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1、1,我把数学看成是一件有意思的工作,而 不是想为自己建立什么纪念碑。可以肯定 地说, 我对别人的工作比自己的更喜欢。 我对自己的工作总是不满意。-拉格朗日,第十章 分离变量法 本征值问题,2,驻波：u=u1+u2= A cos(t-kx)+ A cos(t+kx) =2A cos(2t) cos(2kx),10.3 一维有界区域自由振动问题 的驻波解 分离变量法,波腹,波节,驻波的数学表示：u(x,t)=X(x)T(t)。 这是一个变量可分离函数。,驻波的数学描述： 为简便起见研究两列反向 行进的同频率的波的叠加 u1=A cos(t-kx)， u2=A cos(t+kx),弦在平衡位置的振动
2、可用函数 T（t)描述；,振幅随位置的变化可用函数 X（x)表示,3,弦横振动方程：,边界条件：,初始条件：,由于两端固定，解应是驻波解，,求解两端固定的弦长为l的均匀细弦的横振动。,写出定解问题：,所以，解是变量分离的解。即,1 分离变量法,4,由于x, t 是相互独立的变量，上式必然等于同一常数。,（1）分离变量建立常微分方程定解问题,代入波动方程,移项整理得变量分离等式：,把,得,引入公共实常数：,波动方程的分离变量-常微分方程：,得出两个常微分方程：,5, 边界值条件的分离变量与本征问题,5,把,代入边界条件,本征问题:,6,（2）求解本征值问题(非零解),常微分方程的解：,边界条件：
3、,边界条件：,7,C2非零解,Xn(x)称本征函数,边界条件：,n只能取分列特定值(正整数)-称本征值,8,n=1,2,3,解方程,与n对应的本征解un(x,t)：令C2A=An C2B=Bn,A、B 是积分常数,（3）本征解与一般解,本征振动的线性叠加.上式正好是随位置变化的傅里叶正弦级数.,解,一般解,对应于本征解Xn(x)的含时函数解：,9,初始条件：,（4）利用初始条件和三角函数族的正交性确定待定系数,（5）物理意义：,是驻波，是两端固定弦的本征振动,相邻节点之间距离等于半波长,波长=,10,（4）、用初始条件确定一般解的系数（傅立叶展开 ）,2 分离变量法主要步骤：,（1）、将齐次偏
4、微分方程求解问题转化为若干常微分方程定解问题。,（2）、常微分方程与齐次边界(或周期性)条件构成本征值问题得出本征值与本征函数,（3）、将本征函数(满足边界条件)叠加成无穷级数，给出一般解,10,11,例10.1：长为l的均匀细杆，侧面绝热。杆的x=0端温度保持为零度，另一端（x=l）按牛顿冷却定律与外界进行热交换，设外界温度恒为零度。已知杆的初始温度分布为f(x)。试求杆上温度的变化（设热交换系数为h=b/k,其中b为传热系数和k为导热系数）。,零度保持不变；第一类边界条件,与外界有热交换；第三类边界条件,泛定方程和边界条件皆是齐次的, 可以应用分离变量法,解：记杆上温度为u(x,t),写出
5、热传导方程(如图),初始条件：,边界条件：,12,1 分离变量:,分离变量:,12,定解问题转化为:,即关于时间与位置的二个方程:,2 X(x)方程和边界条件构成本征问题,得解:,由边界条件：,得出：,上式应用到第二个边界条件：,13,引入量纲为1的量:,13,前式改写为:,此方程是一个超越方程，只能用数值图解法求解（如图）,得本征值：,相应本征函数：,14,14,3 T方程 ： 改写为,此方程的解,4 u(x,t)的通解,本征解,15,5 Bn的确定,由初始条件,利用三角函数的正交性，等式两边同乘正弦函数，即有,16,例10.2*：边长为l1，l2的矩形薄板，两板面不透热，它的一边y=l2为
6、绝热，其余三边保持温度为零（见图）.设板的的初始温度分布为f(x,y)。试求板内的温度变化。,零度保持不变；第一类边界条件,边界绝热； 第二类边界条件,泛定方程和边界条件皆是齐次的, 可以应用分离变量法,解：记板内任一点(x,y)的温度为u(x,y,t),满足定解问题(如图),初始条件：,边界条件：,17,1 分离变量和本征问题:,分离变量:,17,定解问题转化为:,等式两边除:,且,则,相应边界条件：,得出：,令,初始条件：,18,18,2 X(x)和Y(y)的常微分方程和边界条件构成本征问题:,对于X(x)由前面讨论：,3 本征值和本征函数:,19,Cm2非零解,边界条件：,对于Y(y)类
7、似前面讨论：,20,20,4 T方程 ：改写为,此方程的解,5 u(x,t)的通解,本征解,21,6 Cmn的确定,由初始条件,利用三角函数的正交性，等式两边同乘正弦函数，即有,22,10.6,本讲作业,23,设：,10.4 非齐次边界条件的处理,1、一般处理方法,齐次方程,第一类非齐次边界条件,非零初值,A(t)与 B(t)是待定参数，由边界条件确定：,解：设计一个新函数,构成齐次边界条件的定解问题。,令函数 使u(x,t)构成下列关系,24,即有：,即：,现在定解问题转换为：,齐次边界条件,25,仍设：,则：,解：定解问题,例10.3 长为l、侧面绝热的均匀细杆的导热问题。它的x=0端保持
8、恒温u0,另一端（x=l）有热流量为q0的常热流进入。设杆的初始温度分布也是u0,求杆上的温度分布。,所以,将定解问题分解为(x,t)和w(x,t)两个定解问题之和：,26,现在定解问题转换为：,齐次边界条件,1 分离变量:,分离变量:,定解问题转化为:,即关于时间与位置的二个方程:,27,27,2 X(x)方程和边界条件构成本征问题,得解:,由边界条件：,上式应用到第二个边界条件：,解简化为：,C2非零解,28,28,3 T方程 ：改写为,此方程的解,4 w(x,t)的通解,本征解,29,得：,本定解问题的解,5 Cn的确定,由初始条件,利用三角函数的正交性，等式两边同乘正弦函数，即有,30
9、,例10.4,30,求半带形区域（0xa, y0)内的静电势，已知边界 x=和y=0上的电势都是零,而且边界x=a上的电势保势为u0 （常数）。,解：由于本题是无源静电场问题，所以定解问题可写为：,为了齐次化x=0和x=a处的边界条件，设,仍设：,则：,所以,31,现在定解问题转换为：,x方向是齐次形式的边界条件,利用分离变量法和上式第一行与第二行方程得出:,这里An和Bn是待定常数。但“初始条件”不能确定An和Bn。,注意到u|y时应有限，所以相应地有“自然边界条件”：,结合：u|y有限和,得出,定解问题解为：,地位等同于“初始条件”,32,由于弦在x=l端受迫作Asint的振动,它一定存在
10、特解(x,t),满足齐次方程、非齐次边界条件。,例10.5,32,2、特殊处理方法,弦的x=0端固定，x=l端受迫作振动Asint,弦的初位 移和初速度皆为零，求弦的振动。,解：建立本题定解问题：,又由于弦在x=l端点的振动为Asint,则弦上任一点的振动特解可以写作,设定特解：,33,把代入波动方程，得,33,易证,34,由位置初始条件得出：,34,简化为：,由速度的初始条件得出：,35,10.13,本讲作业,36,10.5 本征函数法,方法：,（1）确定相应齐次问题的本征函数,对于非齐次泛定方程,如何求解？,本节应用本征函数法求解。,本题的齐次本征值问题是,满足边界条件的本征值是,以第一类
11、齐次边界条件下的波动定解问题为例,定解问题：,满足边界条件的本征函数是,37,即转为求Tn(t)的定解问题！,（2）将u(x,t)按本征函数（傅里叶级数）展开：,（3）将级数代入泛定方程求展开系数Tn(t)，导出 Tn(t)的常微分方程：,把f(x,t)展开为傅里叶级数:,比较系数得方程,把f(x,t)代入前式:,38,（4）T(t)的初值问题,得出,把 和(x)展开为傅里叶级数,把 代入初值条件,39,(5)初值问题,上述齐次常微分程的通解为,由初值条件,我们得出常数An和Bn：,齐次方程的通解：,(6)本征解,40,由非齐次常微分程通解公式,由8.4节非齐次常微分程通解公式，得,现在解y1
12、和y2分别为：,常数An和Bn分别为：,（7）一般解,41,例10.6：,41,解：,方法：通过齐次化泛定方程建立本征方程,设定1：,设定2：,由这些设定得：,为此设：,定解问题转化为w的定解问题：,42,42,变量分离：设,由边界条件得本征函数：,本征问题：,解：,对应于Y的常微分方程：,解：,变量分离形式解：,43,43,一般解：,用y变量对应的边值条件确定展开系数：,44,先确定Cn,注意上式在n是偶数n=2k时为零，即C2k=0。为此只有奇数项,边值条件确定展开系数关系改为：,令n=2k-1,45,的联立代数方程,第1式两边乘,（1）,（2）,（3）,（2）减(3)并整理得,46,47
13、,一般解：,本题解：,48,10.14,本讲作业,49,（1）,二端固定弦的横振动的本征问题：,49,本征值和本征函数：,10.6 施图姆刘维尔型方程的本征值问题,分离变量法解定解问题的核心是获取并求解本征值问题。,在前面讨论中我们已遇到下列本征问题：,（2）,无热源均匀细杆一端与外界有热交换的热传导的本征问题：,本征值和本征函数：,50,上式：,（3）,勒让德方程：,50,自然边界条件：,也是勒让德方程的正则奇点.有限级数解要求,是系数函数的一级极点(正则奇点),（4）,厄米方程：,自然边界条件：,上式表示：,是厄米方程的正则奇点.物理问题要求,本征值和本征函数：,51,1 本征值问题的一般
14、提法,二阶齐次常微分方程最一般的形式：,51,常见的本征值问题都可以归结为施图姆刘维尔型本征 问题。,其中是一个参数， 是权重函数。,改写为,上式两边乘因子,整理后得方程：,52,记,52,得施图姆刘维尔型方程,在一定的边界条件下，只有当参数取某些特定的值时，方程才有非零解，这种值称为问题的本征值，而相应的非零解称为问题的本征函数，所求解的问题就叫本征值问题。,使施图姆刘维尔型方程构成本征问题所需的边界条件是何类边界条件？,通常有三类情况：,53,（1）,分离变量后与空间位置相关的方程：,而整合边界条件：,施图姆刘维尔型方程,以两端固定弦横向振动和无热源细杆热传导问题为例。,此方程本质上是施图
15、姆刘维尔型方程中系数函数取下列值：,对于两端固定弦横向振动,细杆一端与外界有热交换的传导,推论：,时，施图姆刘维尔型方程构成本征问题的边界条件是：,54,上式：,（2）,54,自然边界条件：,由勒让德方程得勒让德多项式要求,是系数函数p(x)的一阶零点（或一级极点）。,以由勒让德方程求勒让德多项式问题为例。,此方程本质上是施图姆刘维尔型方程中系数函数取如下形式：,推论：,时，施图姆刘维尔型方程构成本征问题的自然边界条件是：,55,（3）,下列本征问题属于这一类：,本征函数：,本征值：,时，施图姆刘维尔型方程构成本征问 题的边界条件是自然边界条件：,56,2 本征值问题的一般性质,（1）如 连续
16、或最多以x=a 和x=b为一阶极点，则存在无限多个本征值：,及无限多本征函数,（2） 所有本征值,证：,56,由本征方程,分步积分,上式两边乘任意本征函数 y *n,对等式两边分别积分,57,对于第一类、第二类齐次边界条件及周期性自然边界条件,对于第三类齐次边界条件：,所以,即,57,上式改写为,又由于,58,（3） 对应于不同的本征值的本征函数带权 正交：,本征值与本征函数一一对应：,58,证：对应于n的方程,乘ym改写为,乘y*n改写为,两式相减,对应于m的方程,59,第一、第二类齐次或自然边界条件：,上式两边积分,得,由复合函数求导运算规则,上式改写为,积分,60,第三类齐次边界条件：,
17、同样：,（4） 本征函数族y1(x), y2(x), y3(x),是完备的。,对于一个具有连续一阶导数和分段连续二阶导数，且满足本征函数族所满足的边界条件的函数f(x) 。则可以用本征函数族yn(x)展开为绝对且一致收敛的广义傅里叶级数,则有：,61,和由本征函数带权正交关系：,级数 称为函数的广义傅里叶级数，系数cn称为广义傅里叶系数。函数族yn(n=1,2,3)称作函数基。,易得广义傅里叶系数：,广义傅里叶级数两边乘,则有：,令：,62,63,例10.7 证明（x-x0）（x0是常数，ax0b）关于归一化本征函数族|y(x)|的广义傅里叶级数可以表示为,证：利用广义傅里叶级数的定义，有,用 乘两边，得,因为,其中,所以,所以有,64,（1）当本征函数|y(x)|（0xl）取,由于,所以,由于,所以,（2）当本征函数|y(x)|（0x2）取,65,10.8,本讲作业,66,67,课堂练习之三,68,