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1、第四章：弹性微可压缩液体的不稳定渗流,1.弹性不稳定渗流的物理过程,2.无限大地层弹性不稳定渗流数学模型典型解,3.弹性不稳定渗流的迭加与映射,4.圆形封闭地层中心一口井拟稳态时近似解,5.带时间常数变量边界条件的不稳定渗流杜哈美原理,6.不稳定试井,4-1 弹性不稳定渗流的物理过程,当地层压力逐渐下降时，原来处于压缩状态的可压缩流体就要发生膨胀，迫使部分流体从地层流入井底。当压力下降后,岩石颗粒膨胀，岩石孔隙体积减小，又从地层排出部分液体。,在油田开发初期，地层压力高于饱和压力，主要依靠岩石与原油的弹性能量开采，称这种方式为“弹性驱动方式”。,弹性驱动时，因地层内压力随时间而变，因此为不稳定
2、渗流方式。压力降从井底开始逐渐向外传播。,一. 水压弹性驱动,条件：储集层外有广大的含水区，能充分地向地层补给弹性能量，认为补给边缘上的压力保持不变。,1.油井以定产量生产时，地层压力的传播,(2)压力波传播第二阶段(压力波传到边界之后）,特点,(1)压力波传播第一阶段,特点,2.井底压力保持不变,仍可分压力波传播的第一阶段和第二阶段,二. 封闭弹性驱,条件：储层外边无能量补充，为一 不渗透的封闭边界。,1. 井以定产量生产时的压力波传播,在第二阶段，由于无外来流体能量补给，油藏压力将继续下降，下降到一定时间各点的压降速度趋于一致，称“拟稳定状态”。,拟稳定状态：封闭油藏弹性渗流过程中，井以定
3、产量生产时，压力波传到边界后经过一定时间，地层内各点的压降速度相等时的阶段，称“拟稳定状态”。,2.井底压力保持不变,第一阶段与前相同，进入第二阶段后，压力不断下降，产量不断减小，直到产量为零。,4-2 无限大地层弹性不稳定渗流数学模型典型解,弹性不稳定渗流的数学模型为：,式中 =K/c 称导压系数。当K为m2, 为mPa.s, c为1/10-1MPa时， 为cm2/s,表示单位时间内压降传播的面积。,取极坐标，则2式为：,设有均匀、等厚、水平无限大地 层中心一口井进行弹性不稳定渗流，则流动为平面二维流动，数学模型为：,井以恒定产量Q生产时，有相应的初始边界条件为：,下面用Boitzmann变
4、换求解上数学模型，设,对r和t分别求偏导：,式改写为 ：,式对中间变量u进行微分：,将.式代入：,化简为：,或,又设：,则式为：,=,+,+u,13,0,uP,du,dP,P,分离变量:,得,式中C1为积分常数,则:,C2为常数,即:,又有达西公式:,则,由式:,t=0时, u=, P=Po,t=t时, u=u, P=P(r,t),又,对式分离变量积分:,从而求得地层中任意点(距井r处),在任意t时刻的压力表达式:,当u增加(r增加或减小时)， -Ei(-u)减小，Pi-P(r,t)变小，而P(r,t)值增加，即距井越远处压降越小，压力值越大；时间t越大时，u越小， -Ei(-u)值大，则压降
5、值大，压力P(r,t)变小。,Ei(-u)可查数学手册中幂积分函数表。,又已知幂积分函数可展开为：,如研究的是注水井，注入量取-Q,地层中任意点压力增值为：,对于井底 r = Rw, 则一般,满足近似条件，井底压力随时间的变化规律为：,例：在一较大的新油田上，有一完善井，地下恒定流量为100m3 /D投入生产，Rw=10cm, o=2mPaS, h=10m, K=0.5 m2,=10000cm2 /s,预测井底压降情况。,解：t=0.1天时，,可用近似公式计算，则,计算得：,公式 是井以恒定条件下推导的 ,对于产量呈阶梯状变化的情况,应对产量进行迭加.,如图,产量共有n个变化过程,可把流量变化
6、过程看作是n个流动过程的迭加:第一流动过程t1时刻,其流量为Q1-Q0=Q1,第二流动过程始于t2时刻，其流量为Q2-Q1；第n个流动过程始于tn时刻,其流量为Qn-Qn-1 ，各流动分别在t时刻产生一压降Pj。,则t时刻总压降为各压降之和，即,或,对应近似公式有,例：无限大地层中有一口生产井，其产量变化如图所示，推导t时刻井底压力表达式,解：求井底压力变化，用近似公式(why?),则井底压力表达式为：,4-3 弹性不稳定渗流的迭加与映射,迭加原理可以处理多井生产时，渗流场中压力的变化；镜像反映法可以处理边界对渗流场影响。,一、迭加原理,弹性渗流时，在生产井周围压力不断降低，在注水井周围压力不
7、断增加，在整个渗流场中形成一总的合成流动。研究表明，多井工作时形成的总压降等于各井单独工作时在该点该时刻形成的总压降之和，即压降的迭加原理。（2004年研究生考题）,注意是压降的叠加，而不是压力的叠加。,设油田有n口井，气流量分别为Q1, Q2, Q3, Qn,则该井的压降计算公式为：,式中：Qj 第j口井单井产量； Pj 第j口井在r处t时刻产生的压降； rj 任意点到j井的距离； tj 第j口井开始生产的时间； t 任意生产时刻。,由迭加原理，n口井产生的总压降为：,例: 某油田一探井以20t/d投产，生产15天后距该井1000m处，有一新井以40t/d投入生产。求第一口井生产30天后井底
8、压力降为多少？已知 K=0.25m2,Rw=10cm, o=9mPas, h=12m, o=0.85, c =1.810-5/10-1MPa, Bo=1.12。,解：,则 第一口井可用近似公式计算压降P1,则 第二口井不能用近似公式计算压降P2,由迭加原理：,33，34，35，39，40,作业,二、镜像反映理论,当源、汇靠近供给边界、不渗透边界时，应该按镜像反映法取消边界。,与稳定渗流中的镜像反映法一样，供给边缘附近的井作异号反映，不渗透边界的井作同号反映，同时应注意边界一起反应。,4-4 圆形封闭地层中心一口井拟稳态时近似解,圆形封闭地层中心一口井拟稳态时精确解比较复杂，可利用拟稳态时的特性
9、进行近似求解。,拟稳态：在封闭油藏弹性渗流过程中，当压力降传到边界 一 段时间后，油层内各点压降速度相等时的状态。,设弹性渗流仍服从线性渗流定律，则：,式中： C 综合压缩系数 Vf =（Re2- Rw2 ）h,式对时间求导：,因在拟稳态下，各点压降速度相等，则：,由式：,则圆形封闭地层中心一口井拟稳态情况下满足以下数学模型：,则式为：,分离变量为：,代入边界条件:,：,若边界条件压力Pe(t)已知，可得P(r,t)的另一表达式，此时定解问题为：,同样有：,把式代入：,：,当r=Rw时，且考虑Re2 Rw2，则井底压力表达式：,拟稳态时，圆形封闭地层平均压力计算：,由面积加权平均法，有平均地层
10、压力为：,(1) 当Pw(t)已知时，把(13)代入得：,(2) 当Pe(t)已知时，把(20)代入得：,由以上公式，可进行弹性渗流法的动态预测。当产量恒定时，给定时间t，得相应总排量：V=Qt,忽略Rw2项，整理有：,作业：41,4-5 带时间变量边界条件的不稳定渗流 杜哈美原理,在实际的渗流问题中，会有大量的带时间变量的边界条件的不稳定渗流，如求解变产量总汇的不稳定渗流问题。杜哈美（Duhamel）原理则是解决这类问题的有效工具。,一、杜哈美原理和迭加原理,二、变产量不稳定渗流的汇源解,4-6 不稳定试井,不稳定试井：利用油井以某一产量进行生产或生产一定时间后关井时所实测的井底压力随时间变
11、化的资料，用以反求地层参数的方法。,不稳定试井可求解如下问题：,1. 确定井底附近或两井之间的地层导压系数，流动系数Kh/等地层参数；,2. 推算地层压力；,3. 判断油井完善程度及估计油井增产效果；,4. 发现油层中可能存在的各种类型边界（断层、尖灭、油水界面等）；,5. 估计泄油面积内的原油储量。,目前常用的有两种方法：压力降落法和压力恢复法。,一、开井压力降落试井法,圆形封闭地层开井生产井底压力降落曲线可分为三个阶段： 、不稳定早期，压力传到边界前的第一阶段； 、不稳定晚期，压力传到边界后，拟稳定状态形成前的阶段； 、拟稳定期。,1.不稳定早期压降分析及应用,在不稳定早期，地层中任一点的
12、压力变化用无限大地层典型解表示：,井底压力随时间的变化式为：,因此以Pwf(t)为横坐标，以Lg t为纵坐标，在半对数坐标中Pwf(t)t呈直线关系，其截距为A,斜率为m。,由 式可求得地层参数，其中流动系数为：,2、拟稳定期压降曲线分析及应用,由圆形封闭地层弹性渗流数学模型，用拉普拉斯变换，可得井底压力为：,当t 时， e的负指数趋于零，有：,因此以Pwf(t)为纵坐标，以t为横坐标，在直角坐标系中Pwf(t)t呈直线，截距为D，斜率为m，利用m可求出地层储量。,一般用压降曲线早期段求流动系数Kh/,用拟稳定流动段求地层储量。,二、关井压力恢复试井法,1、压力恢复试井的基本公式赫诺（Horn
13、er）公式,设某井以产量Q生产T时间后关井，则关井效应可看成原井继续以产量Q生产，从关井时刻又有-Q的流量从该井点注入，如图：,则关井后t时刻井底压降为：,式即为 Horner 公式，表明在半对数坐标中 Pwf 与 Lg t/(T+t)呈直线。直线斜率为 m=0.183Q/Kh,由此可求流动系数Kh/。,当t，t/(T+t) 1,由式Pwf(t) ,即可用压力恢复曲线的外推法求原始地层压力。,2、压力恢复试井的简化公式MDH公式,实际生产过程中油井的工作制度是在经常变化的，关井前的生产时间T很难确定，因此对Horner公式进行简化。,油井关井前稳定生产时间越长，油井继续以Q生产所引起的压降就越
14、小。因此，在关井时间不太长的条件下，可以近似的以关井瞬时起由虚拟注入井引起的压力升值，代替井底压力的恢复值。,上式即为MDH公式，上式表明在半对数坐标中，Pwf(t)与Lg t呈直线关系，其截距为A,斜率为m。,从截距A可求油井的折算半径Rwr：,本章要点,一、基本概念,弹性驱动； 压力波传播的第一、二阶段； 拟稳态； 导压系数； 不稳定试井。,二、内容,1、弹性不稳定渗流的物理过程。,2、弹性不稳定渗流的无限大地层典型解,解,3、圆形封闭地层中心一口井拟稳态时近似解,解,习题33：解,综合压缩系数：,原始储量：,弹性储量：,34题：,35题：,39题：,T,t,Q1,Q2,弹性驱动油藏中，某井以Q产量生产t1时间后关井，至t2时刻有开井以Q生产，试推导再生产t时间的井底压力表达式。,例：,解：由压力迭加原理,所以井底压力表达式：,