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1、第十三章 多元函数积分学,第一节 二重积分的概念及性质,第二节 二重积分的计算方法（1）,第二节 二重积分的计算方法（2）,高等数学电子教案 西电,第三节 二重积分的应用,第四节 三重积分的概念及计算方法,第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算 三重积分,高等数学电子教案 西电,教师：任春丽,第一节 二重积分的概念及性质,一、二重积分的概念,1、引例,（1） 计算曲顶柱体的体积（如图）,设曲面,且在D上连续,第一节 二重积分的概念及性质,解: step1 分割：任意划分D为n个小区域,step2 近似：,step3 求和:,定义域,第一节 二重积分的概念及性质,V=,step4 取极限,（2）计算
2、平面薄板的质量,第一节 二重积分的概念及性质,设有一平面薄板占有xoy面上闭区域D,在点P(x,y)的面密度为,且在D上连续,解：step1 分割：,D,X,Y,O,第一节 二重积分的概念及性质,step 2 近似：,step3 求和：,step4 取极限：,上面引例可以看到：两个引例的实际意义,第一节 二重积分的概念及性质,不同，但都归结为同一形式的和式极限。我们把这种和式的极限抽象为二元函数在平面 闭区域D上的二重积分的定义。,2、定义：设f(x,y)是有界闭区域D上的有界 函数。如果和式极限,从在，则称此极限值为,f(x,y）在区域D上的二重积分，记 作,，即,第一节 二重积分的概念及性
3、质,积 分 区 域,被 积 函 数,积 分 变 量,面积元素,积分符号,因而，引例（1）体积,被积表达式,第一节 二重积分的概念及性质,引例（2） 质量,注 (1）极限存在指：任意分割、任意取点、 和式极限值相等,在直角坐标系下， 若用平行与x轴，y轴 的直线族划分D,则,X,Y,O,第一节 二重积分的概念及性质,从而,（3）二重积分为数，与变量符号无关即,故记,第一节 二重积分的概念及性质,3、二重积分存在的充要条件如果f(x,y)在闭区 域D上连续，则,4、二重积分的几何意义,（以D为底，f(x,y)未定的曲顶柱体的体积）,（曲顶柱体体积的负值）,第一节 二重积分的概念及性质,一般的,曲顶
4、柱体体积的代数和,例1、计算,解：由几何意义,（上半球体的体积）,第一节 二重积分的概念及性质,二、二重积分的性质,假设以下各积分存在,性质1,k为常数,性质2,性质3 （可加性）,第一节 二重积分的概念及性质,（除分界线）,性质4 如果,性质5 (不等式性) 如果在D上,第一节 二重积分的概念及性质,特别的:,性质6 (估值性) 设,第一节 二重积分的概念及性质,性质7 (积分中值定理) 设f(x,y)在闭区域D,上连续,则至少存在一点,证明：,第一节 二重积分的概念及性质,由闭区域连续函数的介值定理,至少存在一点,第一节 二重积分的概念及性质,三、举例,例2、 设区域D:,是变量y的奇函数
5、,X,Y,O,解：,第一节 二重积分的概念及性质,是变量x的偶函数,注：上述性质，称为二重积分的奇偶对称性对 于一般函数也成立,例3、 估计下列积分值,第一节 二重积分的概念及性质,（2）求D上的最大最小值,X,Y,o D,解：,第一节 二重积分的概念及性质,Ep4:,第一节 二重积分的概念及性质,其中D由x=0,y=0及x+y=1围成,解：,Ep5：,解：,第一节 二重积分的概念及性质,第一节 二重积分的概念及性质,第二节 二重积分的计算方法（1）,一、区域的类型及表示,1、X-型区域：穿过区域D的内部且平行于 D的 边界相交至多两点,a,a,a,x,x,x,b,b,b,x,x,x,y,y,
6、y,o,o,o,第二节 二重积分的计算方法,2、Y-型区域：穿过区域D的内部且平行于x轴的,直线与D的边界相交至多两点,3、其它类型 如图,非X-型，非Y-型区域,x,y,y,c,d,o,o,x,y,第二节 二重积分的计算方法,例1、闭区域D由,所围成，使用联立不等式表示区域D,解：法一、D是X型区域 则,法二、D是Y-型区域且,第二节 二重积分的计算方法,二、利用直角坐标计算二重积分,解：一方面：,曲顶柱体的体积,另一方面：利用平行截面为已知的立体体积计算,设：区域D为X-型,得截面面积,第二节 二重积分的计算方法,一般的,综上：,第二节 二重积分的计算方法,类似的，若D为Y-型区域,称为先
7、x后y的二次积分,情形仍成立,关键，步骤如下：,第二节 二重积分的计算方法,第一步：画区域D的图形,第二步：确定类型，求投影曲间，穿入、穿出,线方程，并用联立不等式表示区域,第三步：将二重积分写成二次积分,例2、计算,其中区域D是由,解：画图 求出交点（-1，1）,及（4，2）,(4,2),(-1,1),第二节 二重积分的计算方法,法一 D是X-型区域，且,法二 D是Y-型区域，且,(4,2),(-1,1),第二节 二重积分的计算方法,例3、计算,，其中D由,所围成,解：D是X-型区域,第二节 二重积分的计算方法,又 D是Y-型区域,无法积分,这说明此积分先x后y的顺序的方法失效,注：上述两例
8、说明，在化二重积分为二次积分,时，为了计算简便，需要恰当的选择二次积分,的顺序。这时，既要考虑积分区域D的形状，又,要考虑被积函数f(x,y)的特性。,第二节 二重积分的计算方法,例4、改变二次积分,的积分次序,均为X-型，画出区域D如图,视,为Y-型区域,解：,第二节 二重积分的计算方法,则原式=,例5、计算由曲面,所围立体的体积,解：立体如图，,且在xoy面上投影区域,第二节 二重积分的计算方法,第二节 二重积分的计算方法,第二节 二重积分的计算方法（2）,三、利用极坐标计算二重积分,对于某些二重积分，利用直角坐标计算往往,是很困难的，而在极坐标系下计算则比较简单。,如：积分区域为圆形，被
9、积函数为,时，,可考虑极坐标系下计算。,方法如下,1、化,为极坐标系下的二重积分，,由定义,且将区域D,第二节 二重积分的计算方法,放在极坐标系中,第一步 分割:用两族曲线,r=常数同心圆,=常数射线,任意分割区域D为n个小区域,除含边界的小区域外，其它小闭区域面积,第二节 二重积分的计算方法,第二步 取,且对应的直角坐标系为,则,从而,其中,为极坐标系下的面积元素,注: 相当于二重积分作了变量代换,因而换元就要,换限,第二节 二重积分的计算方法,2、,化为二次积分,情形（1）极点在D的外部,情形（2）极点在D的边界上,D,第二节 二重积分的计算方法,情形（3）极点在D内,D,第二节 二重积分
10、的计算方法,例1：计算,D是由曲线,解：,第二节 二重积分的计算方法,例2、将,化为极坐标系下的,二次积分,解：,在极坐标系下,第二节 二重积分的计算方法,例3、求球体,被圆柱面,所截得的（含在圆柱面内部的）,立体的体积。,解：由对称性,体积,在极坐标系下,故,第二节 二重积分的计算方法,第二节 二重积分的计算方法,一、几何应用,1、立体的体积:,2、平面图形面积:,3、曲面的面积:,第三节 二重积分的应用,第三节 二重积分的应用,解:（方法:小元素法,即微分法）,第三节 二重积分的应用,第三节 二重积分的应用,第三节 二重积分的应用,例1:求半径为a的球面面积。,解:,第三节 二重积分的应用
11、,第三节 二重积分的应用,例2:,解:,第三节 二重积分的应用,第三节 二重积分的应用,1、平面薄片的重心,二、物理应用,第三节 二重积分的应用,第三节 二重积分的应用,设有一平面薄片，区域为D，面密度P(x,y)(在D 上连续) 求:,解:,第三节 二重积分的应用,第三节 二重积分的应用,例3:,解:,第三节 二重积分的应用,第三节 二重积分的应用,第三节 二重积分的应用,2、平面薄片的转动惯量,第三节 二重积分的应用,解:,第三节 二重积分的应用,例4:,解:,第三节 二重积分的应用,3、平面薄片对质点的引力,例5:,解:,第三节 二重积分的应用,第三节 二重积分的应用,第三节 二重积分的
12、应用,例6:,解:,第三节 二重积分的应用,第三节 二重积分的应用,一、概念,引例:,解:,第四节 三重积分的概念及计算方法,第四节 三重积分的概念及计算方法,抽去其物理意义,引入三重积分的定义。,定义:,记作:,第四节 三重积分的概念及计算方法,注:,第四节 三重积分的概念及计算方法,1、先一后二法:,第四节 三重积分的概念及计算方法,类似的,有其他五种几分顺序,第四节 三重积分的概念及计算方法,例1:,解:,第四节 三重积分的概念及计算方法,第四节 三重积分的概念及计算方法,例2:,解:,第四节 三重积分的概念及计算方法,2、先二后一法,第四节 三重积分的概念及计算方法,第四节 三重积分的
13、概念及计算方法,例3:,解: 方法一: 先一后二法,第四节 三重积分的概念及计算方法,方法二: 先二后一法,第四节 三重积分的概念及计算方法,例4:,解:,第四节 三重积分的概念及计算方法,练习:,解: 先一后二法,第四节 三重积分的概念及计算方法,第四节 三重积分的概念及计算方法,解:,第四节 三重积分的概念及计算方法,先二后一法:,第四节 三重积分的概念及计算方法,第四节 三重积分的概念及计算方法,一、柱面坐标计算三重积分,1、柱面坐标:,第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分,第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分,柱面坐标系下的三组坐标面:,第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分,第五
14、节 利用柱面和球面坐标计算三重积分,第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分,例1:,解:,第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分,第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分,例2:,解:,第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分,第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分,二、球面坐标计算三重积分,1、球面坐标,第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分,球面坐标系下的三组坐标面:,第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分,第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分,3、化为三次积分,第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分,如:,第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分,例3:,解:,第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分,第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分,例4:,解: 利用球面坐标计算,第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分,第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分,三、三重积分的应用,第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分,第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分,例5:,解:,第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分,第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分,第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分,例6:,解:,第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分,第五节 利用柱面和球面坐标计算三重积分,教师：任春丽,