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1、,学案2 等 差 数 列,考点1,考点2,考点3,返回目录,考 纲 解 读,等差数列知识在高考中属必考内容,通常直接考查等差数列的通项公式、前n项和公式的题目为容易题,一般以选择题、填空题形式出现，而与其他知识（函数、不等式、解析几何等）相结合的综合题一般为解答题，难度不大为中档题.近几年主要考查等差数列通项公式、求和公式的综合题，难度较小.,考 向 预 测,返回目录,返回目录,1.等差数列的概念 一般地，如果一个数列从 ，那么这个数列就叫做等差数列.它具有如下特征： an+1-an=d（常数）或者an+2-an+1=an+1-an(nN*). 2.通项公式 an= ，推广：an=am+ ,第
2、2项起，每一项与前一,项的差都等于同一个常数,a1+（n-1）d,（n-m）d,返回目录,变式:a1=an+ ;d= . 由此联想到点列(n,an)所在直线的 . 3.等差中项 若a,b,c成等差数列,则称b为 , 且b= ,a,b,c成等差数列是2b=a+c的 . 4.前n项和Sn= = . 变式：,（1-n）d,y=dx+（a1-d）,a与c的等差中项,充要条件,5.等差数列an的一些常见性质 （1）若m+n=p+q（m，n，p，qN*）, 则 . （2）项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即ak，ak+m，ak+2m，（k，mN*）成等差数列. （3）设Sn是等差数列an的前n项和，
3、则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，构成的数列是 数列.,返回目录,等差,am+an=ap+aq,2010年高考大纲全国卷记等差数列an的前n项和为Sn,设S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列,求Sn.,考点1 基本量计算,返回目录,【分析】在等差数列中有五个重要的量a1，an，d，n，Sn，只要已知任意三个，就可求出其他两个.其中a1和d是两个最重要的量，通常要先求出a1和d.,返回目录,方程思想是解决数列问题的基本思想，通过公差列方程（组）来求解基本量是数列中最基本的方法，同时在解题中也要注意数列性质的应用.,返回目录,2009年高考江苏卷设an是公差不为零的等差数列，Sn为其
4、前n项和，满足a22+a32=a42+a52，S7=7. （1）求数列an的通项公式及前n项和Sn； （2）试求所有的正整数m,使得 为数列Sn中的项.,返回目录,【解析】(1)由题意,设等差数列an的通项公式为 an=a1+(n-1)d,d0. 由a22+a32=a42+a52知2a1+5d=0. 又因为S7=7,所以a1+3d=1. 由可得a1=-5,d=2. 所以数列an的通项公式an=2n-7,Sn=na1+ d=n2-6n.,返回目录,(2)因为 为数列Sn中的项，故 为整数. 又由(1)知am+2为奇数,所以am+2=2m-3=1,即m=1或2. 经检验,符合题意的正整数m不存在.
5、,返回目录,(1) 2010年高考大纲全国卷如果等差数列an中,a3+a4+a5=12，那么a1+a2+a7= ( ) A.14 B.21 C.28 D.35 (2)设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( ) A.63 B.45 C.36 D.27,【分析】由等差数列性质求解，更简单.,考点2 等差数列的性质及应用,返回目录,返回目录,解法二：由等差数列的性质知： S6-S3=36-9=27, d=27-9=18, a7+a8+a9=S3+2d=9+218=45. 故应选B.,返回目录,等差数列的简单性质: 已知数列an是等差数列,Sn是其前n项和. (
6、1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq. 特别:若m+n=2p,则am+an=2ap. (2)am,a m+k,a m+2k,a m+3k,仍是等差数列,公差为kd. (3)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也是等差数列. (4)S2n-1=(2n-1)an. (5)若n为偶数,则S偶-S奇= d. 若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项). (6)数列can,c+an,pan+qbn也是等差数列,其中c,p,q均为常数,bn是等差数列.,返回目录,（1）等差数列an中, a15=33,a45=153,则d= . （2）等差数列an中，a1+a2+a3+a4+a5=20，则a3=
7、 . （3）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为 146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为 （ ） A.13 B.12 C.11 D.10,返回目录,（1）由d= ，得d= =4. （2）由a1+a5=a2+a4=2a3，得5a3=20，所以a3=4. （3）因为a1+a2+a3=34，an-2+an-1+an=146， a1+a2+a3+an-2+an-1+an=146+34=180， 又因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2， 所以3（a1+an）=180，从而a1+an=60， 所以Sn= ，即n=13.故应选A.,返回目录,在等差数列an中,已知a1=20,前
8、n项和为Sn,且S10 =S15, 求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.,【分析】 (1)由a1=20及S10=S15可求得d,进而求得通项,由通项得到此数列前多少项为正,或利用Sn是关于n的二次函数,利用二次函数求最值的方法求解.(2)利用等差数列的性质,判断出数列从第几项开始变号.,考点3 等差数列前n项和的最值,返回目录,【解析】解法一：a1=20,S10=S15, 1020+ d=1520+ d, d=- . an=20+(n-1)(- )=- n+ . a13=0. 即当a12时，an0，n14时，an0. 当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为 S12=S13
9、=1220+ (- )=130.,返回目录,解法二：同解法一求得d=- . Sn=20n+ (- )=- n2+ n =- (n- )2+ . nN+,当n=12或13时，Sn有最大值， 且最大值为S12=S13=130.,返回目录,解法三：同解法一得d=- . 又由S10=S15，得a11+a12+a13+a14+a15=0. 5a13=0，即a13=0.当n=12或13时,Sn有最大值, 且最大值 为S12=S13=130.,返回目录,求等差数列前n项和的最值，常用的方法： （1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项； （2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值； （3）利用等差数
10、列的前n项和Sn=An2+Bn（A，B为常 数） 为二次函数，根据二次函数的性质求最值.,返回目录,在等差数列an中，a10,S9=S12,求数列前多少项和最小.,解法一：由S9=S12，得9a1+ d=12a1+ d,得 3a1=-30d，d=- a1.a10,d0, Sn=na1+ n（n-1）d= dn2- dn= (n- )2- d.d0,Sn有最小值. 又nN*,n=10或n=11时，Sn取最小值，最小值是-55d，即S10或S11最小且S10=S11=-55d.,返回目录,解法二：由解法一知d=- a10,又a10, 数列an为递增数列. a0, a1+（n-1）d0 an+10,
11、 a1+nd0 a1+(n-1)(- a1)0 1- (n-1)0 a1+n(- a1)0 1- n0 10n11, 数列的前10项均为负值，a11=0，从第12项起为正值. n=10或11时，Sn取最小值.,即,令,返回目录,解法三：S9=S12，a10+a11+a12=0，3a11=0，a11=0. 又a10,数列为递增数列. 因此数列的前10项均为负值，a11=0，从第12项起为正值. 当n=10或11时，Sn取最小值.,返回目录,1.深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点. 2.由五个量a1，d，n，an，Sn中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，
12、要善于减少运算量，达到快速、准确的目的. 3.已知三个或四个数成等差一类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a，a+d，a+2d外，还可设a-d，a，a+d；四个数成等差数列时，可设为a-3d，a-d，a+d，a+3d.,返回目录,4.证明数列an是等差数列的两种基本方法是： （1）利用定义，证明an-an-1（n2）为常数. （2）利用等差中项，即证明2an=an-1+an+1（n2）. 5.等差数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应熟练掌握、灵活运用. 6.等差数列an中，当a10,d0时，数列an为递增数列，Sn有最小值；当a10,d0时，数列an为递减数列，Sn有最大值，当d=0时，an为常数列.,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,