一过程中所做功之和。,对于具有理想约束

13、的问题，质点系上所有约束力所做的功之和为零，故动能定理简化为如下形式：,上式中不再包含约束力，用来求解与约束力无关的问题比较方便。而如果在理想约束之外，还有考虑摩擦的支撑面，可将滑动摩擦力作为主动力来处理。,10.3 动能定理,例10-6 质量为m的物块，自高度h处自由落下，落到有弹簧支承的板上，如图10-18所示。弹簧的刚性因数为k，不计弹簧和板的质量，求弹簧的最大变形。,解 将下落过程分为两个阶段。,(1) 物块由位置落到板上。在这一过程中，只有重力做功，应用质点的动能定理，有,可求得,10.3 动能定理,(2) 物块继续向下运动至最低位置。应用质点的动能定理，有,由于弹簧的最大变形量总是

14、大于其静变形量mg/k，上式取正号，得,可以解得,10.3 动能定理,另外，若将上述两个阶段合并在一起考虑，有,上式也说明，在物块从位置到位置的运动过程中，重力做正功，弹性力做负功，彼此恰好抵消，因此物块运动始末位置的动能是相同的。显然，物块在运动过程中动能是变化的，但在应用动能定理时不必考虑始末位置之间动能是如何变化的。,所得结果与分开考虑时相同。,10.3 动能定理,例10-7 质量为m1=100kg的圆轮，其半径R=0.5m，轮轴的半径r=0.2m。轮对于质心G的回转半径G=0.25m。若作用一顺时针的常力偶M=20Nm，使它的轮轴沿水平面只滚不滑，求m2=20kg的物体A由静止释放至下

15、降0.4m时，轮子的角速度。设弹簧刚性因数k=60N/m，并且当物块释放时弹簧没有伸长。弹簧与BC段绳均保持水平。（滑轮C质量不计）,10.3 动能定理,解 （1） 确定研究对象。以圆轮和重物所组成的系统作为研究对象。,（2）分析系统的受力并计算主动力的功。系统所受主动力为m1g、m2g、Fk、M。在重物下降s的过程中，主动力所做的功为,其中为圆轮的转角，为弹簧的伸长量，且,，,10.3 动能定理,（3）分析系统的运动并计算动能,圆轮作平面运动，速度瞬心为P。物体A作直线运动。当物体A由静止释放至下降s时,系统的初动能,，,系统的末动能,10.3 动能定理,（4）应用质点系动能定理并求解,代入

16、有关数据，并由质点系动能定理，得,可解得：,10.3 动能定理,例10-8 图10-20所示系统中，滚子C和滑轮B可视为均质圆盘，其质量mB=mC= m1，半径均为r，滚子沿倾角为的斜面向下滚动而不滑动，借跨过滑轮B的不可伸长的绳索提升质量为mA=m2的重物A，同时带动滑轮B作定轴转动。系统从静止开始运动，求滚子质心C经过路程s时的速度和加速度。,10.3 动能定理,解 （1） 确定研究对象。以滚子C、滑轮B和被提升重物A所组成的系统作为研究对象。,（2）分析系统的受力并计算主动力的功。系统所受的主动力有mAg、mB g和mCg。理想约束，约束力均不做功。在滚子质心C经过路程s后主动力所做的功

17、为,10.3 动能定理,（3）分析系统的运动并计算动能,并注意到mB=mC= m1，mA=m2，则有,系统的初动能,圆柱中心C经过路程s时，系统的末动能为,又由于,，,，,，,，,10.3 动能定理,（4）应用质点系动能定理并求解,由质点系动能定理，得,故解得速度,将上式对时间求导数，并注意到 ，得,10.3 动能定理,例10-9 图10-21所示曲柄连杆机构位于铅垂面内，曲柄OA的质量为m1，长为r ；连杆AB的质量为m2，长为l；滑块B的质量为m3，曲柄和连杆可视为均质细长杆。今在曲柄OA上作用一不变力矩M，当 时，A点的速度为u，求当曲柄转至水平位置时A点的速度。,10.3 动能定理,解

18、 （1） 确定研究对象。以曲柄、连杆、滑块所组成的系统作为研究对象。,（2）分析系统的受力并计算主动力的功。主动力有m1g、m2g、m3g和力偶矩M，理想约束，约束力均不做功。在曲柄OA由铅垂位置转到水平位置的过程中，主动力所做的功为,10.3 动能定理,（3）分析系统的运动并计算动能,开始时，A点的速度为u，连杆AB作瞬时平动，则,系统的初动能,曲柄OA作定轴转动，连杆AB作平面运动，滑块B作平动，因此系统的动能为,，,，,10.3 动能定理,终止时，设A点的速度为vA，连杆AB的速度瞬心在B点，则,系统的末动能,系统的动能为,，,，,，,10.3 动能定理,（4）应用质点系动能定理并求解,

19、由质点系动能定理，得,故解得A点的速度为,10.4 功率、功率方程,单位时间内力所做的功称为功率。功率用来衡量机器做功的快慢程度，是描述机器性能的一项重要指标。,1.功率,因为力F的元功为,则力的功率为,上式表明：力的功率等于力在其作用点处的速度方向上的投影与速度的乘积。,因为力矩M的元功为,则力矩的功率为,即：力矩的功率等于力矩与物体转动角速度的乘积。,10.4 功率、功率方程,功率的单位是瓦。在工程上，常用转速n（单位为r/min）来表示转动的角速度，则在工程中有,或写为力矩的表达式 。式中P的单位为千瓦。,机器工作时输入的功用 表示。机器做的有用功用 表示。机器克服无用阻力，消耗的功用

20、表示。根据动能定理的微分形式，有,2功率方程,将上式两边除以时间间隔dt，并以 分别表示发动机输入、有用阻力消耗以及无用阻力消耗的功率，则上式成为,此为机器的功率方程，它表示任一机器输入、输出功率和机器动能变化率之间的关系。,10.4 功率、功率方程,机械在稳定运转时，有用输出功率与输入功率之比称为机械效率，用表示，即,3机械效率,机械效率说明机械对于输入能量的有效利用程度，是评价机械质量的指标之一。它与机械的传动方式、制造精度与工作条件有关。,显然，在一般情况下,10.4 功率、功率方程,例10-10 胶带运输机如图10-22所示。已知胶带的速度v=1.26m/s，运输量qm=455t/h，

21、提升高度h=40m，机械效率=68。求运输机所需电动机的功率。,10.4 功率、功率方程,解 取整段胶带上被运输的物料为研究对象。在t秒时间段内有质量为 的物料被提升到高度为 处，则重力所做的功为,10.4 功率、功率方程,在同一时间段内又有等量的物料补充到胶带上，而且它们的速度由零变为v，因此系统动能的变化为,10.4 功率、功率方程,设电动机的功率为P，由于机械效率 ，在t秒内所做的有用功为,由动能定理，当运输机匀速运转时，有,10.4 功率、功率方程,消去t后得,根据算出的功率可选择所需的电动机。,即,10.5 势力场 势能 机械能守恒定律,有势力如果在质点运动过程中，主动力在有限位移上

22、所做的功只与起始及终了位置有关，而与运动路径无关，则称这种主动力为有势力或保守力。这时存在势能函数V (r) = V (x，y，z)，它与有势力存在如下关系,力场主动力作用的空间范围。,上式表明，只有势能函数之差才有确定值。因此，在势力场中选一等势面(V (r) = const. 的点的集合)为计算势能的基准面，在此面上V (r) = V0 = 0。将质点由某一位置移到基准面时势力所做之功称为质点在该位置的势能。,质点由某一位置到另一位置的过程中，势力之功可用势能函数之差表示,10.5 势力场 势能 机械能守恒定律,即,在物理学课程中已经遇到过三种势力，其有关结论总结如表10-1。,10.5

23、势力场 势能 机械能守恒定律,表10-1,10.5 势力场 势能 机械能守恒定律,对于质点系，定义质点系的势能为质点系中各质点势能之和,作用于质点系的主动力之功等于质点系势能之差,代入质点系动能定理中即得势力场中质点系的机械能守恒定律,上式表明，当质点系仅在有势力作用下运动时，其机械能E保持不变。,10.5 势力场 势能 机械能守恒定律,解 选图10-18中位置作为运动的初始位置，位置作为运动的终了位置，则系统的动能,势能的零位可任选，现取弹簧未变形时的位置作为弹性力势能的零位，取终了位置作为重力势能的零位。于是初始位置与终了位置的势能分别为,例10-11 试用机械能守恒定律解例10-6题。,

24、10.5 势力场 势能 机械能守恒定律,将上述各值代入机械能守恒定律，得,所得结果与例10-6中完全相同。,求解得,也可选择不同的势能零位进行分析计算。,10.6 动力学普遍定理的综合应用,作用在系统上的力在动量和动量矩定理中一般按外力和内力分类。在动能定理中一般按主动力和约束力分类，理想约束情况下约束力的功之和为零。,质点系动力学普遍定理包括质点系动量定理、质点系动量矩定理、质点系动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式的。动能定理是标量形式的。,在实际应用中，对于具有理想约束的一个自由度系统，常用动能定理解决已知力求运动的问题。系统的运动规律确定后，一般用动量或动量矩定理求未知约束力。,例

25、10-12 图10-23所示均质圆盘可绕O轴在铅垂面内转动，其质量为m，半径为R。在圆盘的质心C点连接一刚度系数为k的水平弹簧，弹簧的另一端固定在A点，CA=2R为弹簧的原长，圆盘在常力偶矩M作用下，由最低位置无初速度地绕O轴向上转动，试求圆盘到达最高位置时，轴承O的约束力。,10.6 动力学普遍定理的综合应用,10.6 动力学普遍定理的综合应用,解 (1)以圆盘为研究对象，求圆盘转到最高位置时的角速度。由动能定理,T T0 = W,可解得,代入动能定理中得,其中,W1为重力的功 ， W2为弹性力的功， W3为力偶的功。,，,，,10.6 动力学普遍定理的综合应用,(2)求转至最高位置时圆盘的

26、角加速度,根据动量矩定理，得,可解得,于是,JO = M - F R cos 45,其中,10.6 动力学普遍定理的综合应用,(3) 求质心的加速度,10.6 动力学普遍定理的综合应用,(4) 用质心运动定理求约束力,解得,，,，,例10-13 图10-24a中AD为一软绳，ACB为一均质细杆，长为2l，质量为m，质心在C点，且AC = CB = l。滑块A、C的质量略去不计，各接触面均光滑。在A点作用铅垂向下的力F，且F = mg。图示位置杆处于静止状态。现将AD绳剪断，当杆运动到水平位置时，求杆的角速度、角加速度及A、C处的约束力。,10.6 动力学普遍定理的综合应用,10.6 动力学普遍

27、定理的综合应用,解 (1) 由动能定理,T T 0 = W,其中,，,，,由运动学分析，系统在图10-24b所示位置时，v C = 0，即C为AB杆的速度瞬心。,10.6 动力学普遍定理的综合应用,解 (1) 由动能定理,T T 0 = W,其中,，,，,由运动学分析，系统在图10-24b所示位置时，v C = 0，即C为AB杆的速度瞬心。代入动能定理得,即,10.6 动力学普遍定理的综合应用,(2) 系统在所求位置的受力如图10-24b所示。由相对于质心的动量矩定理,所以可解得,得到,10.6 动力学普遍定理的综合应用,(3)以A为基点 对C点进行加速度分析(图10-24c)，得,其中 。将上式向铅垂轴和水平轴投影，可解得,，,10.6 动力学普遍定理的综合应用,(3) 用质心运动定理求约束力,解得,，,，,maCx = FNA,maCy = -F - FNC - mg,，,