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1、初中数学概念教学有效性的策略研究初中数学课堂中概念教学有效性的策略研究”课题研究报告一、课题的鉴定：数学概念：是进行数学推理、判断、证明的依据,是建立数学定理、法则、公式的基础,也是形成数学思想方法的出发点。数学概念的建立是解决数学问题的前提。因此,概念教学在数学教学中有着重要地位。本课题在研究过程中，我们力求在网络资源下对数学概念教学策略研究；通过一些教学实践的案例研究，对数学概念的教学进行总结与提炼，从而获得概念教学成功经验。有效性：主要是通过教师在一段时间的教学之后,学生所获得的具体的进步或发展。也就是说,学生有无进步或发展是教学有没有效益的唯一指标。在新课程理念下，有效的数学教学更是要
2、以学生的进步和发展为宗旨，运用有效的教学策略，使学生乐于学习，勤于探究，促进他们的全面发展和个性发展课堂教学：是教育教学中普遍使用的一种手段，它是教师给学生传授知识和技能的全过程，它主要包括教师讲解，学生问答，教学活动以及教学过程中使用的所有教具 也称“班级上课制”。与“个别教学”相对。把年龄和知识程度相同或相近的学生，编成固定人数的班级集体；按各门学科教学大纲规定的内容，组织教材和选择适当的教学方法；并根据固定的时间表，向全班学生进行授课的教学组织形式。二、课题的理论依据：数学课程标准指出，数学教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿数学教学的始终，帮助学
3、生逐步加深理解。通过良好的数学概念学习促进学生从具体形象思维发展到抽象逻辑思维、培养数学能力的基础。通过有效的概念教学，使学生顺利地获取有关概念。在新课程标准下,优化数学概念教学,对提高学生学习数学的兴趣,发展学生的思维能力,提升教学质量都有极其重要作用。一般来说，数学概念要经历感知、理解、保持和应用四种心理过程。数学概念教学主要依据有如下理论：（1）联结理论、媒介理论：联结理论把概念的掌握过程解释为各种特征的重叠过程，尤如用照相机拍摄下来的事物在底片上的重叠，能够冲洗出照片一样。即接受外界刺激然后做出相应的反应。而媒介理论认为内部过程存在一种媒介因素，并用它来解释复杂的人类行动。（2）同化、
4、顺应理论：皮亚杰认为，概念的掌握过程无非是经历了一个同化与顺应的过程；所谓同化，就是把新概念、新知识接纳入到一个已知的认知结构中去；所谓顺应，就是当原有的认知结构不能纳入新概念时，必须改变已有的认知结构，以适应新概念。（3）假设理论：假设理论不同于联结理论把概念掌握的过程看成是一个消极被动的过程，并认为学生掌握概念是一个积极制造概念的过程。所谓积极制造概念的过程，就是根据事实进行抽象、推理、概括、提出假设，并将这一假设应用于日后遇到的事例中加以检验的过程。国内外专家、学者以敏锐的洞察力开辟了教学新方向关于有效教学的研究。华东师范大学的崔允漷教授在有效教学：理念与策略中，从宏观角度阐述了有效教学
5、的理念：（1）关注学生的进步和发展；（2）关注教学效益；（3）更多关注可测性或量化；（4）需要教师具备一种反思意识；（5）有效教学也是一套策略。对于学生而言,他们所学的概念应是在知识发展史上已经定形的,学习的目标应该是让他们体悟概念蕴涵的丰富的实际意义,理解它的生活价值,获得对认识对象整体认知,以促进学生解决问题的能力和人生智慧的增长.要达到以上目的,概念教学应该是一个整体性的认知活动,是学生解释和再创造概念的过程.三、问题的提出新课程的数学课程标准提出：“义务教育阶段的数学课程出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展。”学生在数学领域要全面，离开不数学概念，要持续、和谐的发展，离不开作为基石一
6、要样的数学概念，可是说，学生在数学上的发展，是从数学概念开始的。数学概念是空间形式和数量关系及其本质属性在人们头脑中的反映。它不仅是进行数学推理、判断的依据,而且是建立数学定理、法则、公式的基础,自然也是计算和证明的基础，是形成数学思想方法的出发点。因此，概念教学是中学数学至关重要的一个环节，是基础知识和基本技能教学的核心，然而，许多教师往往忽视概念教学的重要性，一味地强调解题方法和解题技巧，这样做势必将学生培养成模仿和解题机器。在听很多示范课、公开课、研究课后，关于数学概念的数学，教师们绞尽脑汁，却事倍功半，这究竞是什么原因？无疑，概念的认识和概念的教法上出问题，从教学艺术角度出发，需要对数
7、学概念教学加强研究，尤其研究中要针对教育对象的年龄结构特点加强研究。在多次考试中，学生数学成绩不佳，基本知识和技能不硬，在于对数学知识掌握的不扎实或似懂非懂，张冠李戴，这是数学概念上的模糊、混淆。数学概念往往是知识的支撑点或支柱。数学概念的不扎实直接影响数学成绩，如何让学生在数学概念上有更好的理解方法，需要我们加大对这方面的研究。初中数学概念的教学在整个教学阶段乃至整个数学学习当中又起到了相当重要的作用。加之初中学生理解能力和阅读能力较弱，因此，教师往往以“告诉”“灌输”的教学方式为主，要求学生通常被动接受，甚至死记硬背。教师在课堂上常常没有抓住数学概念的核心进行教学，学生经常在没有对数学概念
8、有基本了解的情况下就盲目进行大运动量解题操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不得要领，在一些无关大局的细枝末节上耗费学生的宝贵时间，数学课堂中效益、质量“双低下”。学生花费大量时间学数学，完成了无数次解题训练，但他们的数学基础仍非常脆弱。毋庸讳言，我国数学教学质量滑坡的现象并没有随着改革的深入而得到改观。这种现状已对学生的发展造成了非常不利的影响。在新课程理念下数学概念教学要经过活动阶段、探究阶段、对象阶段和图式阶段。这就要求教师在平时的数学课堂教学中，对一些概念的学习，设计合理有效的数学问题情境，引导学生进行探索归纳，分析概念的含义，了解其本质，举正、反例，弄清概念的内涵与外延，抓住概念间
9、的联系与区别，使学生主动、快乐地去发现概念、认识概念、理解概念、掌握概念。四、研究的目标1、通过课题研究、学习、思考与实践，达到对概念教学目标制定的有效性。2、通过通过实践研究，探索出对概念教学的教材处理方法，达到对概念教学的教学设计有效性。3通过对数学概念教学的实践与研究，增强自身对数学概念认识的理论高度，提升自己的课堂教学艺术水平。4、从概念的形成、概念的巩固、概念的应用等方面入手，提高概念教学教、学方式与方法运用的有效性。五、研究主要过程（时间、研究方法和研究内容）(一)、准备阶段（2010年7月-2011年9月）1、实施步骤及目标：通过调查分析，搜集数据，制定课题方案，申报课题，并学习
10、有关文献资料。2、资料的收集在确定了课题后，从网上和教育教学杂志中对概念学习的文本资料进行收集和学习。学习了：要注重概念和知识的发展过程的教学瑜文琪中学数学教学参考，2000；中学数学概念图式教学的行动研究湛宣进2009；数学教育心理学（曹才翰，章建跃，北京师范大学出版社）；数学课程标准教师读本（叶尧城，向鹤梅，华中师范大学出版社）等关于概念教学的书籍及文章。3、原因的分析（1）概念教学的目标定位失当。教学习惯总以为讲清概念，就是讲清课本中的一些定义或者名词、术语，满足于使学生记住，甚至熟背这些定义或者名词、术语。学生对学习数学概念的目的不明确，对数学概念的掌握不牢固，不善于应用。（2）概念的
11、形成缺乏有效引导。在演绎概念的教学中，教师往往采取 老师带着学生小步走，学生按照老师的思维慢慢走的引导模式。在分析以上原因后，我认为：以抓牢重点字词习得概念就行了的理念左右着策略的运用，这个主要是教师的思想和理念的问题，所以就把课题的研究的重点放在探索概念教学各个环节的策略探索上，以提高概念教学的有效性和合理性，从而提高课堂教学效率。（二）实施阶段：（2012年2月-2012年5月）实施步骤及目标：首先实施课题研究实验，开展实验研究数学概念教学。接着调整实验方案，进行阶段小结。行动之一：通过对教材的分析归纳出概念教学的课堂结构模式。根据方案实施步骤，对现行苏科版新教材的概念编排内容及特点进行了
12、整理与分析，并按四大学习领域分类。我们发现，新修订的教材与原来的教材相比，新苏科版教材对概念的编排有的被淡化如很多概念（分母有理化、有效数字等）都已隐去不谈，有的概念重新提出（最简二次根式、最简分式），但教材中特别强化在情境中认识、理解概念，让学生通过动手操作、合作讨论等形式自主探究概念的意义。通过对初中数学教学中所出现的概念的产生背景研究，探索出对概念教学的教材处理方法。研究出 概念的引入、概念的形成、概念的巩固、概念的应用概念教学的基本模式，再进行实践操作来验证。行动二：以课例为主要载体，把课例研究变成个人课题研究的重要平台。(1)利用本人在教务处负责并挂钩数学，根据不同领域的概念重点推出
13、一节课例，课后即集中评点。其中赵桃芳老师所上的概念课数轴得到的各位老师的一致好评。各教师遵循概念教学教学模式设计了一节有自己的教学特色的优秀课例，其中傅建双老师的课例为平行四边形，我自己的课例为合并同类项方差，证明1。（2）通过参与学校的同构异构活动，借助学科组资源进行相互学习、共同探索，对数学的概念引入、辨析、应用的策略、理解概念的内涵与外延优化关系及策略进行研究，解决课题研究过程中遇到的难点和问题。每一次课例研究中我从教师情境设计、辨析练习设计、概念的应用、教学媒体的使用、目标检测结果几个环节来剖析课堂。根据概念教学有效性的目标任务，并写出了相应的教学反思。（3）积极撰写教学案例结合课例围
14、绕研究的内容积极撰写教学案例。（三）总结阶段（2012年6月-2012年10月）实施步骤及目标：全面总结，撰写报告，整理资料，撰写论文，总结及交流经验。六、研究的成果（一）本课题的研究成果：经过近一年时间的实践研究，本人对研究资料进行了分类整理。并根据课题的实施中积累的经验撰写成教学论文及教学反思，教学案例抓住机会及时鼓励发表在读写算，函数县初中数学骨干教师培训班说课比赛县一等奖，证明1县初中数学教师优质课评比县二等奖。如何开展本课题在学校的校本研训会上作了交流介绍。（二）初中数学概念教学有效性的教学模式研究小结1、创设合理的概念教学情境，引导学生思考数学概念产生的必要性。数学概念由数学自身的
15、发展与需要而产生的，许多数学概念源于生活实际，但又依赖已有的数学概念而产生。数学概念的引入，是学生能否学好概念的关键一步。引出新概念的过程，是揭示概念的发生和形成过程，而各个数学概念的发生形成过程又不尽相同，不同的概念引入的方法就不同。教师必须根据各种概念的产生背景，结合学生的具体情况在教学中不断反思，探究、选择各种有效的形式，在课堂一开始就紧紧抓住学生的注意力，激发学生的求知欲，唤醒学生的思维，使学生以最佳状态参与教学活动，从而达到事半功倍的教学效果。案例1：在 数轴这个概念的教学创设“温度计”的教学情境，因为温度计是 “认识负数”时，用到过的学习材料，学生已经熟悉、了解，知道了“零下的温度
16、低，可以用负数表示。这是这节课学习新知识的基础，借助温度计来表象感受数轴的三要素，在此感性认识的基础上如能设置这样一组问题：你能在一条直线表示+1-1吗？你能在带0点的直线上表示+1-1吗？你能在带0点及正方向的直线上表示+1-1吗？你能在带0点及正方向及单位长度的直线上表示+1-1吗？引导学生思考用一条什么样的直线才能表示学过的正有理数、0、负有理数，从而得到数轴的三要素的必要性使学生，因此在教学时从而实现了知识和方法的迁移。学生学得积极主动、轻松扎实。案例2：二元一次方程组的概念教学设计引言：方程是刻画现实世界数量关系的一个有效工具。思考：（1）我们已经学习了哪一类方程？（2）我们是从哪些
17、方面来研究这类方程的？【设计意图】通过让学生回忆研究一元一次方程的方法：一元一次方程的定义、一元一次方程的解、一元一次方程的解法，为本课类比研究二元一次方程（组）提供直接经验。实践探索： 操作分析（1）用一根长为20 厘米的细绳围成一个长方形，请画出示意图.（2）你所画的长方形与其他同学画的一样吗？（3）有没有共同之处呢？（4）如何来刻画这个数量关系呢？【设计意图】通过创设问题情境，引导学生运用思维方式探究数学知识、检验数学结论，并自主地运用方程工具来刻画实际问题中的数量关系.2、设计合理的辨析练习，弄清概念的外延和内涵在形成概念的抽象规定前，主要是为了让学生获得概念的内涵，所出现的实际例子中
18、的一些与概念本质无关的性质，会对概念的建立起着心理干扰作用。因此，在这一阶段教师的教学上要注意降低干扰，使概念清楚体现，不至于被细节迷惑。而当概念建立起来后，有必要让学生搞清概念的外延。在这一阶段，就要增大干扰，使学生从较难的实例中分离出概念的本质。通过举例把抽象的定义和具体实例有机结合起来，歧义可以消除，片面性可以克服，从而加深理解概念。案例1：在同类项概念教学时设计如下的这样一组辨析题对概念的掌握很有必要。判断下列各组中的两项是否是同类项：(1) -5ab3与3a3b ()(2)3xy与3x() (3) -5m2n3与2n3m2()(4)53与35（）(5) x3与53()案例2：在数轴概
19、念教学时设计如下的一组辨析题可强化三要素的掌握下列图形哪些是数轴，哪些不是，为什么？案例3：学了“垂直”概念后，学生往往认为只有竖直方向和水平方向的“”才是垂直。而其他方向的“”就不是垂直，这样教师可适当出一些不同位置的垂直关系，通过变式练习辨析，学生对“垂直”概念的理解自然会深刻得多、全面而系统得多。3、强化实际应用的教学设计，加深概念的理解概念的形成是一个由个别到一般的过程，而概念的运用是一个由一般到个别的过程，它们是学生掌握概念的两个阶段。通过运用概念解决实际问题，可以加深、丰富和巩固学生对数学概念的掌握，并且在概念的运用过程中培养学生的实践能力。因此在数学教学中不仅要注意概念的形成过程
20、，也要注意概念的应用。根据不同概念的特点，采用恰当的教学手段，激励学生实现对概念的理解，才能使学生学得好、学得牢。这一阶段，主要是选用有代表性的简单例子，使学生形成用概念做判断的具体步骤。案例1、例如：在全等三角形的教学中，对于定义不难理解，但是在应用定义的性质解决问题时，学生往往由于找不准对应边与对应角而出现问题，为了突破这个难点，可以安排如下例题：当学生在解决问题的过程中遇到困难时，让学生养成“不断回到概念中去，从基本概念出发思考问题、解决问题”的习惯，另外，加强概念联系性的教学，从概念的练习中寻找解决问题的新思路。总之,概念是思维的基本单位，要促进学生思维的发展，必须首先强化概念教学。特
21、别是数学学科逻辑思维很强，更要根据数学概念的特点，让学生牢固掌握概念的本质属性，激发其解决问题的积极性，增强灵活性。七、反思存在问题：1、在课题研究过程中能按要求来进行学习及反思，但未能及时上传博客。2、在课题研究过程中对当前前瞻的教学理念还是较小接触。3、在课题研究过程中未能得到外面名师的指导，只是在校内交流学习。4、在课题研究过程中研究的内容覆盖面较窄，研究的深度及广度很不够。八、引用或参考的文献1.初中数学概念课堂教学设计俞京宁（北京教育学院丰台分院）2.中学数学教材教法第一分册总论华东师范大学出版社1989.12 赵振威3.2011版数学课程标准初中数学概念课堂教学设计学生在数学学习中
22、有一个现象：当解决数学某一问题遇到困难时，如果追根求源，就会发现，往往是由于他们在某一个或某一些概念处产生问题，而导致思维受阻。许多事实例证了正确地理解数学概念是牢固掌握数学知识，灵活运用数学知识解决问题的金钥匙。基于此，我们就要对数学概念的本质进行分析，并且希望找到合理的概念教学的模式，以使教师的教课与学生的数学学习轻松而有成效。一、什么是数学概念？概念是反映客观事物本质属性的思维形式。数学概念，就是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是人们通过实践，从数学所研究的对象的许多属性中，抽出其本质属性概括而形成的。它是进行数学推理、判断的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思
23、想方法的出发点。可见，数学概念是学生必须掌握的重要基础知识之一，是数学基本技能的形成与提高的必要条件，也是数学教学的重点内容。 为什么学生对数学概念的理解总是停留在表层，往往知其然，并不知其所以然？教学中如何进行有效地概念教学，以使学生真正的理解概念？这是每名教师都在思考的问题。二、 目前概念教学的现状数学概念具有抽象性、发展性、生成性等特点，它的特点以及初中学生认知的思维水平的限制性，决定了他们在学习过程中，会对一些抽象的、不常接触的概念不容易理解，需要教师进行合理的教学设计，使学生能够参与到概念的发生与形成过程中，了解概念的来龙去脉，理解概念的内涵与外延，弄清概念之间的区别与联系，在头脑中
24、形成相关概念的网络，以达到掌握并灵活运用的程度。对于概念教学这个问题，在新课程实施以来，广大教师都有了一定的认识，加强了对概念教学的重视程度。但由于各种各样的原因，事实上，大部分教师只是停留在思想的层面上，而行动上仍然是传统的教学模式。案例 1 ：前不久听一位教师关于“平方根”的概念教学课，上课开始，教师呈现一组面积不同的正方形，要求学生求边长 x 。这组题对于初二的学生来讲，能够很快的得到答案。由于边长都非负，所以学生的第一反应说出的都是这组数的算术平方根，因为教师设计要讲平方根，所以要求学生写出计算过程，并强调 ，然后取正舍负，再由这四个例子进行抽象概括出平方根与算数平方根的定义：即 时，
25、我们把 叫做 的平方根，其中正值又叫做 的算术平方根。接下来就是根据定义求一些非负数的平方根与算术平方根的题组训练。表面上看，教师似乎让学生经历了从特殊到一般的抽象概括的过程，但实质上，教师的设计只是形式化的，并没有使学生真正的参与到平方根的发生与形成过程中，没有使学生真正弄清楚为什么 叫做 的平方根，所以可以想到学生只是机械的接受概念，在此基础上照猫画虎式进行解题练习，这种做法一定会造成学生后期将平方根与算术平方根混淆。案例 2：关于“同类项”的教学：教师往往采用如下引入：下面各式有何共同特点，请用简洁的语言叙述：（ 1） ；（ 2） ,而后师生共同归纳出同类项的概念。这样的教学只是揭示了“
26、同类项是什么”，而没有揭示“为什么提出同类项的概念，为什么教学中这样定义同类项概念”。这里涉及到科学分类的问题，分类是自然科学中的基本逻辑方法，通常是根据所研究的具体问题，选取恰当的标准，然后根据对象的属性，把他们不重不漏地划为若干类别，再分别加以研究，从某种程度上说，概念是对客观事物按照某种需要进行分类的产物，仅仅以事实为基础形成的概念难以迁移。案例 3：“矩形”概念的教学：首先采用合作学习：用 6根火柴棒首尾顺次相接摆成一个平行四边形。议一议：（1）能摆成多少个不同的平行四边形？他们有什么特点？（2）在这些平行四边形中，有没有面积最大的一个平行四边形？说出你的理由。（学生分组讨论）生 1：
27、我们这组认为，可以摆成无数个平行四边形，他们的对边相等、对角相等、对角线互相平分。师：这些特点都是平行四边形的性质，邻边有什么特点吗？生 1： (犹豫 )邻边不相等，其比值始终是 2： 1.生 2：有一个面积最大的平行四边形，即长方形，因为平行四边形的面积等于底边乘以高，如果摆成长方形，高与平行四边形的一边相等，这样面积才是最大的。（众生疑惑）师：你能说一下这个平行四边形一个内角的特点吗？生 2：每个角都是直角。师：实际上，平行四边形有一个内角是直角，我们把这样的平行四边形就叫做矩形。生 (哗然）：这不是小学的长方形吗？教师在学生的疑惑声中，画出图形，板书课题及矩形定义。在这个案例中，教师创设
28、情境，采用小组合作学习的形式，通过“平行四边形什么时候面积最大”的问题引导学生动手操作，从而引入矩形的定义，却没有取得很好的教学效果： 1.很多学生对“当平行四边形是矩形时，面积最大”的知识没有真正理解，实质上这个问题是平行四边形面积与垂线段性质两方面知识的综合，它与矩形的定义没有多大关系； 2.矩形的边没有特殊性，但教师却要求学生说出邻边之比 2： 1，这无意中强调矩形邻边的不等性，使得在生成矩形概念时，学生错误的认为，矩形就是长方形； 3.这样的问题设计很难在学生头脑中形成“矩形是平行四边形一个内角的特殊化”的概念。教材把“矩形”安排在平行四边形之后，就是因为它是特殊的平行四边形，因此完全
29、可以用概念同化的方法进行矩形概念的教学，这与以前学过的平行四边形和将要学习的菱形、正方形在研究思路、方法上一脉相承，这样的设计充分尊重学生的实际情况，可以使学生在获得知识的同时，培养其类比思维的能力。尽管新课程倡导动手操作、自主探究、合作交流的学习方式，但更应该根据具体的教学内容和学生的已有知识经验为基础制订教学策略，应该以有利于学生知识的获得、数学活动经验的积累和数学思想的领悟为标准。在我们的日常教学中，类似于以上的概念教学并不是少数，我们将目前部分教师的概念教学模式进行简单的归纳，可以分为以下几类：（一）开门见山，教师直接给出定义，归纳注意事项、举例让学生反复练习；（二）认为概念教学 =
30、解题教学，所以通过大容量训练，使学生逐步认识概念；（三）创设情境，但情境的选择并不能揭示概念的本质，只是为了设计情境而刻意安排的，让人感到前后不够协调；（四）注意到让学生参与概念的形成过程，但在概念的分析过程中，缺乏与学生已有知识的联系，总感觉每个概念都是孤零零的，没有形成系统。这些模式的教学，其效果往往事倍功半，耗费学生大量的时间与精力，但知识掌握的一知半解，吃夹生饭，对问题的解决，依靠简单的机械模仿，所有的训练都游离在知识的表层甚至知识之外。长此以往，必将使学生成为并不优秀的“做题机器”，数学双基也无法落实。鉴于此，反思我们的概念教学就显得尤为重要，到底什么样的概念教学模式可以称之为好的，
31、有效的教学模式是什么呢？我认为应该没有统一的模式，教学有法、教无定法，只要教师能重视基本概念蕴含的智力开发价值，注意充分挖掘基本概念蕴含的数学思想方法的教育价值，能够使学生掌握知识、发展能力的概念教学都是有效的、好的教学。三、初中数学课堂概念教学的一些想法从教育与发展心理学的角度出发，概念教学的核心就是“概括”：将凝结在数学概念中的数学家的思维活动打开，以若干典型事例为载体，引导学生分析各事例的属性、抽象概括其共同的本质属性，归纳得出数学概念等思维活动而获得概念。数学概念要讲背景、讲思想、讲应用，概念教学则强调让学生经历概念的概括过程，由于数学能力是以数学概括为基础的能力，因此重视数学概括过程
32、对发展学生的数学能力具有基本的重要性。概念的课堂教学大致经历以下几个环节：概念的引入、概念的生成、概念的剖析及辨析、相关概念的联系与区别、概念应用举例、概念的巩固练习。下面结合实例就其中关键环节谈谈在设计时的注意事项。（一）概念的引入概念的引入是概念课教学的起始步骤，是形成概念的基础。传统教学中在教学方式上是以教师传授为主，学生被动接受学习，这显然不利于新课程背景下创造型人才的培养。课程标准中提出“ 抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式”。通过概念引入过程的教学，应该使学生明确：“概念在生活中的实际背景是什么？”“为什么引入这一概念”以及“将如
33、何建立这一概念”，从而使学生明确活动目的，激发学习兴趣，提取有关知识，为建立概念的复杂智力活动做好心理准备。在引入过程中教师要积极地为学生创设有利于他们理解数学概念的各种情境，给学生提供广阔的思维空间，让他们逐渐养成主动探究的习惯，从而实现新课程标准中提出的通过主动探究来获取知识，使学生的学习活动不再单纯地依赖于教师的讲授，教师努力成为学习的参与者、协作者、促进者和组织者。我认为在概念课的引入上，要树立起让学生自己去发现的观念，如果能让学生产生认知冲突，对学习新概念的必要性产生需求，并主动发现新概念是最佳途径。这样学生们在运用概念时不但“知其然”也“知其所以然”，同时还能培养他们的探究精神，激
34、发学生的潜能。所以对于情境的设计，要结合概念的特点恰当地选取，特点不同，引入形式也就会存在差异：我们提倡借助生动、丰富的实际问题引入概念，能够与学生的生活密切结合，这样往往比较具体、形象，学生容易理解，也比较容易从中提炼出概念的本质属性，比如数与代数中的同类项、分式等，空间与图形中的角、平行线、三角形等；但并非所有的数学概念都适宜用这种方法，比如前面提到的平方根，我认为从数学内部的运算关系角度入手，更容易理解（后面会具体分析）。下面介绍概念引入的三种想法：1. 联系概念的现实原理引入新概念。在教学中引导学生观察有关实物、模型、图示等，让学生在感性认识的基础上，建立概念，理解概念的实际内容，搞清
35、楚这些概念是从什么问题上提出来的。例如：在平面几何平行线的教学中，可以让学生观察单线练习本中的一组平行线，分析这组线的位置特点，再利用相交线作对比，然后概括出平行线的定义；在圆的概念的教学时，让学生动手做实验，取一条定长的细绳，把它的一端固定，另一端栓一支铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是什么？学生通过动手实践，观察所画出来的图形，归纳总结出圆的定义。2. 从具体到抽象引入新概念。数学概念有具体性和抽象性双重特性。在教学中就可以从它具体性的一面入手，使学生形成抽象的数学概念。例如：在讲线线垂直的概念时，先让学生观察教室或生活中的各种实例，再模拟出线线垂直的模型，抽象出其本质特征，概括出线线
36、垂直的定义，并画出直观图，即沿着实例、模型、图形直至想像的顺序抽象成正确的概念，再比如对于一元一次方程的概念，可以借助一些简单的实例，让学生列方程，然后观察这些具体方程的共同点，从具体到抽象归纳概括出一元一次方程的定义。案例 4 ：对于“用字母表示数”的教学，教师展示熟悉的生活实例，确立了一个学生熟悉的认知对象，由学生熟悉的铺地用的各种形状、各种颜色的地砖铺地时的图案入手。提出问题 1 ：观察图案 1 至 4 ，用正六边形黑白两色地砖铺地时黒砖块数与图案序号之间的数量关系是什么？学生答案是：图案中的黒砖块数与图案的序号相等。提出问题 2 ：如果用正六边形黑白两色地砖铺地时的铺法不变，请问第五个
37、、第六个图案中黑砖块数是多少？与图案序号之间的关系是什么？理由是什么？学生答案是：第五个图案中的黑砖块数是 5 ，第六个图案中的黑砖块数是 6 ，理由是铺法不变，就是“图案中的黒砖块数与图案的序号相等”的规律不变。提出问题 3 ：请同学们思考，如何使图案序号与黒砖块数之间的关系一目了然呢？（学生思考，最后达成共识：列一个图案序号为第一行，黒砖块数为第二行的表格，学生顺便体会到了在处理大量数字或者相关问题时的处理方法）图案序号123456黒砖块数123456提出问题 4 ：如果用正六边形黑白两色地砖铺地时的铺法不变，请问第任意个图案中黒砖块数是多少？与图案序号之间的关系是什么？理由是什么？学生
38、1 的解答：第任意个图案中黒砖块数是任意个，与图案序号之间是相等关系，理由是铺法不变，就是“图案中的黒砖块数与图案的序号相等”的规律不变，即：图案序号123456第任意个图案黒砖块数123456任意个学生 2 的解释：学生 1 列的表格中的“第任意个图案”、“任意个”我觉得可以不用文字，但是也不能用具体的数来说明“第任意个图案”中黒砖块数的任意性，怎么表示呢？学生 3 解释：用字母表示“任意个”，因为“任意个”可以是 23 、123 、100 等等，但是一个具体的数不能表示任意性、一般性，我认为用一个字母就可以表示任意性，字母可以表示任意一个整数。学生 3 把表格改写为：图案序号123456第
39、n个图案黒砖块数123456n至此，学生初步体会到表示任意性、一般性的问题时需要一个新的表示数的方法，体会到这类问题不用字母表示不行了，为学生创设了一个“字母表示数”的必要性的学习情节，使学生认识到“字母表示数”的重要性，从而激发了学生进一步探索有关内容的欲望，学生自己认为重要的、有用的东西，他们才能百分之百的经历、主动、积极地投入到所要做的事情中来，这样的学习才是最有效果的。3. 用类比的方法引入概念。类比不仅是一种重要形式，而且是引入新概念的重要方法。例如：可以通过同类项的定义类比地归纳出同类二次根式的定义，通过类比分数得到分式的概念，类比一元一次方程得到一元一次不等式、二元一次方程、一元
40、二次方程、一次函数等概念。作这样的类比更有利于学生理解和区别概念，在对比之下，既掌握了概念，又可以减少概念的混淆。概念的引入方法很多，设计时不仅要考虑概念自身的特点，还要结合学生的认识水平及生活经验，本着有利于突显概念本质的原则。就拿上面提到的平方根概念的教学引入为例，我认为首先要思考为什么要学习这个概念？不学行不行？其次还要弄清这个概念对学生来讲产生理解它的困难的原因：以前学生大多接触的是答案唯一的情况，而正数的平方根都是两个，互为相反数，答案不唯一了，这与学生已有的思维习惯产生了冲突，所以学生非常不习惯，而前面所提到的这位教师所借助的利用已知正方形面积求边长的问题设计，并没有突破这个难点，
41、相反，容易造成平方根与算术平方根的混乱，实际上，在他所设置的背景下，应该先介绍算术平方根更好，因为实际生活中，涉及到开方问题的结果，绝大部分都是非负数，并不能形象地揭示平方根的两个结果，所以，人教版教材就先安排的是算术平方根，然后，在不限定字母的取值范围时，再引入平方根的概念，有利于突出两个概念的区别，在对比中加深对平方根概念的理解。其实我认为，平方根的概念与其以生活实际为背景引入，不如从平方与开平方互为逆运算的角度引入更有利于突出重点、突破难点。因为学生已学过的加减互为逆运算、乘除互为逆运算，在此基础上研究乘方的逆运算 - 开方。案例 5 ：设计如下：教师首先利用竞赛的形式，给出两组练习，要
42、求学生口答后，观察两组题目的区别与联系：这种引入概念的方法，是建立在新旧知识的联系上，充分考虑学生已有的知识经验，使学生在具体数值的计算中，发现规律：第一组题已知底数、指数，求幂，第二组已知幂、指数，求底数，在此基础上学生能够从特殊推广到一般。当学生由具体到抽象得到 时，教师可以提出：此时将已知数 a 仍叫做幂、 x 叫做底数合适吗？学生回忆加减法互逆后以及乘除法互逆后各数的名称都发生了变化，所以 中各部分的名称也应相应改变。教师可以不急于给出平方根的概念，而让学生结合式子的特点给 x 命名，由于 a 是已知数，此式从形式上看是一元二次方程，而求 x 就相当于求方程中的未知数，结合已有知识，学
43、生能够想到诸如“二次方程的根 ( 解 ) ”“平方的根”等，在此基础上，教师再规范成“平方根”，这样会更有利于学生对平方根的理解，因为在参与命名时，学生就要认真分析式子以及结果的特点，对理解概念有帮助，在此基础上，创设生活中的实例，使学生感受到生活中更多的是应用平方根中那个非负的，顺势提出非负的平方根如何命名？学生结合小学学的都是算术，很容易说出算术平方根。这也保证与数学结果唯一的特性一致了。此外，在分析 时，也可以引导学生总结出，式子中的三个量，知其二，可以求第三个，为后续高中学习奠定基础。再比如，前面举过的“矩形”概念的教学，另一位老师是这样设计的：案例 6 ：首先借助几何画板：师：如图，
44、四边形 ABCD 是平行四边形，那么它的边、角、对角线有什么性质？他有什么样的对称性？生（齐答）： 对边相等、对角相等、对角线互相平分；是中心对称图形。师：它具有稳定性吗？那么，若把一个内角 A变成一个直角，（如图，拖动点 A，使角 A变成 90度）。这时，平行四边形 ABCD是我们熟悉的什么图形？生：正方形！我知道了，当平行四边形有一个角是直角时，这个四边形就是长方形或正方形。从而引入矩形的概念。在这个教学案例中，教师充分考虑了所教内容的系统性及学生的已有知识及认知水平，概念的形成给人水到渠成的感觉。此外，函数概念的教学一直是初中教学中的难点，因其抽象性而令学生“望而却步”。函数的特点是什么
45、？学生感到困难的主要原因是什么？我们在进行概念教学时，都要考虑到。函数从学科角度看，研究对象由定到动，思维方式由静止到运动，而学生的困难主要源于函数概念的高度抽象性以及函数表达形式的多样性和思维方式的变化。教学时，就要考虑到这些问题，生活中存在大量的函数实例，在选择时要注意所选实例不仅应该是学生熟悉的、感兴趣的，还要考虑到实例中要包含函数的三种表示形式 - 解析法、列表法、图像法，使学生从不同的角度，多方位地理解函数概念 - 从变化、对应到形成概念，继而概念辨析，分层次使学生逐步加深对函数本质的认识。对于三角形中位线概念的教学设计，有老师可能利用生活中的实例引入，也有的老师利用它与三角形中线的
46、区别与联系引入，其实还可以借助学生动手实验引入。案例 7 ：事先让每位学生准备一张三角形纸片和剪刀，课上让学生思考，只剪一刀，将剪成的两张纸片拼成一个平行四边形。学生很乐于参与这种动手操作 的活动，根据生活经验也不难完成活动（如图），但当教师提出“说说你的裁剪方法”时，学生只能用生活语言，如“沿三角形的中间剪的”，说不出准确的数学语言。此时教师引导学生观察裁剪线的端点具有什么样的特征？有实物模型加上学生动手剪拼，可以得到 D 、 E 均为各边的中点。那么，它能叫中线吗？如果不能，我们可以给它起个什么名字？让学生尝试命名，根据它位置的特殊性，学生在教师的启发下，可以得到中位线的概念。这样的设计激
47、发了学生的探究欲望，而且为后续探究中位线的性质埋下了伏笔，可谓一举多得。由上面的分析可以看出，概念的引入方式没有统一的模式，总的原则是通过教师创设典型、丰富的具体实例（可以让学生自己举例），引导学生展开分析、比较、综合等活动，在此基础上，概括出共同本质特征，得到概念的本质属性。为了激发学生的学习兴趣，促进学生的思考，引入的形式应该多种多样，可以是问题导入、游戏导入、史话导入等等。（二）概念的剖析及辨析概念生成之后，应用概念解决问题之前，往往要进行概念剖析，即用实例（包括正例与反例）引导学生分析关键词的含义，包括对概念特性的考察，可以达到明确概念、再次认识概念本质的目的，还可以从中体会概念中所呈现的转化问题的方法，这是最基本、最重要的方法。案例 8 ：函数定义： 在某一变化过程中有两个变量 x， y，对于 x的每一个值， y都有唯一确定的值与它对应， y叫作 x的函数，其中 x叫做自变量， y叫做因变量。教师引导学生分析概念中的关键词：两个变量；对应；x 的每一个值；y 唯一确定 .关键词中的“每一个 ”、 “唯一确定 ”是指对于 x取值范围内的每一个值， y都有唯一确定的值与它对应，不能有两个或者两个以上与其对应。在此基础上，给出一些具体问题，让学生尝试利用概念进行辨析练习，进一步加强对概念的理解。如有一位学生的考试情况是这样的：让学生分析每次考试的分数与序号之间