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1、一、交错级数及其判别法,定义: 正、负项相间的级数,3 一般项级数,为交错级数,定理12.11（莱布尼茨判别法）设,满足以下两个条件,1）数列,单调递减,2）,则,收敛,证明,所以数列,收敛,推论 若级数,满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数,的余项估计式为,二、绝对收敛与条件收敛,若级数,收敛，则称级数,绝对收敛,若级数,收敛，但是级数,不收敛，则称级数,为条件收敛。,定理12.12 若级数,收敛，则级数,收敛,对任何正数,总存在正数N，使得nN和任意正数r,有,证,由于,因此由柯西准则知级数,也是收敛的。,例1 证明级数,绝对收敛 .,证 由于对任何实数,有,，,所以对所考察的级数对任何实
2、数,级数都绝对收敛,绝对收敛级数的两个重要性质,1. 级数的重排,则任意重排得到的级数也绝对收敛,且有相同的,定理12.13 设级数,绝对收敛,且其和等于,和数.,注:由条件收敛级数重排得到的新级数,即使收敛也不一定收敛于原来的和数,而且条件收敛收敛级数适当重排后,可得到发散级数,或收敛于任何事先指定的数.如：,2. 级数的乘积,设,为收敛级数，他（1）与（2）中每一项所有可能的乘积列成下表：,这些乘积,可以按各种方法排成不同的级数，,常用的有按正方形顺序或按对角线顺序依次相,加，于是分别有：,和,定理12.14 (柯西定理) 若级数(1)、（2）都绝对,收敛，则对（3）中所有乘积,按任意顺序
3、排列,所得到的级数,也绝对收敛，且其和等于,例2 等比级数,1,是绝对收敛的，将,按,的顺序排列，则得到,=1+2,三、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法,引理（分部求和公式）设,为两组,实数，若令,则有如下分部求和公式成立：,证：以,分别乘以,整理后就得所要证的公式。,推论 （阿贝耳引理）若,（1）,是单调数组；,（2）对任一正整数,有,则记,时，有：,证：由（1）知,都是,同号的，于是由分部求和公式及条件（2）推得,以下讨论级数,的收敛性。,例3 若数列,具有性质:,则级数,和,对任何,都收敛.,解:因为,当,时,故得到,所以级数,的部分和数列当,时,有界,由狄利克雷判别法推得级数,收敛.,同理可证级数,也是收敛的.,特别地,级数,和,对一切,都成立.,