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1、见黄昆书 5.4；5.5；5.6节,恒定磁场中的准经典运动 自由电子的量子理论 晶体中电子的有效质量近似 回旋共振 霍尔效应 De HaasVan Alphen效应,讨论晶体电子在恒定磁场中的运动，是分析晶体许多重要物理效应的理论基础，有两种方法：准经典近似和求解含磁场的Schrdinger方程，前一方法所得结果物理图像清晰，但有一定的局限性。正确地解释这些现象是能带论的成功之作，反之这些现象也成为能带论最有力的实验证据。,6.12 在恒定磁场中电子的运动,一. 恒定磁场中的准经典运动,依然沿用准经典运动的两个基本方程：,只考虑磁场中的行为，公式中没有电场力，只有 Lorentz 力，磁场对电
2、子的作用和电场不同，它不作功 不改变电子的能量。该公式表明，在只涉及外力时， 晶体动量起着普通动量的作用，我们假定只在z方向有 磁场，先在波矢空间下讨论Bloch电子的行为。,表明沿磁场方向 k 的分量不随时间而变，,即在 k 空间中，电子在垂直于磁场 B 的平面内运动； 又由于Lorentz力不做功， ，所以电子的能量 E(k)不随时间而变，即电子在等能面上运动。,综合以上两点，可以 看出： 电子在 k 空间中的运动轨迹是垂直于磁场的平面与等能面的交线，即电子在垂直于磁场的等能线上运动。一般情形等能线形状是很复杂的。,也可从公式 出发直接说明此点：,上式表明：磁场作用下，电子在 k 空间运动
3、，其位移dk 垂直于 v 和 B 所决定的平面，dk 垂直于 B，这意味着电子的轨道处于与磁场垂直的平面内，dk 还垂直于 v ，因为 v 垂直于 k 空间的等能面，这意味着 dk 处在这个等能面内，综合上述两点可以确定：电子沿着垂直于磁场的等能线做旋转运动，且对磁场而言是反时针旋转。,电子沿等能线运动，既不从磁场吸收能量，也不把能量传递给磁场，这与电磁学中电荷和磁场相互作用的规律是一致的。,电子回旋运动周期：,回旋运动圆频率（Cyclotron frequency)：,v 取垂直于磁场的分量。,如图所示电子在 k 空间中的运动是循环的，经过一段时间后又回到出发的那一点。按照上式：,这里，微分
4、dk 是沿回路周边取的，一般情况形状复杂，,对于自由电子：,电子的运动轨道为圆，如下图,在等能线上，k const.,有：,或：,磁场作用下自由电子 在 k 空间中的运动轨道 是圆。其回旋频率：,从前面讨论中可以看出： Bloch 电子在磁场中虽然也在做回旋运动，但由于其等能面的复杂变化（见 6.8 节），其运动轨迹要复杂的多，因而其回旋频率的表达式需要具体积分求出。在能带底和能带顶，情况变得简单，可以给出类似自由电子的表达式：,m* 是 Bloch 电子的有效质量.,在实空间中，沿磁场方向， 是常数，即做匀速运动， 电子的运动轨迹为一螺旋线。,由上面自由电子的公式可以给出：,磁场沿 z 轴方
5、向，有,解为,实空间中电子的运动图象：沿磁场方向（z方向），电子作匀速运动，在垂直于磁场的平面内，电子作匀速圆周运动。,回转频率：,对于晶体中的电子,在主轴坐标系中有,若磁场方向取在 z轴方向，BBk，即可写出其相应的准经典运动方程。,这与普通物理中的结果是一致的。,二、自由电子的量子理论,在没有磁场时，自由电子的哈密顿量为：,当有磁场存在时，电子运动的哈密顿量为,A为磁场的矢势，,若磁场 B 沿 z 方向，则可取,由于哈密顿算符中不含 x 和 z，,与,及,对易。,根据量子力学，H和 px、pz 有共同本征态。,设为其共同本征态，有,波函数可以写成,代入波动方程,其中,上式是中心位置在 y
6、= y0，振动圆频率为0的线性谐振子。,解为,Nn为归一化因子，Hn(y)为厄密多项式。,相应的能量本征值为,n=0, 1, 2, ,即：根据量子理论，电子在垂直于磁场平面内的匀速圆周 运动对应于一种简谐振动，其能量是量子化的。我们将这 种量子化的能级称为朗道能级（Landau level）。,公式说明沿磁场方向电子保持自由运动，在垂直磁场的x-y平面上，电子运动是量子化的，从准连续的 变为： 在这种情况下，电子的能 量由准连续的能谱变成一 维的分立的磁次能带，每 条次能带都成抛物线形状 ，如右图所示。,由于能量-波矢关系的改变，波矢空间描写状态的代表点的分布也发射变化，集聚在一系列的圆周上，
7、如下图所示。,于是，磁场中的能态密度曲线和磁场为零时的能态密度曲线相比发生了巨大变化，形成了一系列的峰值，相邻两峰之间的能量差是 。能态密度变化的这种特点深刻地影响了晶体的物理性质。 De HaasVan Alphen效应就是这一性质的具体反映。,见方俊鑫 书6.9 节p266,三、晶体中电子的有效质量近似,晶体中电子在磁场中运动时，其哈密顿量为,其中，U(r)为 晶体的周期性势场，严格求解晶体中的电子在磁场中的运动是非常困难的。但在有些情况下，可将哈密顿量近似写成,这里，周期场的影响概括为有效质量的变化，称为有效质量近似。一般半导体材料中，在导带底和价带顶附近常常可以采用有效质量近似。对有些
8、金属材料（如碱金属）有时也可以采用。在有效质量近似的框架内，前面我们对自由电子的讨论可以推广到晶体中的电子，只需用有效质量m* 代替自由电子的质量 m 即可。,四、电子回旋共振（electron cyclotron resonance),将一晶片垂直置于磁场中，若沿磁场方向输入一频率为 的交变电场， 电子做回旋运动，如图所示：,当 c时，电子回旋与电场同步，电子吸收电场能量达到极大，这种现象称为电子回旋共振。从量子理论的观点，电子吸收了电场的能量，相当于实现了电子在朗道能级间的跃迁。测量回旋共振的频率c ，即可算出电子（或空穴）的有效质量 m*。,电子回旋共振不仅可以测量载流子的有效质量 m*
9、 ，还可以根据出射波的偏振方向来判断电场的能量是被电子还是被空穴吸收的。 在自由电子情形，可以算出： 当 B =1KGs 时，fc = 2.8 GHz （千兆赫）属于微波波段。,根据回旋共振吸收曲线确定出回旋频率代入公式即可计算出有效质量，其精度取决于交变场频率和磁场的测量精度。,右图是吸收系数与频率关系图,电子回旋共振常被广泛地用来测定半导体导带底电子或价带顶空穴的有效质量，研究其能带结构。,在半导体的导带底或价带顶附近，其等能面一般为椭球面，在主轴坐标系中，有,当发生电子回旋共振时，,这里，m*为电子回旋共振的有效质量，与外加磁场的方向有关。,其中，、为磁场在主轴坐标系中的方向余弦。,由于
10、电子在运动过程中会受到声子、晶格缺陷以及杂 质的散射，因此，为了能观察到回旋共振现象，必须满足 c 1，其中 是电子在相邻两次碰撞间的平均自由时间。 通常，实验都必须在极低温度（液He温度）下，选用高纯的 单晶样品，以提高 值，同时加强磁场以提高 c 。近年来， 利用红外激光为交变讯号源，可以观测到非常清晰的共振线。,（110）面内 见黄昆书p262,将一通电的导体放在磁场中，若磁场方向与电流方向 垂直，那么，在第三个方向上会产生电位差，这种现象称 为Hall效应。,E.H.Hall在1879年试图确定磁场对载流导线的作用到底作用于导线上还是（按照现代的说法）作用在导线内的电子上面。 “if
11、the current of electricity in a fixed conductor is itself attracted by a magnet, the current should be drawn to one side of the wire, and therefore the resistance experienced should be increased”。Hall没有测出额外的电阻磁致电阻，但是“The magnet may tend to deflect the current without being able to do so. It is evide
12、nt that in this case there would exist a state of stress in the conductor, the electricity pressing, as it were, toward one side of the wire” “State of stress”，就是我们现在所熟知的横向电势差（ Hall电压，Hall voltage）,五. 霍尔（Hall）效应。,我们先采用自由电子模型说明： 在如下图所示配置下，导体中电荷 e 受的洛伦兹力：,在-y方向产生电场 EH，平衡时应有：,在外磁场的作用下，原来在 -x 方向漂移的电子受到
13、Lorentz力作用发生向下的偏转，电子积累在晶体下表面，产生净负电荷，同时上表面因缺少电子而出现净正电荷，于是，这些正负表面电荷形成了霍尔电场。,定义： 为霍尔系数（ Hall coefficient） 霍尔电场与电流密度和磁场强度乘积成正比，其比例系 数为霍尔系数。所以霍尔效应成为测量晶体电子浓度的 权威方法。对于正电荷和负电荷，Hall系数符号不同。 因此，Hall系数也成为测定载流子类型的标准方法，在 了解到晶体电子的特征后，正电荷的存在已经可以理解。,测量了很多金属的霍尔系数，和自由电子论预计的理论 计算值相符，但也有一些金属霍尔系数理论和实验值不符 （见下页表），甚至符号也相反，存
14、在正电荷导电的判断已 在能带论中得到解释。从公式不难看出，载流子浓度越低， Hall系数就越大，霍尔效应就越明显，因此，霍尔效应在半 导体的研究和应有中有重要价值，由霍尔系数的测定可以直 接确定半导体中载流子的浓度，它的符号可以确定载流子的 类型，是电子导电还是空穴导电。（见黄昆书P346) 半导体的霍尔效应也可以用于磁场测量。,当晶体中同时有两种导电载流子存在时，比如能带有交 迭，导电电子存在于上面的能带，空穴存在于下面的能带， 可以证明其霍尔系数：,其中Ree, ， Rhh分别为电子和空穴各自的霍尔系数 和电导率。显然霍尔系数的符号可正可负，取决于电子 和空穴贡献的相对大小。这就是有些多价
15、金属（例如 Zn,Cd)表现出正霍尔系数值的原因。,上述磁场输运过程的讨论中有一个推论值得注意，即 x 方向的电流本身并不受磁场的影响，其电阻与磁场无关，其 原因在于影响 x 方向电流的 Lorentz 力与霍尔电场力平衡， 相互抵消了，使得电子沿水平方向流经样品时，“无视”该磁 场的存在。磁致电阻为零。但实验结果并不是这样，虽然很 多金属的磁致电阻都不大，但并不为零。一些铁磁金属还会 有较大的数值。近十几年来，发现了一些磁致电阻特别大的 材料，并获得了巨大应用。,六. 德哈斯-范阿尔芬（De HaasVan Alphen）效应：,1930年 De Haas和 Van Alphen在低温下研究
16、 Bi单晶在强磁场中的磁化率，发现磁化率随磁场变化而显现出振荡。我们将磁化率 随磁场的倒数 1/B 作周期振荡的现象称为 De HaasVan Alphen效应。后来人们发现金属的电导率、比热等物理量在低温强磁场中也有类似的振荡现象。这种现象与金属费米面附近的电子在强磁场中的行为有关，因而与金属的费米面结构有密切关系，这些现象是研究金属费米面结构的有力工具。通过测定De HaasVan Alphen 效应的振荡周期，确定极值的面积，就可以相当准确地勾画出费米面的形状。,产生这些效应的原因是回旋轨道的量子化，因而也就是 电子总能量随磁场强度的振荡式变化，下面我们将证明：以 磁场强度的倒数做标尺时
17、，振荡是等距的，对应的恒定周期 反比于垂直于磁场和费米面的截面极大值和极小值。在晶体 取向相对于磁场取不同方向的情况下，测量德哈斯-范阿尔 芬效应中的周期就可以了解费米面的形状。 所以德哈斯-范阿尔芬效应和回旋共振一样，能够给出 费米面形状和金属电子有效质量的信息，都是凝聚态物理最 重要的物理实验手段。,1. 二维自由电子气模型：,没有外场时，自由电子气有： k 在一个平面内取值。如果加上外磁场时，能量本征值 则成为一系列的朗道能级：,自由二维电子气具有 准连续的能谱，在垂 直磁场下聚集成间隔 为 c 的分立能级。 这种改变是量子态的 改变，但量子态的总 数应当不变。,由此可以判定，每个 La
18、ndau 能级所包含量子态的总数等于 原来连续能谱中能量间隔 c内的量子态数目，即 Landau能级是高度简并的，如上图所示。 容易证明二维电子气的能态密度是与能量无关的常数，因此朗道能级的简并度为：,自由电子气在磁场中形成一系列高度简并的分立能级 （Landau能级），而Landau能级简并度随磁场强度B变化， 使得电子气系统的能量随磁场强度变化而变化，这就是产 生德哈斯-范阿尔芬效应的原因。,定性说明：黄昆书p266268,能量上升,能量不变,能量上升至最大,能量上升后又开始下降,随磁场强度的减小，电子系统能量的增量E周期性变化，每当Landau能级(n+1/2) 0与费米能级重合时，就出
19、现能级增量的峰值。,设相邻两次峰值分别为B1、和B2、(+1)，则有：,N为系统电子总数。 能量增量随磁场的变化为：,其中：,为二维自由电子气费米圆的面积。,而二维自由电子气系统的磁矩为：,系统的能量随1/B周期变化，因此系统的磁矩也随磁场 做周期性震荡变化。而从实验上测出M随1/B变化的周期，定出费米面 SF ，这是十分有用的。,2. 三维自由电子模型,磁场中三维自由电子气在k空间形成子带。,在（二）中已经讨论过三维电子气在磁场中的解，,在与磁场垂直的 kz= 常数的平面内，轨道是量子化的，沿磁场方向的kz 取值是准连续的，在 k 空间形成了一系列的圆柱面，如右图所示。每一个圆柱面对应于一个
20、确定的量子数n。,和二维情况类似，改变磁场 B的数值， 会发生变化，态密度峰值位置发生变化，即圆柱有不同的间隔。每当：,即某个圆柱面与费米能 重合时，能量增量最大,所以，磁场变化引起圆柱的半径变化，每当有一个圆柱面 恰好与费米球相切时，系统能量增量最大，这就使得电子 系统能量增量随1/B呈周期性变化。因而感生磁矩M随1/B 周期性变化。这就是De HaasVan Alphen效应的起因。 磁场作用使电子能级量子化，这些量子化的等能线数目：,所以，n 104,是很密集的，磁场变化会引起多次振荡。,磁场虽然使电子分布发生变化，但垂直于磁场方向的费米面截面的形状并没有改变，因此我们可以借助于De H
21、aasVan Alphen效应来测量晶体的费米面。如二维电子气的以上分析，自由电子情形的振荡周期为：,每当费米面内半径最大的圆柱越过费米面时，与能量密切相关的物理性质就会振荡一次，所以通过振荡周期就可以测定垂直于磁场方向费米面的极值截面积。 上面对自由电子的讨论可以推广到Bloch电子，只需要用有效质量 m* 代替 m 即可，因为前者已经涵盖了周期场的影 响，上式推广到 Bloch 电子，有：,AF是垂直于磁场的费米面极值截面积，如果我们测出磁场沿不同方向给出的截面积，就可以绘出费米面的形状。,通过分析可以知道，极值截面给出的周期在观察到的De HaasVan Alphen效应中占主导地位，因
22、为不同的非极值轨道的贡献相互抵消，所以无论多么复杂的费米面，也会得到尖锐的共振峰。,Au费米面在不同方向上的极值截面图。,3. 应用举例：费米面的测定：, 6.8 中分析过碱金属的费米面，由于只有一个价电子， 其费米面近似为球体，不同磁场方向应该有相同的极值截 面， De HaasVan Alphen效应应该有相同的振荡周期， 实际测量结果证实了这点，给出的 值和6.8中按自由电 子模型计算出的 值基本一致，, 6.8节中还指出，由于是 fcc 结构，贵金属Cu,Ag,Au 的 费米面明显不是球形，有8个颈状突起部分，在这种情况 下，磁场沿不同方向时， De HaasVan Alphen效应应
23、该 表现出不同的性质，磁场沿方向时，Ag的De Haas Van Alphen振荡有2个周期，一个对应于“肚子”轨道， 截面积大， 的周期小；另一个对应于“脖子”轨道，截 面积小， 的周期大。细密间距反映“肚子”轨道。粗疏 间距反映“脖子”轨道，实验给出的两个截面之比分别是：,Cu Ag Au,：27 51 29,belly；neck,见黄昆书图5-26,因为振荡周期反比于截面积，磁场值较低（104G)时先看到的是由小的极值截面产生的振荡，只有当磁场接近105G时，才有足够精度观察到和布里渊区大小接近的截面积产生的振荡。这,并不是容易做到的。,磁场在 方向的两个极值轨道,见Kittel 书8版
24、p175,磁场在 方向的极值轨道,见黄昆书 图5-27 与Kittel书标注不同,？！,4. 磁场中电子波矢在费米面上的运动：电子轨道；空穴轨道 和开放轨道。静磁场中的电子在垂直于磁场的平面上，沿 等能面运动，费米面上的电子沿费米面上的一条曲线运动， 可能有 3 种情况：a 是顺时针运动，是类空穴轨道，b是反 时针运动，是类电子轨道；接近带底的费米面电子给出电子,轨道，而处于近满带带顶费米面上的空轨道给出类空穴轨道。,见Kittel 书8版p162,图 c 中的轨道不闭合，当粒子达到布里渊区边界 A 处，立即折回到 B 点，这里 B 和 B 相差一个倒格矢，是等价的，这样的轨道被称作开放轨道，
25、开放轨道对磁致电阻影响很大。,借助于开放轨道对磁致电阻的影响，磁场电效应的测量已经成为研究费米面形貌的有力手段。曾用这种方法连同反常趋肤效应一起证明了 Cu 的费米面确实是联通的，并证明在 方向上与布里渊区边界相切。,最后，要特别说明： 虽然De HaasVan Alphen效应首先是在磁化率的测量中发现的，但是原则上任何依赖于费米能级处的状态密度以及传导电子轨道运动的晶体性质都应该出现这种振荡，事实上，霍尔效应、磁致电阻以及声衰减中都观察到了这种振荡。后面这些测量，文献上一般称作Schubnikov-de Haas 效应。,本节习题： 6.14 黄昆书 5.4 题 6.15 黄昆书 5.5 题,