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1、专家系列讲座,高三数学组,镇江市网络同步教学平台,镇江市网络同步教学平台,同学们,当老师提问或请同学们练习时，你可以按播放器上的暂停键思考或练习，然后再点击播放键。,友情提醒,数列的应用,江苏省句容高级中学 吴鹤群,审稿 镇江市教研室 黄厚忠 庄志红,数列的应用一直是高考的重点，也是热点。经常会出现数列与方程、函数、不等式、三角、几何等其它数学知识的综合应用，难度为中高档题。,高考展望,主要题型,一、等差数列、等比数列的实际应用 1.等差模型 2.等比模型 3.等差、等比混合模型 4.递推模型 二、与方程、函数、不等式、三角、几何等其他数 学知识的综合应用,解题策略,弄清题意，分析涉及哪些教学
2、内容，在每个教学内容中，各是什么问题。 分解：把整个大题分解成几个小题或“步骤”，判断每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等等。 求解：分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答。,在圆x2+y2=5x内，过点A( ， ) 有n(nN*)条弦，它们的长度构成等差数列。若a1为过该点最短弦的长，an为过该点最长弦的长，公差d( ， ），求n的值。 解：如图，由圆的相关知识知弦BC为 过点A的最短弦，DE为最长弦。 不难解得BC=a1=4，DE=an=5 又 an =a1+(n-1)d，则5=4+(n-1)d (n-1)d=1，n-1= (3,5
3、) n(4,6)且nN* 故 n=5 点评：本题是以解析几何为背景考查等差数列通项公式的应用，其中过圆内一点的弦何时最长，何时最短应理解性记忆。,基础训练 1,点评：本题以增长率为背景考查等比数列，这类问题要分清所有涉及量是an还是Sn，数清项数。 同学们想一想：还有哪些常见实际题也是等比数列型？ 人口增长、绿地（森林）覆盖、旧房改造、银行复利等。,基础训练 2,某种产品三次调价，单价由原来的每克512元降到216元，则这种产品平均每次降价的百分率为多少？ 解析：设这种产品平均每次降价的百分率为p，则三次调价后 的价格分别为512(1-p)、512(1-p)2、512(1-p)3 它们成等比数
4、列。 由题意知：512(1-p)3=216,某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员。第1名得全部资金的一半多一万元，第2名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第5名恰好资金分完，则此科研单位共拿出多少万元资金进行奖励？,点评：本题是递推型数列应用，主要是弄清题意，求出首项和递推关系。,基础训练 3,解析：设第n名在领取前所剩资金数为s万元，则其应得资金数为 记为 an，此时剩余资金为 ，第n+1名应得奖金数 记为an+1， 消去s可建立 an=2an+1 这样的关系式，,又由题意：到第五名恰好资金分完，则,由可知： 因此：科研单位共拿出62万元资金进行奖励。,例1：在等
5、差数列an中，公差d0,a2是a1与a4的等比中项，已知数列 成等比数列，求数列kn的通项公式 解：由已知得 于是 由 成等比数列 得公比,点评；本题是等差与等比混合模型，要点有二，一是akn具有双重性，既是等比数列中的项，又在原等差数列an中做项，二是弄清项数即akn在等比数列中为第n+2项。,典型例题1,：已知64个正数排成如图所示的8行8列。在符号aij (1i8,1j8,i,jN*)中，i表示该数所在行数。j表示该数所在列数。已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比都等于q，若a11= ，a24=1，a34= 求aij的通项公式 记第k行各项和为Ak，求A1的值及A
6、k的通项公式 若Ak1,求k的值。,解：设第一行的数成等差数列的公差为d, 又a24=a14q=(a11+3d)q a32= a12q2=(a11+d)q2 即 解得:d= 或d= (舍去），代入得q= aij=a1jqi-1=a11+(j-1)d) qi-1=( )ij,典型例题1变式,( +3d )q =1 ( +d )q2= ,a11 ,a12 ,a13 , ,a18 a21 ,a22 ,a23 , ,a28 a31 ,a32 ,a33 , ,a38 a81 ,a82 ,a83 , ,a88,典型例题1,Ak=ak1+ak2+ak8=( )k(1+2+3+8）=36( )k A1=36(
7、 )1=18 Ak36 k6 又1k8 且kN* 因此 k=6,7,8,点评：这是一道等差数列与等比数列综合的数阵问题，要求同学们认真读题，弄清什么成等差？什么成等比？如何假设？本题是转化到第一行进行求解的。,典型例题1变式,例2 ： 已知二次函数y=f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为 f(x)= 6x2，数列 an 的前n项和为Sn，点(n , Sn )(nN*)均在函数y=f(x)的图像上， 求数列an的通项公式； 设 ，Tn是数列 bn 的前n项和，求使得Tn 对所有nN*都成立的最小整数m,解：依题意可设f(x)=ax2+bx（a0），则f(x)= 2ax+b 由f(x)=6x2
8、得a=3,b=2 所以f(x)=3x22x 又由点(n，Sn)(nN*)均在函数y=f(x)的图像上得Sn=3n22n 当n2时an=SnSn-1=(3n22n)3(n1)22(n1)=6n5 当n=1时，a1=S1=31221=615 an=6n5 (nN*),典型例题2,故,因此，使： （n N*）恒成立,记 （n N*）则需,而g(n)在nN*上为增函数，,即m 10,故满足要求的最小整数为10。,点评：本题是以二次函数及导函数为背景，主要考查由Sn求an，特殊数列求和，以及恒成立等问题，难度不大，但综合性强，知识覆盖面广，能有效考查综合解题能力。,典型例题2,典型例题3,由原点O向三次
9、曲线 引切线，切于点 （O、 两点不重合），再由P1引此曲线的切线，切于点 （P1、P2 不重合），如此继续下去，得到点 。（1）求 ；（2）求 与 满足的关系；（3）若a0，试判断 与a的大小关系，说明理由。,解：（1）由 得 ，,（2）过曲线上的点 的切线方程是： 过曲线上点,过曲线上点 的切线 的斜率为, 的方程为：,又 过原点，有, ，而 ，故,故,典型例题3,（3）由（2）得：,故数列xn-a是以x1-a= 为首项，公比为 的等比数列,a0 当n为偶数时： 当n为奇数时：,点评：此类递推题型求法求出首项； 根据题意求出an与an-1(an+1)的关系式；利用累加、迭乘或者构建等比数列
10、加以求解。,即：,典型例题4,典型例题4,典型例题4,典型例题4,典型例题4,典型例题4,点评：本题是数列与函数、几何、不等式相关知识的综合问题，考查了定义法证明等比数列、等差与等比的相互转换，渗透了化归与转换思想。,解决数列的应用问题必须准确探索问题所涉及的数列模型 如果问题所涉及的数列是特殊数列，如等差数列、等比数列、或与等差、等比有关的数列等等，应首先建立数列的通项公式。 如果问题所涉及的数列不是某种特殊数列，一般考虑先建立数列的递推关系。 解决数列的应用问题必须准确计算项数。例如与“年数”有关的问题，必须确定起算的年份，而且应准确定义an是表示“第n年”还是“n年后”。相信同学们仔细读
11、题不难分辨。,总结,总结,谢谢！,夏季高山上气温从山脚起每升高100米降低0.7，已知山顶气温是14.1，山脚的气温是26，那么此山相对于山脚的高度是。 下面给出一个“直角三角形数阵” 满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为aij(ij,i,jN*),则a83=_ 已知等差数列an的前n项和为Sn.若 =a1 +a100 ,且、C三点共线(该直线不过点)，则S200等于_ 一个三角形的内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角所成等差数列的公差等于_。,课外练习,课外练习,课外练习,已知数列an、bn都是公差为1的等差数列，其首项分
12、别为 a1,b1,且a1+b1=5,a1,b1N*，设cn=abn(nN*),则数列cn的前10项和等于 设f1(x)= ，fn+1(x)=f1fn(x)，且an= ，则 a2009=_ 由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生60100万难民。联合国难民署计划从4月1日起为伊难民运送食品。第一天送1000t，第二天运送1100t，以后每天都比前一天多运送100t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减100t，连续运送15天，总共运送21300t,求在第几天达到运送食品的最大量。,课外练习,已知数列log2(an-1)(nN*)为等差数列，a1=3,a3=9。 求数列an的通项公式 证明：
13、 已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2-2x的图像上，其中nN* 证明数列lg(1+an)是等差数列。 设Tn=(1+a1)(1+a2) (1+an),求Tn及数列an的通项。 设bn= ,求数列bn的前n项和Sn，并证明,课外练习,答案：1. 1700米 2. 3. 100 4. 0 85 第9天 解： 记bn=log2(an-1) 且a1=3, a3=9 b1=1, b3=3 又 log2(an-1)为等差数列 b3=b1+2d 则d=1 log2(an-1)=1+(n-1) 1=n an=2n+1 (nN*) an+1-an=(2n+1+1)-(2n+1)=2n ,课外练习, 证明：由已知an+1=an2+2an, an+1+1=(an+1)2 a1=2 an+11，两边取对数得 lg(1+an+1)=2lg(1+an) 即 lg(1+an)是公比为2的等比数列 解：由知lg(1+an)=2n-1lg(1+a1)=2n-1lg3=lg32n-1 =1+an=32n-1 Tn=(1+a1)(1+a2) (1+an) =320321322 32n-1 =31+2+22+2n-1 =32n-1 由式得an=32n-1-1,课外练习,