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1、一、频率的定义与性质,二、概率的定义与性质,三、小结,第三节 频率与概率,1. 定义,一、频率的定义与性质,2. 性质,设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则,实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率.,波动最小,随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性,从上述数据可得,(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且逐渐稳定于 0.5.,(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同;,重要结论,
2、频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增 大时 ， 频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小它就是事件的 概率,1933年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构 ，给出了概率的严格定义 ，使概率论有了迅速的发展.,二、概率的定义与性质,柯尔莫哥洛夫资料,概率的可列可加性,1. 概率的定义,证明,由概率的可列可加性得,2. 性质,证明,由概率的可列可加性得,证明,证明,证明,证明,由图可得,又由性质 3 得,因此得,推广 三个事件和的情况,n 个事件和的情况,解,2. 概率的主要性质,三、小结,Born: 25 Apr. 1903 in Tambov, Tambov province,Russia Died: 20 Oct. 1987 in Moscow, Russia,柯尔莫哥洛夫资料,Andrey Nikolaevich Kolmogorov,