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1、计算物理 http:/125.217.162.13/lesson/ComputationalPhysics 薛定谔方程数值解 薛定谔方程数值解 n薛定谔方程 n定态方程的矩阵解法 n含时方程的解法 n非线性薛定谔方程解法 n薛定谔方程的有限元方法 薛定谔方程(1/1) n薛定谔方程 n单粒子 n多粒子 n定态薛定谔方程(势能不显含时间) n一维的单粒子 定态方程的矩阵解法(1/9) n实对称矩阵的对角化 n定理：如果 A 是实对称矩阵，那么存在正交矩阵 R，使得 n雅可比方法：基于上述定理，用一系列简单的正交矩阵 RK ，逐步将 A 对角化，即选择 RK，令 取 A0 = A，使得当 K 时，
2、AK diag(l1, l2, , ln) n本征值： l1, l2, , ln n本征向量： 定态方程的矩阵解法(2/9) n矩阵 n对角化 22 实对称矩阵 A 定态方程的矩阵解法(3/9) n对角化 nn 实对称矩阵 A 定态方程的矩阵解法(4/9) n例：计算 33 实对称矩阵 A 的本征值和本征向量 nA0 = A，选 p = 1, q = 2 n选 p = 1, q = 3 n第 9 次 定态方程的矩阵解法(5/9) n久期方程方法 n例：计算实对称矩阵的本征值问题 n久期方程和本征值 n本征向量 定态方程的矩阵解法(6/9) n定态薛定谔方程的矩阵解法 n有限差分法 n例：一维无
3、限深势阱 n定态薛定谔方程的差分格式 n差分方程的实对称矩阵和本征值问题 定态方程的矩阵解法(7/9) n波函数 n有限差分法的步骤 n将定态薛定谔方程转化为差分格式 n写出差分方程的实对称矩阵，并对角化 定态方程的矩阵解法(8/9) n希耳伯特空间的方法 n例：一维无限深线性势阱 n希耳伯特空间的基矢 n哈密顿算符和矩阵元 定态方程的矩阵解法(9/9) n对角化(以 为能量单位)，结果分析 n步骤 n选择适当的表象(即基矢)，推导哈密顿矩阵元 n计算哈密顿矩阵，并对角化 含时方程的解法(1/10) n非本征态的时间演化 n特点：初始态 系统的本征态 n解法1：有限差分方法解多维扩散方程 n一
4、维含时薛定谔方程的差分格式 n利用 k 时的 y 值，求 k+1 时的 y 值 n要求解线性方程组隐式的 含时方程的解法(2/10) n边界条件 n束缚态：y = 0 n非束缚态：假设初始态是束缚态， x 足够大，在 T 内，x 左右边界处的 y = 0 n方程组的矩阵形式： 含时方程的解法(3/10) 含时方程的解法(4/10) 含时方程的解法(5/10) n例：先将一个粒子用谐振子势束缚在 基态，然后放入无限深势阱的中央， 求其波函数 Y 随时间的演化 y w l-lx n初始态(即 k = 0)：谐振子的基态 n由 k = 0 的差分方程组，求 k = 1 时刻的波函数 n方程 n未知量
5、 n已知量 含时方程的解法(6/10) 含时方程的解法(7/10) 含时方程的解法(8/10) n由 k = 1 的差分方程组，求 k = 2 时刻的波函数 n方程 n未知量 n已知量 n由 k = 2 的差分方程组，求 k = 3 时刻的波函数 nn 维含时薛定谔方程的差分格式：Nn Nn 的矩阵 含时方程的解法(9/10) n解法2：(希耳伯特空间的方法)将初始态在基矢上展开 n势能函数不含时(Q 表象，基矢是 un ) 写成矩阵形式， Y 和 H 都是矩阵 n当 Q = H 时，un 是哈密顿量的本征态，H 是对角阵 含时方程的解法(10/10) n当 Q H 时，un 不是哈密顿量的本
6、征态，H 非对角 n例：先将一个粒子用谐振子势束缚在 基态，然后放入无限深势阱的中央， 求其波函数 Y 随时间的演化 y w l-lx n初始态：谐振子的基态 n基矢：无限深势阱的能量本征函数 n常数 cn 非线性薛定谔方程解法(1/10) n非线性薛定谔方程(Gross-Pitaevskii方程) n实质是非线性偏微分方程，一般没有解析解 n希耳伯特空间的迭代法(定态)：非线性项线性化 非线性薛定谔方程解法(2/10) n例：求解 f = x 2 的一维 G-P 方程( 0 x l ) n方程： n基矢： n哈密顿矩阵元 非线性薛定谔方程解法(3/10) nl = 5, a = 5 非线性薛
7、定谔方程解法(4/10) n有限差分的迭代法(一维定态)：非线性项线性化 非线性薛定谔方程解法(5/10) n例：求解 f = x 2 的一维 G-P 方程( 0 x l ) n迭代方程 n系数矩阵 非线性薛定谔方程解法(6/10) n有限差分法(一维含时) n二元非线性方程组的迭代法：非线性问题线性化 (关键：Jocobi矩阵 J ，初值要接近解) 非线性薛定谔方程解法(7/10) n多元非线性方程组 (关键：Jocobi矩阵 J ，初值接近解 ) 非线性薛定谔方程解法(8/10) n例：解非线性方程 nJocobi矩阵 n初值 n迭代 非线性薛定谔方程解法(9/10) n有限差分法(一维含时) 非线性薛定谔方程解法(10/10) n有限差分法(一维含时)(续) 作业 nPPT.22 用Fortran实现，要求将 |Y(x,t)|2 输出到数据 文件