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1、1.2 应用举例自主广场我夯基 我达标1.如图1-2-12，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，其中可以实现并可以计算得出AB长的数据是( )图1-2-12A.,a,b B.,a C.a,b, D.,b思路解析:根据实际情况,、都是不易测量的数据，而C中的a、b、很容易测量到，并且根据余弦定理AB2=a2+b2-2abcos能直接求出AB的长.答案:C2.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40的方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为( )A.a km B. km C. km D.2a km思路解析:由图可知AC
2、B=120，AC=BC=a.在ABC中，过点C作CDAB，则AB=2AD=2acos30=a.图1-2-13答案:B3.在200 m的山顶上，测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30、60，则塔高为( )A. B. C. D.思路解析:如图1-2-14所示，设塔高AB为h，图1-2-14在RtCDB中，CD=200，BCD=90-60=30,BC=.在ABC中，ABC=BCD=30,ACB=60-30=30,BAC=120.,AB=m.答案:A4.在ABC中，已知a-b=4,a+c=2b，且其最大内角为120，则其最大边长为_.思路解析:由已知所给三边间的关系，先判断其最大边，再利用余弦定理把问
3、题解决.由已知a-b=4,a+c=2b,得a=b+4,c=2b-a=b-4，故a为最长边.A=120.cosA=，即=.解得b=10.a=14.答案:145.在ABC中，若(sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB-sinC)=3sinAsinB，则C=_.思路解析:本题所给条件中涉及的是三内角的正弦，容易想到将其展开化简，得到sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinB，而这个形式与余弦定理极为相似，然而余弦定理所涉及的是边角关系，于是可以先用正弦定理将三内角的正弦转化为边，即为a2+b2-c2=ab，所以cosC=，C=60.答案:606.为了测量河的宽度，在一岸边选定两
4、点A、B,望对岸的标记物C，测得CAB=45,CBA=75，AB=120米，求河的宽度.思路分析:由题意画出示意图，把问题转化为求ABC的AB边上的高的问题.而由已知及正弦定理，可先求出AC，进而求得河宽.解:如图所示，在ABC中，由已知可得图1-2-15AC=.设C到AB的距离为CD，则CD=AC=20(+3)，河的宽度为20(+3)米.7.已知关于x的方程x2+xcosAcosB-1+cosC=0的两根之和等于其两根之积的一半，试判断ABC的形状.思路分析:本题与一元二次方程的根与系数之间的关系有一定的关系，容易根据题意及根与系数间的关系得到三内角间的关系，从而判定ABC的形状.解:依题意
5、,得-cosAcosB=,即2cosAcosB=1-cosC.cos(A+B)+cos(A-B)=1+cos(A+B).cos(A-B)=1.又-A-B，A-B=0,A=B.故ABC是等腰三角形.我综合 我发展8.在ABC中，ABC，且三边a、b、c为连续自然数，且a=2ccosC.求sinAsinBsinC的值.思路分析:本题已知条件中给出了边角间的关系，要求三内角正弦之比，可以根据正弦定理转化为求三边之比，进而去求三边长，从而将问题解决.解:ABC,abc.又三边a、b、c为连续自然数，可设a=b+1,c=b-1.由a=2ccosC,得cosC=.由余弦定理,得cosC=，即(b+1)2=
6、(b-1)(b+4),b=5.a=6,c=4.由正弦定理,得sinAsinBsinC=654.9.小明在内伶仃岛上的点A处，上午11时测得在A的北偏东60的C处有一艘轮船，12时20分时测得该船航行到北偏西60的B处，12时40分时又测得轮船到达位于A正西方5千米的港口E处，如果该船始终保持匀速直线运动.求：(1)点B到A的距离；(2)船的航行速度.思路分析:本题所涉及的角比较多，首先应该考虑画出示意图，将题中所述条件正确地反映在图形上，这样比较直观，然后结合图形分析，不难根据正、余弦定理把问题解决.解:(1)轮船从C处到点B用了80分钟，从点B到点E用了20分钟，轮船保持匀速直线运动.故BC
7、=4BE，设BE=x，则BC=4x.由已知,得只要求出x的值即可.在AEC中，由正弦定理,得sinC=.在ABC中，由正弦定理,得AB=.(2)在ABE中,由余弦定理,得BE2=AB2+AE2-2ABAEcos30 =25+-25cos30=.BE=.故轮船的速度为千米/时.10.有一条河MN，河岸的一侧有一很高的建筑物AB(底部为A,顶部为B)，一人位于河岸另一侧P处，手中有一个测角器(可以测仰角)和一个可以测量长度的皮尺(测量长度不超过5米).请你根据所学数学知识，设计多种测量方案(不允许过河)，并给出计算建筑物的高度AB及距离PA的公式.解:(1)如图1-2-16，点P位于开阔地域，被测
8、量的数据为PC(测角器的高)和PQ(Q为在PA水平直线上选取的另一测量点)的长度，仰角为和(其中BDO=,BCO=).图1-2-16设AB=x,PA=y，则有x=. (2)如图1-2-17，P位于开阔地域，被测量的数据为PR(PR在水平线上，且PQ5米)，在P、Q(Q是PR的中点)、R处测得建筑物AB的仰角分别为、(其中APB=,AQB=,ARB=)，设AB=x,PA=y，则y=xcot,AQ=xcot,AR=xcot.图1-2-17在APQ与APR中，由余弦定理,得AP2+PQ2-2APPQcosAPQ=AQ2,AP2+PR2-2APPRcosAPQ=AR2，即(xcot)2+()2-2(xcot)cosAPQ=(xcot)2，(xcot)2+(PR)2-2(xcot)PRcosAPQ=(xcot)2,两式相减,得.(3)如图1-2-18，若P处是一可攀建筑物(如楼房)，则可在同一垂线上选两个测量点C、D，被测数据为PC和PD的长度，仰角为、(其中BDF=,BCE=).图1-2-18设AB=x,PA=y，则在RtBCE与RtBDF中，CE=BEcot,DF=BFcot，又BF=x-PD,BE=x-PC,DF=CE，由此解得x=.5